國立清華大學 115 年 《化學與物理》
第 1 題2 分
Compound A has the molecular formula , and all of its hydrogen atoms are chemically equivalent. Upon chlorination, A forms a dichlorinated product with the formula . Ignoring optical isomers, how many distinct isomers of are possible?
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核心觀念
本題考查：
- 由分子式判斷有機物的結構。
- 「所有氫原子化學等效」對結構對稱性的限制。
- 自由基取代反應的產物數目。
- 環狀化合物的定位異構與順反異構。
的不飽和度為
因此可能具有一個碳碳雙鍵或一個環。題目又指出所有氫原子皆化學等效，符合此條件的結構為環戊烷：
環戊烷具有高度對稱性，五個 上的氫在非手性環境中皆屬化學等效。
解題方法：氯化反應與定位方式
氯化是自由基取代反應，總反應可表示為
反應機構的關鍵步驟為：
- 起始：
- 成長：氯自由基從環戊烷移除氫，形成環戊基自由基。
- 終止：環戊基自由基與氯自由基結合，形成氯代產物。
第一次取代後形成氯環戊烷。第二次取代時，第二個氯的位置相對於第一個氯有三種不同的連接方式：
- 同一個碳上：-二氯環戊烷。
- 相鄰碳上：-二氯環戊烷。
- 間隔一個碳上：-二氯環戊烷。
與 等價， 與 等價，因此不再產生新的定位異構物。
逐一計算立體異構物
1. -二氯環戊烷
兩個氯原子位於同一個碳上：
此結構沒有可區分的順式與反式，只有 種。
2. -二氯環戊烷
兩個氯位於相鄰碳原子上，可以有：
- cis--二氯環戊烷：兩個氯在環的同一側。
- trans--二氯環戊烷：兩個氯在環的相反兩側。
第 2 題2 分
The main procedures for determining the content in concentrated sulfuric acid include:
- Measuring a certain volume of concentrated sulfuric acid and diluting it.
- Transferring the solution to a volumetric flask and diluting to a fixed volume.
- Pipetting of the solution to be tested and titrating it with solution.
Which of the following pieces of apparatus is NOT required for the above procedures?
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核心觀念
本題考查酸鹼滴定實驗中，各步驟所需的基本儀器：
- 量取一定體積的濃硫酸並稀釋。
- 將溶液移入容量瓶，定容至固定體積。
- 量取 待測溶液，再以 滴定。
硫酸與氫氧化鈉的中和反應為：
因此滴定時需使用滴定管盛裝 ，並以錐形瓶承接待測溶液。
解題方法
依照實驗流程逐一對應儀器：
- 量取濃硫酸並進行粗略體積量測，可使用量筒。
- 稀釋後移入 容量瓶，並定容至刻度線。
- 以錐形瓶承接待測溶液進行滴定。
- 以滴定管逐滴加入 溶液。
- 分液漏斗用於液－液萃取或分離互不相溶的液體，本實驗沒有此操作。
所以不需要的是分液漏斗。
選項分析
(A) Separatory funnel：正確答案
分液漏斗主要用於分離兩層互不相溶的液體，例如有機溶劑與水溶液。本題只有稀釋、定容與酸鹼滴定，沒有液－液萃取或分層分離步驟，因此不需要分液漏斗。
(B) volumetric flask：錯誤選項
容量瓶用於將濃硫酸稀釋後的溶液定容至準確體積，例如 。容量瓶具有高精密度刻度，適合配製一定濃度的標準溶液或待測溶液，因此本實驗需要使用。
第 3 題2 分
Arrange the following compounds in order of decreasing normal boiling point:
① neopentane
② 1-pentanol
③ n-pentane
④ 3-chloropentane
⑤ pentanoic acid
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核心觀念
本題考查液體正常沸點與分子間作用力的關係。正常沸點是液體在 外壓下，蒸氣壓等於外界壓力時的溫度。
分子間作用力越強，液體分子越不容易逸出，蒸氣壓越低，因此正常沸點越高。比較時主要考慮：
- 氫鍵作用力
- 偶極—偶極作用力
- 色散力
- 分子量與電子數
- 分子形狀與接觸表面積
各物質的主要特徵如下：
- ① neopentane：非極性、分支程度高，色散力較弱。
- ② 1-pentanol：含 ，可形成分子間氫鍵。
- ③ n-pentane：非極性直鏈烷類，主要靠色散力。
- ④ 3-chloropentane：含 極性鍵，具有偶極—偶極作用力，且分子量大於戊烷。
- ⑤ pentanoic acid：含羧酸基 ，可形成強烈氫鍵，並常以氫鍵二聚體存在。
羧酸的分子間作用力通常強於醇，因此完整的沸點順序應為：
亦即：
解題方法
先比較含有強分子間作用力的化合物。
⑤ pentanoic acid 含有羧酸基 。羧酸分子可透過兩組氫鍵形成二聚體，使分子間吸引力非常強，因此正常沸點最高。
② 1-pentanol 含有羥基 ，能形成分子間氫鍵，故沸點明顯高於只具有偶極作用力的 ④ 3-chloropentane。
④ 3-chloropentane 具有極性的 鍵，分子間有偶極—偶極作用力；其分子量也大於 n-pentane，因此沸點高於 ③ n-pentane。
③ n-pentane 與 ① neopentane 都是非極性分子，主要依靠倫敦色散力。兩者分子式皆為 ，分子量相同，但 n-pentane 為直鏈，分子接觸表面積較大，色散力較強，因此：
所以四種物質 ①～④ 的相對順序為：
這正是官方答案 E 所呈現的順序。
各物質的比較
① neopentane 與 ③ n-pentane
兩者皆為非極性烷類，分子式都是 ，主要作用力均為色散力。
n-pentane 為直鏈結構，分子彼此接觸面積較大；neopentane 分支程度高，形狀較接近球形，接觸面積較小。因此 n-pentane 的分子間色散力較強，沸點較高：
③ n-pentane 與 ④ 3-chloropentane
3-chloropentane 含有 極性鍵，具有偶極—偶極作用力，且氯原子增加分子量與電子數，使色散力也增強。因此：
④ 3-chloropentane 與 ② 1-pentanol
第 4 題2 分
Gallium-68 has been used for Positron Emission Tomography (PET) through a beta plus decay to generate a positron (), which annihilates with an ordinary electron to generate two gamma rays emitted in opposite directions. Which of the following is the product for the decay of Gallium-68?
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核心觀念
衰變又稱正電子放射。其核反應本質為原子核內的質子轉變成中子，並放出正電子與電子微中子：
因此在 衰變中：
- 質子數 減少 ，元素種類改變；
- 質量數 不變，因為質子與中子的總數不變。
鎵（Ga）的原子序為 ，所以衰變後原子序為：
原子序 的元素是鋅（Zn），而質量數仍為 ，故生成物為 。
核反應可表示為：
選項分析
-
(A) ：正確。
衰變使原子序由 降為 ，質量數維持 ，因此生成 。 -
(B) ：錯誤。
元素仍為鎵，表示原子序沒有改變；且質量數由 變成 ，不符合 衰變的守恆關係。
第 5 題2 分
Gallium-68 has a half-life of 68 min for positron decay. The recommended amount of Gallium-68 radioactivity to be administered for positron emission tomography (PET) imaging is at the time of injection. If a freshly prepared Gallium-68 tracer solution has , and it takes 3.5 hours to transport and ready for injection to patient, what volume of Gallium-68 solution is required for PET scan on a 70-kg patient?
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核心觀念
本題考查放射性同位素的半衰期與活度衰減。放射性核種經過時間 後，其活度為
其中：
- ：剛製備時的活度
- ：經過運送時間後的活度
- ：半衰期
- ：經過時間
Gallium-68 進行正子衰變，其半衰期為 。病人實際注射時需要的活度為
解題方法
病人體重為 ，因此注射當下所需的總活度為
運送與準備時間為 小時。依官方答案採用考試中的近似：
也就是約經過 個半衰期。經過 個半衰期後，活度剩下
因此，剛製備時所需的活度為
新鮮製備的溶液濃度為 ，所需體積為
因此選擇
選項分析
- (A) ：錯誤
此體積所含的新鮮活度為
未充分補償運送期間的放射性衰變，經過約 個半衰期後只剩約 ，低於病人所需的 。
- (B) ：錯誤
第 6 題2 分
The basic building blocks of nucleic acids are nucleotides. The figure on the right shows a fragment of a nucleic acid structure. Which of the following statements is NOT correct?
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核心觀念
本題考查核酸的基本組成與結構，包括：
- 核苷（nucleoside）與核苷酸（nucleotide）的定義。
- DNA 與 RNA 的含氮鹼基及五碳糖差異。
- 核苷酸的酸鹼性。
- 含氮鹼基的互補配對。
- 核糖或去氧核糖中的手性中心判定。
核酸的基本單位是核苷酸。核苷酸由含氮鹼基、五碳糖與磷酸組成；含氮鹼基與五碳糖形成核苷，再與磷酸形成核苷酸。
解題方法
逐項檢查敘述是否符合核酸的結構與化學性質即可。
圖中糖環為去氧核糖結構，糖上的手性碳需依照「連接四個不同基團」判斷。圖中糖環具有三個手性中心，分別為 、、 碳。
選項分析
(A) 錯誤
DNA 與 RNA 的含氮鹼基並不完全相同。
DNA 通常含有：
RNA 通常含有：
兩者都含有 A、G、C，但 DNA 含有 thymine，RNA 則以 uracil 取代 thymine。因此，「DNA 和 RNA 含有相同的含氮鹼基」不正確。
兩者的五碳糖確實不同：
- DNA：-deoxyribose， 碳為
- RNA：ribose， 碳具有
由於前半句錯誤，整個選項錯誤。
(B) 正確
含氮鹼基與五碳糖以糖苷鍵連接形成核苷：
核苷再與磷酸形成核苷酸：
第 7 題2 分
A galvanic cell is constructed based on the following standard reduction potentials at :
Which of the following statements is correct? (Faraday constant is .)
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核心觀念
本題考查原電池中：
- 陰極、陽極的判定
- 標準電池電位
- 氧化還原反應配平與電子轉移數
- 能斯特方程式
- 標準自由能變化與電池電位的關係
原電池中：
- 陰極發生還原反應
- 陽極發生氧化反應
- 電子由陽極流向陰極
解題方法
題目給出的標準還原電位為：
還原電位較大的半反應較容易發生還原，因此：
- 在陰極還原
- 在陽極氧化
陽極反應為：
使電子數相同，將鑭半反應乘以 ，將鐵半反應乘以 ：
總反應為：
因此每單位總反應轉移 莫耳電子，即：
標準電池電位為：
選項分析
(A) The cell potential with all components in their standard state is .
錯誤。
標準電池電位應為：
不能將兩個還原電位直接相加，也不能因為配平半反應而將電位乘上係數。電極電位是強度性質，不隨反應式倍數改變，因此不是 。
(B) The cathode compartment would be composed of .
錯誤。
陰極進行還原反應。由於 的還原電位 大於 的 ，因此 較容易還原：
所以陰極為 電極； 為陽極，發生鑭的氧化。
(C) Three electrons are transferred per unit of cell reaction.
錯誤。
兩個半反應必須配平成相同的電子數：
總反應每進行一次，轉移 個電子，因此：
不是 個電子。 是單一鑭原子氧化時所失去的電子數，並非配平後總電池反應的電子轉移數。
第 8 題2 分
Progesterone is a key female hormone with the structure on the right. Which of the following statements about this structure is correct?
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核心觀念
本題考查有機分子的結構判讀，包括：
- 鍵數量
- 手性碳原子的判定
- 碳原子的混成軌域
- 氧原子的混成軌域
- Lewis 結構中的孤電子對數量
圖示為 progesterone（黃體酮），其結構中含有一個碳碳雙鍵及兩個羰基：
以及兩個：
解題方法
逐一確認結構中的雙鍵、立體中心、混成軌域與孤電子對，即可判斷各選項。
判定手性碳的原則是：四面體型碳原子必須連接四個不同的原子或原子團；若碳原子位於雙鍵或羰基中，則為 ，不可能是手性碳。
選項分析
(A) It has two -bonds.
錯誤。
圖中有一個碳碳雙鍵及兩個碳氧雙鍵。每一個雙鍵含有一個 鍵，因此：
所以不是兩個，而是三個 -鍵。
(B) It has six chiral carbon atoms.
正確。
Progesterone 的六個手性碳為類固醇骨架中的：
這些碳原子皆為 混成，且各自連接四個不同的原子或原子團，因此都是手性中心。
其中：
- 、 位於環系統交界附近；
- 連接甲基及兩條不同的環路徑；
- 、 位於另一個環系統交界；
- 連接側鏈、氫原子及兩條不同的環路徑。
因此共有六個手性碳原子。
第 9 題2 分
Which of the substances listed below can be transformed in nature according to the pathway shown in the diagram on the right, and for which substance R can react directly with water to form M?
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核心觀念
本題考查自然界中的物質循環，以及酸性氧化物與水、碳酸鹽之間的反應。
圖示反應方向為：
其中關鍵條件是： 必須能與水直接反應生成 。
解題方法
逐一檢查各選項的三個物質是否能依照圖示在自然界相互轉換，尤其先判斷：
選項（E）符合：
接著碳酸可與碳酸鈣反應，形成可溶性的碳酸氫鈣：
碳酸氫鈣在地下水逸氣、溫度改變或壓力降低時，可分解並重新形成碳酸鈣：
因此可形成：
完全符合圖示循環。
選項分析
（A）錯誤
氯氣與水反應生成鹽酸與次氯酸：
不會直接生成 ，因為反應物中沒有鈉離子。若要形成次氯酸鈉，需在鹼性環境中與氫氧化鈉反應：
故 無法直接與水生成題目所列的 。
（B）錯誤
二氧化硫與水直接反應生成亞硫酸：
不是直接生成硫酸 。硫酸的形成須先經氧化，例如：
再與水反應：
因此不符合「 與水直接反應形成 」的條件。
（C）錯誤
氧化鐵與水在一般自然條件下不會直接反應生成氫氧化鐵：
第 10 題2 分
Three possible Lewis structures (①, ② and ③) can be drawn for nitrous oxide (). Which of the following statements regarding and its Lewis structures is correct?
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核心觀念
本題考查三項 Lewis 結構判斷：
- 形式電荷（formal charge）
- 八隅體規則與結構穩定性
- 氧化數與混成軌域
形式電荷公式為：
判斷 Lewis 結構時，通常以「各原子符合八隅體、形式電荷絕對值較小，且負電荷位於電負度較大的原子」者較合理。
解題方法
題目中的三個結構依序可表示為：
- ①
- ②
- ③
逐一計算形式電荷。
結構①：
左端氮有兩對孤電子，中央氮形成兩個雙鍵，氧形成雙鍵並有兩對孤電子。
形式電荷為：
- 左端 ：
- 中央 ：
- ：
因此結構①的形式電荷為：
此結構中所有原子均符合八隅體，且總電荷為零。
結構②：
依原卷圖示，結構②左端氮具有兩對孤電子；左端氮與中央氮形成三鍵，因此左端氮周圍共有：
- 三鍵提供 個電子
- 兩對孤電子提供 個電子
合計為 個電子，違反第二週期氮原子的八隅體限制。這也是校方釋疑指出結構②不宜作為合理 Lewis 結構的關鍵。
結構③：
左端氮為單鍵並有三對孤電子，中央氮形成四個鍵，氧與中央氮形成三鍵並有一對孤電子。
氧的形式電荷為：
第 11 題2 分
has two isomers, ① and ②, as shown in the figure below. Compound ① is called cisplatin, and compound ② is called transplatin. One of them is an anticancer drug, and one is inactive. The anticancer drug works by its chloride ions undergoing a substitution reaction with nitrogen atoms in DNA that are close together, forming a angle of about . Which of the following statements regarding the structures and properties of isomers ① and ② is correct?
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核心觀念
本題考查配位化合物的：
- 順反異構（cis–trans isomerism）
- 配位鍵與離子鍵的區別
- 正方平面錯合物的 軌域分裂
- 分子極性
- 紅外光譜（IR spectroscopy）對異構物的鑑別
為中性配位化合物，中心金屬 與兩個 、兩個 形成正方平面結構。
其中：
- ①為 cisplatin，兩個 位於相鄰位置，夾角約 。
- ②為 transplatin，兩個相同配體位於相對位置，夾角為 。
解題方法
逐項檢查兩種異構物的鍵結、軌域能階、抗癌作用、極性與光譜特徵即可。
cisplatin 的抗癌機制是氯離子先被水分子取代，接著鉑與 DNA 中相鄰的含氮鹼基配位，形成約 的 橋連，因此必須具有 cis 結構。
選項分析
(A) 錯誤
和 提供孤電子對與 配位，形成的是配位鍵，也可視為特殊的共價鍵：
但整個 是中性分子型配位化合物，不是由陽、陰離子以靜電力形成的離子晶體。因此不能說其中同時具有「配位鍵和離子鍵」。正確描述應為具有配位共價鍵，並存在形式上的氧化數與電荷分配。
(B) 錯誤
兩者均為正方平面錯合物，主要的 軌域能階排列大致相近；但 cis 與 trans 的配體排列及對稱性不同，會造成部分 軌域能量差異。
依校方釋疑重點，兩者的整體能階主體可視為相近，但在結構②中， 與 的能階不相同。因此不能說兩者的 -orbital splitting patterns 完全 identical。
本選項的陷阱在於：幾何形狀相同，不代表配體排列與對稱性完全相同，也不代表所有 軌域分裂情形完全一致。
第 12 題2 分
A solution saturated with a salt of the type has an osmotic pressure of at . Assuming ideal behavior, what is the value for the salt? ()
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核心觀念
難溶鹽 溶於水後完全解離：
若鹽的莫耳溶解度為 ，則：
- 濃度為
- 濃度為
- 溶液中溶質微粒總濃度為
理想稀溶液的滲透壓公式為：
其中 為 van’t Hoff factor。 完全解離後，每一個化學式單位產生 個離子，因此：
溶解度積定義為：
解題方法
已知：
由滲透壓公式：
代入 ：
因此：
所以平衡時：
套用溶解度積：
因此選擇：
選項分析
第 13 題2 分
At , a solution is formed by mixing of , of , of , of , and of . Assuming the volume change during the mixing can be ignored, what is the pH of this solution? ( for , , )
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核心觀念
本題考查：
- 強酸、強鹼的完全中和反應。
- 每 1 mol 可提供 2 mol 。
- 強酸完全反應後，剩餘的弱酸與其共軛鹼形成緩衝溶液。
- 使用 Henderson–Hasselbalch 方程式：
解題方法
先將各物質換算成莫耳數。
1. 計算強酸與強鹼的莫耳數
硝酸提供的 ：
氫氧化鈉提供的 ：
氫氧化鋇的莫耳數為：
每 1 mol 可解離產生 2 mol ：
因此提供：
氫氧化鉀提供的 ：
總鹼量為：
2. 先中和強酸
強酸 完全解離，因此其 優先與 完全中和：
原有：
- ：
- ：
中和硝酸後，剩餘：
3. 剩餘的 中和蟻酸
蟻酸莫耳數為：
剩餘的 會中和部分弱酸：
因此：
- 被中和的 ：
- 剩餘的 ：
- 生成的 ：
混合後形成 緩衝溶液。
4. 使用 Henderson–Hasselbalch 方程式
第 14 題2 分
Given the thermochemical data:
What is the for the reaction ?
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核心觀念
本題考查赫斯定律（Hess’s law）：反應焓變 為狀態函數，只與反應物、生成物的初末狀態有關，與反應途徑無關。
使用規則如下：
- 反應式反向， 變號。
- 反應式乘以倍數， 也乘以相同倍數。
- 多個反應相加時，總反應焓變等於各反應焓變的代數和。
目標反應為：
解題方法
將各已知反應分別編號：
為使反應物出現 ，將甲烷燃燒反應乘以 ：
第一式中的 必須成為中間物並被消去，因此將第一式反向且乘以 ：
第三式也要反向，使其消去 ：
最後，為消去水，將第四式反向且乘以 ：
將四式相加：
消去兩側相同的 、、 與 ，得到：
因此：
整理為：
第 15 題2 分
Many organic compounds containing thiol groups () are antidotes for the heavy metal element mercury poisoning. For example, the antidote compound I produces compound II with mercuric oxide as shown below.
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Compound III is also a mercury detoxifier. Compound IV is a strong acid. Which of the following statements is correct?
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核心觀念
本題主要考查：
- 硫醇基 與汞離子的配位、螯合反應。
- 價鍵理論與混成軌域。
- 電負度的定義。
- 分子幾何與鍵角。
- 離子鍵與共價鍵的判斷。
- 磺酸根中硫氧鍵的結構與鍵能。
化合物 III 含有 ，可視為磺酸根鈉鹽：
因此， 與 之間具有離子作用，而各原子間仍具有共價鍵。
解題方法
逐一檢查各選項所涉及的化學觀念：
- 由硫原子周圍的電子域數判斷混成軌域。
- 區分「元素本身的電負度」與「原子在化合物中的形式電荷」。
- 由碳原子的混成狀態判斷 鍵角。
- 觀察化合物 III 是否同時存在離子鍵與共價鍵。
- 判斷化合物 IV 中不同 鍵的化學環境與鍵能。
在化合物 I 與 的反應中，硫醇基的硫原子具有孤電子對，可作為親核中心與汞結合。反應可概略表示為：
其中兩個硫原子同時與汞配位，形成穩定的螯合結構 II，使汞被有機硫化合物捕捉。
選項分析
(A) In compound I, the S atoms take on hybridization.
錯誤。
化合物 I 中的每個硫原子屬於硫醇基 ，硫原子具有：
- 一個 鍵；
- 一個 鍵；
- 兩對孤電子對。
因此硫原子周圍共有四個電子域，採近似 混成，而不是 混成。
混成通常對應兩個電子域、線形結構與約 鍵角；此處並不符合。
(B) The electronegativity of the S element is the greatest in compound II.
錯誤。
電負度是元素本身的重要週期性質，硫的電負度不會因為位於化合物 I、II 或其他化合物中而改變。
化合物 II 中硫與汞形成配位鍵，會改變硫原子的電子分布與形式電荷狀態，但不會使「硫元素的電負度」變大。因此不能說硫在化合物 II 中具有最大的電負度。
第 16 題2 分
Compound Y has antimicrobial and anti-inflammatory properties and can be produced from X.
🖼️【此處有附圖，請對照原卷】
Which of the following statements about compounds X and Y is correct?
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核心觀念
本題綜合考查：
- 酯的鹼性水解（皂化）
- 羧酸的酸鹼中和
- 羧酸與醇的酯化
- 烯烴被酸性 氧化
- 對碳碳雙鍵的加成及手性中心
- 有機分子的平面性與碳原子雜化
由圖可見，X 與 Y 的差異在於：X 含有芳香氧的乙酸酯基 ，Y 則為相應的酚羥基 。反應如下：
酸化後，Y 的羧酸鹽形式轉為羧酸，得到題圖所示的 Y。
解題方法
先比較 X、Y 的官能基：
- X、Y 皆含有羧酸 。
- X 含有乙酸酯 ，Y 含有酚羥基 。
- X、Y 皆含有碳碳雙鍵。
- X、Y 的碳骨架及雙鍵位置相同。
因此，判斷選項時，應分別檢查官能基反應性及立體化學結果。
選項分析
(A) 1 mol of X reacts with a maximum of 2 mol of .
依圖中結構，X 至少具有：
- 羧酸中和：
消耗 mol 。
- 乙酸酯水解：
再消耗 mol 。
所以依一般有機化學的化學計量， mol X 可消耗 mol 。不過本題官方答案指定為 C，因此單選作答時不選 A。
此選項是本題較具爭議之處：若將羧酸中和與乙酸酯皂化都計入，A 的敘述在通常解讀下具有合理性。官方答案可能是以題目主要考查「X 經鹼水解轉為 Y」的反應判斷為主，而未將羧酸的中和量納入，導致 A 與標準化學計量存在歧義。
(B) X can be obtained by esterification of Y with ethanol.
乙醇與 Y 的羧酸進行酯化，會形成乙酯：
此反應改變的是羧酸基 ，形成 ；但 X 與 Y 的主要差異是酚羥基被乙醯化成乙酸酯：
第 17 題2 分
Which of the following is a chiral compound?
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核心觀念
本題考查「手性（chirality）」與「分子對稱性」的判斷。
若一個分子與其鏡像不能完全重疊，則具有手性。判斷重點是：
- 分子是否具有對稱面；
- 是否具有反演中心；
- 是否具有使鏡像可重疊的其他不正旋轉對稱；
- 多環芳香族化合物是否因環融合與位阻而形成非平面的螺旋結構。
平面且具有對稱面的多環芳香烴通常為非手性；若芳香環稠合造成螺旋扭曲，則可能產生「螺旋手性（helical chirality）」。
解題方法
逐一觀察各結構的稠合方式與立體形狀：
- 若所有芳香環可處於同一平面，且分子具有對稱面，則為非手性。
- 若多環結構因鄰近環的氫原子或碳骨架互相排斥，導致分子扭曲成固定螺旋形，且鏡像無法重疊，則為手性。
- 題圖中第④個結構屬於螺旋狀稠合多環芳香族化合物，具有穩定的螺旋構形，因此具手性。
選項分析
(A) ①錯誤
①為線性稠合的多環芳香族結構，芳香環大致共平面，分子具有對稱性。其鏡像可經旋轉或翻轉後與原分子重疊，因此不具手性。
(B) ②錯誤
第 18 題2 分
A compound formed by Ni and Al may form a structure with the unit cell shown on the right. Based on the provided information, which of the following statements is incorrect?
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核心觀念
本題考查：
- 晶體結構中各位置原子的計數。
- 配位數與最近鄰原子的判定。
- 金屬間化合物的鍵結類型。
- 晶體結構與熔點的關係。
圖中白色球代表 Al，黑色球代表 Ni。此結構屬於 型金屬間化合物結構：
- Al 位於立方體八個角落。
- Ni 位於六個面的面心。
解題方法
先計算一個單位晶胞內各元素的數目。
Al 位於八個角落，每個角落的原子由八個相鄰晶胞共同分享，因此：
Ni 位於六個面心，每個面心的原子由兩個相鄰晶胞共同分享，因此：
所以單位晶胞的組成為：
接著依照圖中的幾何位置判斷最近鄰配位：
- 每個面心 Ni 周圍最近的 Al 有 4 個。
- 每個角落 Al 周圍最近的 Ni 有 12 個。
選項分析
(A) This compound is an ionic solid.
錯誤。
是金屬間化合物，主要以金屬鍵結合。Ni 與 Al 雖然電負度不同，可能有部分電荷轉移，但晶體中並非由規則排列的 與 離子所形成，因此不能視為典型離子固體。
本選項為錯誤敘述，也是本題答案。
(B) Each Ni atom is surrounded by 4 Al atoms.
正確。
Ni 位於面心位置。從面心 Ni 沿著面內最近鄰方向，可找到 4 個位於立方體角落的 Al，因此每個 Ni 的最近鄰 Al 配位數為 4。
需注意：Ni 周圍也有其他 Ni 原子，但本選項所指的是 Al 配位數。
第 19 題2 分
Which of the following pairs of compounds have identical normal boiling point?
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核心觀念
正常沸點是液體蒸氣壓等於 時的溫度，主要取決於：
- 分子間作用力，例如氫鍵、偶極–偶極作用力與凡得瓦力；
- 分子大小與可極化性；
- 分子形狀與堆積方式；
- 立體異構的種類。
在非手性環境中，一對對映異構物具有完全相同的分子間作用力與物理性質，因此正常沸點相同。相反地，非對映異構物、位置異構物及同位素化合物，通常具有不同的正常沸點。
解題方法
逐一判斷各選項中的兩個化合物屬於何種關係：
- 是否為同位素化合物；
- 是否為非對映異構物；
- 是否為對映異構物；
- 是否為結構異構物；
- 比較其分子間作用力、分子量與立體形狀。
只有在兩個化合物具有相同分子組成、相同連接方式，且彼此為對映異構物時，才可判定其正常沸點相同。
選項分析
(A) 與 ：錯誤
中的氫被氘取代，氘的質量大於氫，因此：
- 的分子量較大；
- 分子振動頻率與零點能不同；
- 氫鍵網絡及分子間作用力的有效表現不同。
因此 與 的正常沸點並不相同。 的沸點略高於 。
(B) 圖中的兩個二溴化合物：錯誤
圖中兩個化合物具有相同的原子連接方式，但溴原子在橋環骨架上的相對立體排列不同，屬於非對映異構物，不是對映異構物。
非對映異構物具有不同的三維形狀與偶極矩，分子間排列及凡得瓦作用力也可能不同，因此正常沸點通常不同。
判斷重點是：
- 對映異構物：鏡像關係，物理性質大多相同；
- 非對映異構物：不是鏡像關係，物理性質通常不同。
故本選項不符合「identical normal boiling point」。
第 20 題2 分
What is the approximate lifting power of of helium in the atmosphere at and ?
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核心觀念
本題考查阿基米德原理與氣球的浮力。
氦氣球受到的浮力，等於其排開空氣的重量；但氦氣本身也有重量，因此真正能用來「lifting」外物的淨 lifting power 為：
在相同溫度與壓力下，理想氣體的體積與莫耳數成正比。氦氣的莫耳質量為 ，空氣的平均莫耳質量約為 。
解題方法
氦氣的莫耳數為：
在 、 下，理想氣體的莫耳體積為：
因此 氦氣所占體積為：
這些氦氣排開約 的空氣。空氣在相同溫度與壓力下的密度約為：
所以排開空氣的質量為：
這是浮力所相當於支撐的空氣質量。扣除氦氣本身的 ：
因此氦氣可額外承載的質量約為：
選項分析
第 21 題2 分
At room temperature, solution is added dropwise to of solution. The relationship between the negative logarithm of the concentration originating from the autoionization of water, , and the volume of added is shown in the graph on the right. Assuming that the volume change upon mixing can be neglected, which of the following statements is correct?
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核心觀念
本題考查弱酸 與強鹼 的滴定，以及：
- 中和反應與當量點判定
- 醋酸與醋酸根的物料守恆
- 半當量點的組成關係
- 過量強鹼下各離子濃度的比較
- 圖中縱軸 不等同於溶液實際
中和反應為：
初始醋酸莫耳數：
因為 濃度為 ，達到當量點所需體積為：
因此圖中的 為當量點，對應點 ； 為半當量點，對應點 。
解題方法
在滴定過程中，醋酸與醋酸根的總分析濃度為：
當加入 時：
且醋酸已完全轉化為醋酸根，因此：
這正是選項（D）的敘述。
選項分析
（A）錯誤
點 位於 ，為半當量點。
此時加入的 莫耳數為：
有一半的 被轉化為 ，所以：
混合後體積相同，故：
不是 。
（B）錯誤
圖中的縱軸為：
表示水自解離所貢獻的 濃度，並非溶液中所有 的總濃度，因此縱軸數值為 ，不能直接判定溶液呈中性。
點 位於當量點之前，溶液仍有過量的弱酸 ，呈酸性；點 位於當量點之後，溶液含有過量 ，呈鹼性。因此兩點不會同時為中性。
（C）錯誤
點 為當量點，點 位於當量點之後。
在點 ：
第 22 題2 分
A solution of the salt has a pH of 6.5 at , where B is a weak base and is the conjugated base of the weak acid HA. Given that the value for B is , what is the value for HA?
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核心觀念
為弱鹼 與弱酸 所形成的鹽，在水中解離為：
其中：
- 是弱鹼 的共軛酸
- 是弱酸 的共軛鹼
此溶液同時具有酸性粒子 與鹼性粒子 ，屬於兩性鹽溶液。
已知：
因此 的酸解離常數為：
在 時，。
解題方法
先求 的 ：
所以：
兩性鹽 溶液的近似公式為：
代入題目所給的 ：
兩邊乘以 ：
因此：
換算成 ：
故正確選項為 (D)。
公式的化學意義
可放出質子：
其酸性來自於弱鹼 的共軛酸性。
可接受質子：
兩者在溶液中互相競爭：
由於初始濃度皆約為 ，且水的自解離濃度相對很小， 與 的平衡可視為兩性物種的標準情形，因此使用：
的條件也使此近似具有良好適用性。
第 23 題2 分
The nuclide decays by -emission with a half-life of 37.2 min. A sample of of is placed in a closed container at , where one of the decay products is . What is the pressure (atm) in the container after 74.4 min? ()
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核心觀念
本題結合三個觀念：
- 放射性衰變的半衰期。
- 衰變造成原子序增加 ，質量數不變。
- 定溫、定容下，以理想氣體方程式計算總壓力：
發生 衰變：
因此，氯-38轉變為氬-38。氬為單原子氣體，而原本分子中的氫原子會由兩個氫原子結合形成 。
解題方法
1. 計算經過兩個半衰期後的剩餘量
經過時間為：
半衰期為：
因此：
剩餘的 莫耳數為：
衰變掉的 為：
2. 計算各種氣體的莫耳數
每一莫耳 衰變後，產生一莫耳 ，所以：
衰變掉的 共提供 mol 氫原子。兩個氫原子形成一個 分子：
尚未衰變的 仍存在：
所以容器內總氣體莫耳數為：
也可由莫耳數變化快速理解：每衰變 mol 的 ，形成 mol ，但氫原子必須兩個組成 mol ，因此淨增加氣體莫耳數為 mol。故：
第 24 題2 分
Monosaccharides can be presented in both Haworth and Fischer projection. Which of the following pairs represents the same monosaccharide?
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核心觀念
本題考查單醣 Haworth projection（霍沃斯投影式）與 Fischer projection（費雪投影式）的互相判讀。
對於常見的 -型醣：
- Fischer 投影式中，最下方手性碳的 在右側，表示為 -型。
- 由 Fischer 投影式轉成 Haworth 投影式時：
- Fischer 中「右邊」的 ，在 Haworth 中通常畫在「下方」。
- Fischer 中「左邊」的 ，在 Haworth 中通常畫在「上方」。
- -型醣的 通常朝上。
- 異頭碳 的 朝向決定 、，但必須先確認環上各手性碳的相對配置。
因此，判斷兩個投影式是否為同一單醣，重點是逐一比較 、、、 的立體配置。
解題方法
先讀取各選項 Fischer 投影式中，從 到 的 左右排列，再與上方 Haworth 投影式中相對應的上下排列比較。
選項（A）的 Fischer 投影式為：
至 的 排列為：
這正是 -glucose（-葡萄糖）的 Fischer 投影式。
在 Haworth 投影式中：
- 朝上；
- 的 朝下；
- 的 朝上；
- 的 朝下；
- 異頭碳的 方向與圖示相符。
依照「Fischer 右側 在 Haworth 中朝下、左側 在 Haworth 中朝上」的規則，兩者完全一致，因此（A）為同一單醣。
選項分析
（A）正確
Fischer 投影式的 排列為：
這是 -glucose。轉為 Haworth 投影式後，非異頭碳上的 應呈現：
圖中 Haworth projection 的排列正符合此配置，因此兩者代表同一個 -葡萄糖環狀結構。
（B）錯誤
第 25 題2 分
The standard molar free energies of formation () of and at are 52 and , respectively. Consider the equilibrium at :
Which of the following statements is correct?
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核心觀念
本題考查標準自由能、平衡常數、熵變、焓變與勒沙特列原理之間的關係：
並且：
反應為：
此反應是二氧化氮的二聚反應，實際上為放熱反應；降低溫度會使平衡朝放熱方向，也就是生成 的方向移動。
解題方法
先由題目給定的標準生成自由能計算反應的標準自由能變化：
因此在 ：
表示標準狀態下反應向右進行具有自發性。
再由：
可得：
因此：
所以在 ，平衡有利於生成 。
然而，溫度對平衡位置的影響必須依據反應焓變判斷。 二聚生成 是放熱反應：
降低溫度會促進放熱方向，使 的比例增加，因此：
會增加。
選項分析
(A) The reaction is endothermic at .
錯誤。
二聚生成 為放熱反應，故：
不能由 直接判定反應放熱；但此反應的熱效應為放熱，不是吸熱。
(B) for this reaction is positive at .
錯誤。
第 26 題2 分
The rate law for the reaction is , and the rates of the reaction under different conditions are as follows.
| Temperature | Reaction rate | ||
|---|---|---|---|
| 0.1 | 0.1 | ||
| 0.2 | 0.2 | ||
| 0.3 | 0.2 | ||
| 0.3 | 0.2 |
Which of the following statements is correct?
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核心觀念
本題考查：
- 由實驗速率資料求反應級數 、。
- 速率定律中各反應物濃度對反應速率的影響。
- 溫度改變對速率常數 的影響。
- 由反應速率判斷反應熱效應的限制。
已知速率定律為
其中 、 是實驗求得的反應級數，不必等於反應式中的化學計量係數。
解題方法
先利用溫度相同的前三組資料求 、。
由第一組與第二組比較：
- 溫度相同，故 不變。
- 與 都加倍。
- 反應速率由 變為 。
因此：
所以
再比較第二組與第三組：
- 溫度相同。
- 都是 ，不變。
- 由 變為 。
- 速率由 變為 。
因此：
故
代入 ：
因此速率定律為
由此可知， 為一級， 為二級；在相同相對濃度變化下， 對速率的影響較大。
選項分析
(A)
錯誤。
第三組與第四組的濃度完全相同：
但速率由 增加為 。由
可知在濃度相同時，速率增加代表速率常數 增大。
依 Arrhenius 關係：
在一般正活化能反應中，溫度升高會使 增大，因此
不是 。
(B)
錯誤。
由第二組與第三組直接比較，只有 改變：
因此
再由第一組與第二組得到 ，所以
正確結果為
(C) 當其他條件固定，只改變反應系統中四種物質的濃度時，只有反應物濃度會影響速率，且 的影響較大。
正確。
由實驗所得速率定律：
第 27 題2 分
Oil painting typically involves a variety of inorganic pigments. Studies have found that under different humidity and light conditions in air, the fading of the pigment orpiment () is mainly due to the following two chemical reactions (I and II):
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核心觀念
本題考查：
- 氧化數判定與氧化還原反應。
- 化學反應式配平。
- 電子轉移數目的計算。
- 、的結構。
- 光照條件與反應能量的判斷。
由圖可得兩個反應：
- 反應 I：
- 反應 II：
解題方法：先配平兩個反應
反應 I
配平後為：
因此，若以 mol 計算：
所以：
反應 II
配平後為：
因此：
電子轉移數目
反應 I
在 中：
- 為 價。
- 由電荷平衡可知為 價。
在 中，仍為 價，因此沒有被氧化。
在 中，兩個硫的平均氧化數為：
所以，每個的平均氧化數由 升至 ，每個硫失去 個電子。
每 mol 含有 mol硫，因此失去電子數為：
反應 II
由 價升至中的 價：
由 價升至中的 價：
總失去電子數為：
因此兩反應中，每 mol 被氧化時的電子轉移數比例為：
第 28 題2 分
A mixture of methanol and ethylene glycol is dissolved in of water, producing a solution with freezing point of . Which of the following values is closest to the mole percent of methanol in the mixture? ( of water is )
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核心觀念
本題考查凝固點下降：
其中：
- ：凝固點下降值
- ：溶劑的凝固點下降常數
- ：溶質的重量莫耳濃度，單位為
甲醇與乙二醇皆為非電解質，因此在理想稀溶液假設下，每 莫耳分子均貢獻 莫耳溶質粒子，不需乘以凡特荷夫因子。
題目要求的是混合物中甲醇的莫耳百分比：
解題方法
水的正常凝固點為 ，溶液凝固點為 ，所以：
由凝固點下降公式：
溶劑水的質量為 ，因此混合物中甲醇與乙二醇的總莫耳數為：
設甲醇的莫耳數為 ，乙二醇的莫耳數為 ，則：
甲醇的莫耳質量約為：
乙二醇 的莫耳質量約為：
混合物總質量為 ，故：
代入 ：
第 29 題2 分
A bipolar-membrane electrolyzer is used to reduce to produce , as shown in the figure below. The Faradaic efficiency for ammonia, , can reach 90%:
The Faradaic efficiency for producing other gas(es) is 50%. During operation, dissociates in the interfacial (middle) layer of the bipolar membrane to generate and , which migrate toward the two electrodes under the electric field. Which of the following statements is correct?
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核心觀念
本題考查：
- 電解槽中陰極、陽極的判定。
- 雙極膜中水的解離與離子遷移。
- 法拉第效率 的定義。
- 電極反應式配平與電子轉移量計算。
- 標準狀況下氣體莫耳數換算。
硝酸根在電極 a 發生還原生成氨，因此電極 a 是陰極；電極 b 則是陽極。
雙極膜中：
在電場作用下， 移向陰極 a， 移向陽極 b。
陽極在鹼性 溶液中主要產生氧氣：
其中每生成 mol ，理論上需要 mol 電子。
解題方法
題目給定陽極產生氣體體積為 ，標準狀況下：
陽極氣體視為 ，且其法拉第效率為 。因此，實際通過電極的電子莫耳數為：
氨的法拉第效率為 。每生成 mol ，硝酸根還原需要 mol 電子，因此：
所以選項 (D) 正確。
選項分析
(A) 錯誤
電極 a 是陰極，發生還原反應；電極 b 是陽極，發生氧化反應。
在電解槽中，外加電源使陰極電勢較低、陽極電勢較高，因此應為：
而不是選項所說的電極 a 電勢高於電極 b。
(B) 錯誤
帶負電，在電場中移向陽極。圖中電極 b 是陽極，因此由雙極膜產生的 會移向電極 b，而不是電極 a。
正確方向為：
- ：移向陰極 a
- ：移向陽極 b
(C) 錯誤
第 30 題2 分
A boron–carbon–nitrogen compound with a diamond cubic-like structure can be synthesized under high-temperature and high-pressure conditions. Its crystal structure was determined by X-ray crystallography and its unit-cell structure is shown in the figure on the right. The cubic unit-cell parameter is , and denotes Avogadro’s constant. Which of the following statements is incorrect? (Molar atomic mass (g/mol): B = 11, C = 12, N = 14)
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核心觀念
本題結合下列觀念：
- 鑽石型晶體的四面體共價鍵結與四配位。
- 單位晶胞中原子數的計算，須考慮角落、面上與晶胞內原子的分率。
- 晶胞密度公式：
- 經由圖中的鍵結關係，計算 與 鍵的數目比例。
解題方法
由圖中原子的位置及其在晶胞中的分率，可得一個單位晶胞含有：
因此其晶胞內的總莫耳質量為：
晶胞邊長為 ，而
所以晶胞體積為：
故晶胞質量為：
晶胞密度為：
選項分析
(A) 正確
鑽石型結構中，每個原子以四面體方式和鄰近原子形成四個共價鍵，形成三維延伸的強共價網狀結構。
此類結構通常具有：
- 高硬度
- 高熔點
- 絕緣性或較低導電性
因此此硼–碳–氮化合物屬於具有高硬度的共價化合物，敘述正確。
(B) 正確
鑽石型結構的核心特徵是四面體四配位。以任一個硼原子為中心，與其最近的四個鄰近原子具有相等的最近鄰距離。
因此最近鄰原子的數目為：
故依本題圖示及命題意旨，(B) 正確。
第 31 題2 分
A space probe is equipped with a large, perfectly reflecting solar sail. At the probe’s location, the Sun provides an average energy flux (Poynting vector magnitude) of . The sail has an area , and sunlight strikes the sail at normal incidence. What is the total force exerted on the sail due to radiation pressure?
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核心觀念
本題考查電磁波的動量與輻射壓力。
光具有能量，也具有動量。對能量為 的光子，其動量大小為
其中 為光速。太陽光的 Poynting vector magnitude
代表單位時間、單位面積所接收的電磁能量，即光強度。
光垂直入射於完全反射的帆面時，光的動量方向反轉，因此帆面獲得的動量變化量是吸收情況的兩倍，故輻射壓力為
解題方法
太陽光在時間 內傳遞給面積 的能量為
相應的入射光動量為
完全反射後，光的動量方向反向，因此光的動量變化量大小為
依動量守恆，帆面所受的衝量大小相同，所以力為
代入
得到
因此選擇
選項分析
第 32 題2 分
A light ray enters a transparent tank filled with a liquid of refractive index . At the bottom of the tank lies a thick glass slab with refractive index . The ray enters the liquid from air () at an angle of incidence . What is the range of the angle of refraction inside the glass slab?
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核心觀念
本題考查折射定律（Snell’s law）：
其中：
- 為介質折射率
- 為光線與介面法線的夾角
- 光線由低折射率介質進入高折射率介質時，會偏向法線，折射角變小
光線依序通過：
各介質折射率為：
解題方法
由於液面與玻璃板上表面皆為水平面，兩個介面的法線方向相同，因此可連續使用折射定律。
先求光線在液體中的折射角 ：
因此：
接著由液體進入玻璃，求玻璃中的折射角 ：
代入數值：
也可將兩次折射合併：
所以：
第 33 題2 分
An engineer is calibrating an acoustic sensor on the surface of Mars. The Martian atmosphere is primarily composed of carbon dioxide, whereas Earth's atmosphere consists mainly of dinitrogen and dioxygen. Sound waves propagate as rapid compressions and rarefactions under conditions where heat transfer is negligible (i.e., adiabatic propagation). If the engineer compares a sample of Martian air with a sample of Earth air at the same temperature, which of the following is the dominant factor explaining why the speed of sound is lower on Mars?
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核心觀念
聲波在氣體中的速度由介質的「絕熱體積彈性模數」與密度共同決定：
其中：
- ：絕熱體積彈性模數
- ：氣體密度
對理想氣體而言，絕熱過程滿足：
其中 。因此可得：
又因理想氣體方程式：
所以：
這是判斷本題的關鍵公式。於相同溫度下，音速主要受到熱容比 與莫耳質量 影響。
解題方法
火星大氣主要為 ，地球大氣主要為 與 。比較其莫耳質量：
而地球空氣平均莫耳質量約為：
在相同溫度下：
的莫耳質量明顯高於地球空氣，因此同溫下密度較大，使音速降低。
此外， 為彎曲型三原子分子，具有較多自由度，其 約為 ；空氣的 約為 。因此 的 反而較低，也會使音速降低，但本題官方所指定的主要因素是莫耳質量較大，故選 (A)。
以近似值估算：
可見在同溫下，二氧化碳中的音速約為地球空氣中的 ，降低的主要來源是較大的莫耳質量。
選項分析
(A) has a higher molar mass than or .
正確。
由：
在溫度相同時，莫耳質量越大，音速越低。因此這是本題官方答案所指定的主因。
第 34 題2 分
The depth of a dam is . What is the pressure (atm) at its bottom? ()
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核心觀念
本題考查液體靜力學中的壓力公式。液體內某深度處的壓力由兩部分組成：
- 液面上方的大氣壓力
- 液柱所造成的靜水壓力
因此，水壩底部的絕對壓力為
其中：
- ：水的密度，取
- ：重力加速度，取
解題方法
先計算深度 水柱造成的靜水壓力：
題目給定
因此水柱壓力換算為大氣壓單位：
水面承受大氣壓力，因此水壩底部的絕對壓力為
所以正確答案為 (C)。
選項分析
-
(A) 2.6：錯誤。此數值不是由 計算所得，與 水深不相符。
-
(B) 9.8：錯誤。 是重力加速度 的數值，不是水壩底部的壓力。將物理量的數值直接當成壓力，忽略了密度、深度與單位換算。
第 35 題2 分
John is attempting to knock over a heavy wooden target that is hinged at its base. He is given two balls of equal mass. Ball A is made of sticky clay, and Ball B is made of highly elastic rubber. He throws both balls toward the target with the same initial speed .
Ball A strikes the target and sticks to it (does not bounce).
Ball B strikes the target and rebounds with approximately the same speed .
Assuming the collision times are approximately equal, which ball is more likely to knock the target over, and why?
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核心觀念
本題考查「動量變化」與「衝量」對碰撞力的影響。
動量為
衝量等於動量的變化量：
而平均碰撞力為
目標物以底部為鉸鏈，球撞擊目標時，碰撞力會對鉸鏈產生力矩：
在兩球質量、初速度、撞擊位置及碰撞時間均相同的條件下，動量變化量較大的球會對目標施加較大的平均力與力矩，因此更容易將目標撞倒。
解題方法
設兩球質量皆為 ，初速度方向朝向目標，大小為 。
球 A 撞擊後黏在目標上，近似視為球 A 速度變為 ：
因此動量變化量大小為
球 B 撞擊後以相同速率反彈，因此其末速度方向與初速度相反：
所以
動量變化量大小為
因此
題目說兩次碰撞時間大致相等，因此平均碰撞力滿足
可得
撞擊位置相同時，球 B 對鉸鏈的力矩約為球 A 的兩倍，更容易使目標翻倒。因此正確答案為 B。
選項分析
(A) Ball A, because it transfers all its kinetic energy to the target.
錯誤。球 A 黏在目標上，屬於非彈性碰撞。球 A 的部分動能會轉化為目標的轉動能、聲能、熱能及形變能，不能說「將全部動能轉移給目標」。
第 36 題2 分
A laboratory is testing a pneumatic actuator containing moles of a monatomic ideal gas. The gas initially has state variables . During a test cycle, the gas is compressed to exactly half its original volume. The engineers perform this compression using two different thermodynamic paths: (i) the isothermal process and (ii) an adiabatic process. Which of the following statements is correct?
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核心觀念
本題考查理想氣體在等溫壓縮與絕熱壓縮中的：
- 內能與溫度的關係
- 熱力學第一定律
- 作功與壓力—體積圖
- 絕熱關係式
單原子理想氣體的內能為
因此內能只與溫度有關。只要溫度不變，內能變化即為零。
初態為 ，末態體積為
解題方法
一、等溫壓縮
等溫過程中
由理想氣體內能公式：
因為 ，所以
等溫壓縮仍然有作功。氣體對外作功為
等溫時 ，故
負號表示氣體受到外界作功；外界對氣體作功的大小為
為了維持溫度不變，壓縮時產生的能量必須以熱的形式放出。
二、絕熱壓縮
絕熱過程中沒有熱量交換：
由熱力學第一定律，若採用
則
壓縮時 ，因此
內能增加，表示溫度上升。
對可逆絕熱過程，
單原子理想氣體的絕熱指數為
因此
整理得
由於 ，
而等溫壓縮的末溫為 ，故
選項分析
(A) The work done during the isothermal process is greater than the adiabatic process.
錯誤。
壓縮時，絕熱路徑的壓力高於等溫路徑，因此在相同體積範圍內，絕熱壓縮所需的外界作功較大。
等溫壓縮的作功大小為
第 37 題2 分
A parallel-plate capacitor is connected to an ideal battery that maintains a constant voltage . A dielectric slab initially completely fills the space between the plates. An engineer slowly pulls the slab out at constant speed while the battery remains connected. Which of the following correctly describes the work done by the engineer () and the change in the electrostatic energy stored in the capacitor ()?
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核心觀念
本題考查「電池維持定電壓時，抽出介電質對電容器電容量、靜電能與外力做功的影響」。
平行板電容器的靜電能為
其中 為電容量， 為電壓。由於電池持續連接，電壓 保持不變。
介電質會被電場吸入電容器內，因此工程師要以外力將介電質慢慢抽出，必須抵抗電場力。
解題方法
介電質完全填滿兩極板之間時，電容量較大。當介電質被抽出，部分空間改由空氣取代，介電常數降低，因此電容量下降：
因為電池維持定電壓，所以
由於 ，得到
因此，電容器儲存的靜電能減少。
另一方面，介電質受到指向電容器內部的電場力。抽出介電質時，工程師施力方向與介電質位移方向相同，故工程師做正功：
所以正確組合為
即選項 (B)。
能量觀點補充
抽出介電質時：
- 工程師對介電質做正功；
- 電容器的靜電能減少；
- 電荷量也會因電容量下降而減少。
因為
且 固定、 下降，所以
第 38 題2 分
X-ray imaging relies on the fact that different biological tissues have distinct attenuation coefficients (). An X-ray beam with an initial intensity passes through a bone of thickness and attenuation coefficient , emerging with intensity . If the same X-ray beam instead passes through another tissue of the same thickness but with half the attenuation coefficient (), what is the resulting intensity ?
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核心觀念
本題考查 X 射線在物質中的指數衰減定律（Beer–Lambert law）：
其中：
- ：入射 X 射線強度
- ：穿透後的強度
- ：組織的衰減係數
- ：組織厚度
衰減係數越小，X 射線被吸收或散射的程度越低，因此穿透後的強度越高。
解題方法
另一組織厚度相同，且衰減係數為：
因此其穿透後強度為：
代入 ：
原題給定：
將 與 相乘：
取平方根：
因此：
選項分析
- (A) ：錯誤
衰減係數減半並不代表穿透後強度直接變成原來的兩倍或一半。強度與衰減係數之間是指數關係，不是簡單的線性比例關係。
- (B) ：錯誤
雖然兩種組織厚度相同，但衰減係數不同。由於 較小，第二種組織對 X 射線的衰減較弱，因此 ，不會等於 。
- (C) ：錯誤
由
第 39 題2 分
To visualize a virus with a diameter of approximately , a researcher uses a transmission electron microscope. Electrons are accelerated from rest through a potential difference , acquiring a non-relativistic kinetic energy . According to the de Broglie relation, how do the electron wavelength and the microscope’s resolution change if the accelerating voltage is increased to four times its original value?
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核心觀念
本題考查電子的 de Broglie 物質波，以及電子顯微鏡中「波長越短，解析能力越好」的關係。
de Broglie 關係式為
其中 為電子波長、 為 Planck 常數、 為電子動量。
電子由靜止經電位差 加速，題目指定採用非相對論動能：
因此
代入 de Broglie 關係式：
可得重要比例關係：
電子顯微鏡的解析能力與電子波長有關。波長越短，能分辨的最小距離越小，因此解析能力越好。
解題方法
若加速電壓變為原來的四倍：
則新波長為
所以
電子波長變為原來的一半。
由於解析能力與波長成反向關係，波長縮短後，顯微鏡能分辨更小的結構，解析能力提升，因此「resolution becomes better」。
所以正確選項為：
選項分析
(A) The wavelength doubles; resolution becomes worse.
錯誤。由
可知電壓增加為四倍時，波長會變為一半，而不是加倍。波長變短也會使解析能力變好，而非變差。
(B) The wavelength is halved; resolution becomes better.
正確。電壓變為四倍時：
電子波長減半，能分辨更小的距離，因此解析能力變好。
第 40 題2 分
A rigid container holds a mixture of two non-reacting ideal gases: mole of He and moles of . The temperature of the mixture is maintained at . Let denote the universal gas constant. What is the constant-volume molar specific heat of the gas mixture? (Assume all degrees of freedom appropriate at room temperature are active.)
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核心觀念
本題考查理想氣體的定容莫耳熱容，以及混合氣體熱容的莫耳數加權平均。
理想氣體的內能只與溫度及分子自由度有關。室溫下：
- 單原子氣體 He 具有 3 個平移自由度，因此
- 雙原子氣體 在室溫下具有 3 個平移自由度與 2 個轉動自由度，振動自由度通常不活化，因此
混合氣體的總定容熱容量為各成分熱容量總和；混合氣體的莫耳定容熱容則為總熱容量除以總莫耳數。
解題方法
已知：
總莫耳數為
各氣體的定容熱容量分別為
因此，整個混合氣體的總定容熱容量為
代入數值：
混合氣體的莫耳定容熱容為
第 41 題2 分
A nonrelativistic charged particle (speed ) with mass and charge moves with velocity in a uniform magnetic field . Which of the following statement is correct?
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核心觀念
帶電粒子在磁場中所受的磁力由 Lorentz force 給出：
其大小為：
其中 為 與 的夾角。
磁力方向同時垂直於速度 與磁場 ，因此磁力不會改變粒子的速率，只會在有垂直速度分量時改變速度方向。
解題方法
判斷本題可從三個公式切入：
- 磁力大小：
- 磁力所做的功率：
因為 垂直於 ，所以
因此磁力始終不做功。
- 當 時，磁力作為向心力：
解得圓周半徑：
選項分析
(A) Regardless of the direction of , the magnetic field does no work on the charged particle.
正確。
磁力永遠垂直於粒子的瞬時速度，因此磁力做功為：
由於 的方向與 相同，而 ，故：
所以不論 與 的方向關係為何，磁場對粒子皆不做功。磁場不能改變粒子的動能與速率，只能改變運動方向。
因此 (A) 正確。
(B) Regardless of the direction of , the magnetic force on the particle has magnitude .
錯誤。
磁力大小為：
只有在 ，即 時，才有：
若 ，則 ，磁力為：
第 42 題2 分
A circuit consists of a single inductor and a single capacitor , with natural angular frequency . A new circuit is constructed by connecting two identical inductors (each of inductance ) in parallel and two identical capacitors (each of capacitance ) in parallel, as shown on the right. What is the natural angular frequency of the new circuit?
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核心觀念
理想 LC 電路的自然角頻率為
兩個相同電感並聯時，等效電感為
兩個相同電容並聯時，等效電容量直接相加：
解題方法
新電路的自然角頻率為
代入等效值：
原本單一 與單一 電路的自然角頻率為
因此
故官方答案為 (B)。
選項分析
第 43 題2 分
A string of length is fixed at both ends and vibrates in a standing-wave pattern at a frequency of . A mass of is attached to one end, providing the tension in the string. The standing-wave pattern shows three loops as shown on the right. Use . What is the linear mass density of the string?
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核心觀念
本題考查兩端邊界固定的弦，其駐波頻率公式：
其中：
- ：波腹數，也就是圖中的 loops 數
- ：弦長
- ：弦張力
- ：弦的線性質量密度
若懸掛質量確實提供張力，則：
解題方法
依題目文字，弦長、頻率與質量分別為：
質量所提供的張力為：
圖示標示有三個 loops，因此在標準「兩端固定」模型中，應取：
由
整理得：
代入數值：
若完全依照上述標準模型計算，會得到選項 (C)。
原題爭議點
本題的文字敘述與圖示存在邊界條件上的矛盾：
- 題目說弦「固定在兩端」。
- 圖中上端連接 oscillator，下端連接質量 ；這與嚴格意義上的「兩端固定」並不完全一致。
- 若端點實際由 oscillator 驅動，端點的位移條件、相位與有效邊界條件需要明確說明。
第 44 題2 分
In a single-slit diffraction experiment, monochromatic light of wavelength passes through a slit of width , producing a diffraction pattern on a distant screen. Which of the following statements is correct?
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核心觀念
本題考查單狹縫繞射（single-slit diffraction）的暗紋位置與中央亮紋寬度。
狹縫寬度為 、入射光波長為 時，單狹縫繞射的暗紋條件為
其中：
- ：狹縫寬度
- ：第 條暗紋相對於中央軸線的角度
- ：暗紋階數
- ：光波長
在小角度近似下，若螢幕距離為 ，則
因此暗紋位置取決於比值 。
中央亮紋位於兩側第一暗紋之間，因此其寬度約為
可見中央亮紋寬度與波長 成正比，與狹縫寬度 成反比。
解題方法
判斷各選項時，直接使用兩個關係式：
以及
尤其要注意：繞射圖樣不是單獨由 或 決定，而是由 的比例決定。
選項分析
(A) If the width of the slit changes, the diffraction pattern does not change.
錯誤。
由暗紋條件
可知當狹縫寬度 改變時，暗紋角度 會改變。
- 狹縫變窄： 變小， 變大，繞射角度增大，圖樣變寬。
- 狹縫變寬： 變大， 變小，繞射角度減小，圖樣變窄。
因此繞射圖樣會改變。
(B) If the wavelength of the light changes, the diffraction pattern does not change.
錯誤。
由
第 45 題2 分
A particle moves along the -axis under the influence of a potential energy function . Which of the following values of correspond to positions of stable equilibrium?
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核心觀念
粒子在位能函數 下的受力為
平衡位置的條件是合力為零，因此必須滿足
穩定平衡則要求位能在該位置具有局部極小值。判斷方式為
若 ，代表位能為局部極大值，屬於不穩定平衡。
解題方法
題目給定
先求位能的一階導數：
令其等於零以找出所有平衡位置：
因此
接著求二階導數：
分別代入各平衡位置：
當 時，
因此 為位能極大值，是不穩定平衡。
當 時，
因此 為穩定平衡。
當 時，
因此 也為穩定平衡。
所以穩定平衡位置為
第 46 題2 分
A deuteron has the same charge as a proton (), but twice the mass (). Both particles move in circular paths in a plane perpendicular to a uniform magnetic field. The radius of the deuteron’s circular path is twice that of the proton (). Which of the following statements is correct?
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核心觀念
帶電粒子在均勻磁場中做圓周運動時，磁力提供向心力。因磁場方向垂直於運動平面，磁力大小為
向心力為
令兩者相等：
可得圓周半徑關係式
此外，角速度、週期、切線速度、加速度與角動量分別可由下式求得：
題目給定
且兩粒子處於相同的均勻磁場中。
解題方法
由
整理切線速度：
因此
代入已知條件：
所以兩粒子的切線速度相同：
再由
可得
因此週期比為
故正確選項為 (E)。
選項分析
(A)
角動量為
因此
由 、、：
第 47 題2 分
A planet orbits a star in an elliptical path under a central gravitational force. The length of the major axis of the ellipse is 5 (in arbitrary units), and the length of the minor axis is 4. The star is located at one focus of the ellipse. What is the ratio of the planet’s maximum speed to its minimum speed?
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核心觀念
本題考查橢圓軌道幾何、中心力下的角動量守恆，以及行星在近日點與遠日點的速度關係。
橢圓的長軸長為 ，短軸長為 ，其中：
- ：半長軸
- ：半短軸
- ：中心到焦點的距離
橢圓焦點位置滿足：
行星受到恆星的中心引力作用，因此相對於恆星的角動量守恆：
在近日點與遠日點，行星速度皆與半徑方向垂直，因此可直接使用：
解題方法
題目給出長軸長 、短軸長 ，因此半長軸與半短軸分別為：
由橢圓焦點公式：
恆星位於其中一個焦點。
行星與恆星的最小距離，即近日點距離為：
最大距離，即遠日點距離為：
由角動量守恆：
因此：
所以最大速度與最小速度的比為：
為什麼近日點速度最大、遠日點速度最小？
在中心引力作用下，行星的角動量守恆。行星越靠近恆星， 越小，為維持 不變，速度 必須越大；行星越遠離恆星，速度則越小。
因此：
- 近日點：距離最小，速度最大
- 遠日點：距離最大，速度最小
這也符合克卜勒第二定律：行星在相同時間內掃過相同面積，靠近恆星時必須移動得更快。
選項分析
(A) ：錯誤
第 48 題2 分
A bullet of mass moving horizontally with initial speed strikes a stationary block of mass that is suspended from the ceiling by a light string, forming a pendulum. The bullet becomes embedded in the block immediately upon impact, and the combined object swings upward to a maximum vertical rise of as shown on the right. Air resistance is negligible. Which of the following statements is correct?
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核心觀念
本題考查兩個階段：
- 子彈嵌入木塊的非彈性碰撞：碰撞瞬間可用水平方向動量守恆。
- 碰撞後的擺動：子彈與木塊一起上升時，機械能守恆，動能轉換為重力位能。
子彈嵌入木塊，表示這是完全非彈性碰撞，碰撞過程會損失機械能。
解題方法
第一步：碰撞瞬間利用水平方向動量守恆
碰撞前：
- 子彈質量為 ，速度為
- 木塊質量為 ，靜止
碰撞後，子彈與木塊黏在一起，速度設為 。
由水平方向動量守恆：
因此：
第二步：碰撞後上升利用機械能守恆
碰撞後至上升最高點的過程沒有空氣阻力，繩張力不做功，因此機械能守恆：
約去 ：
代入碰撞後速度：
所以：
第三步：計算碰撞時損失的機械能
碰撞前的機械能主要為子彈動能：
碰撞後的動能為：
代入 ：
因此碰撞損失的機械能：
整理得：
與選項 E 相同。
選項分析
(A) The collision between the bullet and the block is elastic.
錯誤。
子彈嵌入木塊，碰撞後兩者以相同速度運動，屬於完全非彈性碰撞。動量守恆，但動能不守恆，部分機械能轉化為熱能、聲音及形變能。
第 49 題2 分
Estimate the typical (order-of-magnitude) speed of air molecules (e.g. or ) under ambient conditions (approximately and ).
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核心觀念
本題考查氣體分子運動論：氣體分子的典型速率由絕對溫度與分子質量決定。常用均方根速率估算：
其中：
- 為絕對溫度
- 為莫耳質量，單位須使用
空氣主要成分為 與 ，其分子質量約為 和 ，因此在室溫下的分子速率約為數百 。
解題方法
環境溫度為：
以氮氣 為例：
代入均方根速率公式：
因此， 分子的典型速率約為 。
以氧氣 估算：
所以空氣分子的典型速率約為 ，屬於「數百公尺每秒」。
嚴格而言，氣體分子速率不是全部相同，而是服從 Maxwell–Boltzmann 速率分布；題目所說的 typical speed 可用均方根速率、平均速率或最概然速率估算。這些速率在室溫下都落在數百 的量級，因此不影響選項判斷。
選項分析
- (A) Nearly at rest
第 50 題2 分
A Carnot cycle is an ideal thermodynamic cycle that consists of two isothermal processes exchanging heat with reservoirs and two adiabatic processes. For the Carnot cycle, which of the following statements is true?
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核心觀念
Carnot cycle 由下列四個可逆過程組成：
- 高溫等溫膨脹：工作物質由高溫熱庫吸收熱量 。
- 絕熱膨脹：溫度由 降至 。
- 低溫等溫壓縮：工作物質向低溫熱庫放出熱量 。
- 絕熱壓縮：溫度由 升回 。
Carnot 熱機的熱效率為
對可逆 Carnot cycle 而言，等溫過程的熵變滿足
因此
可見效率只由高、低溫熱庫的絕對溫度決定，與工作物質、汽缸體積及引擎尺寸無關。
解題方法
本題直接檢查 Carnot cycle 的三項基本性質：
- Carnot cycle 是可逆循環，因此整個宇宙的熵變為零。
- 等溫過程與絕熱過程都可能有功的交換。
- 熱效率為 ，只與兩熱庫溫度有關。
- 熱機不可能將吸收的熱量全部轉為功，仍須向低溫熱庫放熱。
因此正確選項為與效率公式相符的 (E)。
選項分析
(A) The entropy of the reservoir does not change during the cycle.
錯誤。
熱庫在吸、放熱時，其熵會改變。高溫熱庫放出熱量 ，熵變為
低溫熱庫吸收熱量 ，熵變為
對可逆 Carnot cycle，
因此兩個熱庫的總熵變為零：
但這不代表每一個熱庫本身的熵變都為零，所以選項敘述不正確。
(B) Work is performed only during the adiabatic processes.
錯誤。
等溫過程也會有功的交換。對理想氣體而言，等溫膨脹的功為
只要體積發生變化，就有非零功。Carnot cycle 中：
- 高溫等溫膨脹：工作物質對外做功。
- 低溫等溫壓縮：外界對工作物質做功。
- 絕熱膨脹與絕熱壓縮：同樣有功的交換。
所以功並非只發生在絕熱過程。
第 51 題2 分
Two people, A and B, each of mass , are inside an elevator. Person A stands on the floor, while person B hangs from a light rope attached to the ceiling. Let be the force exerted on A by the floor, and be the force exerted on B by the rope. Which of the following statements is correct?
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核心觀念
本題考查牛頓第二定律，以及「同質量物體若具有相同加速度，所受合力相同」的判斷。
A、B 質量皆為 ，且都位於電梯內、相對電梯靜止，因此兩人的加速度皆等於電梯加速度 。
- ：地板對 A 的支持力。
- ：繩子對 B 的張力。
- 兩人皆受到重力 ，方向向下。
解題方法
取鉛直向上為正方向，設電梯加速度為 。
對人物 A 受力分析：
因此
對人物 B 受力分析：
因此
由於兩人的質量與加速度相同，得到
且地板支持力與繩張力皆為鉛直向上，因此它們不僅大小相等，方向也相同：
所以正確選項為 (A)。
此結果與電梯加速度無關：
- 電梯向上加速：，兩力皆大於 。
- 電梯向下加速：，兩力皆小於 。
- 電梯等速或靜止：，兩力皆等於 。
選項分析
(A) ：正確
A、B 的質量相同，且具有相同的電梯加速度。兩人皆只受一個向上的接觸力與向下的重力，因此由牛頓第二定律：
可知
(B) ：錯誤
兩人受力方程式完全相同，不會產生二倍關係。正確關係是
第 52 題2 分
A particle of extremely small mass is confined in a one-dimensional infinite potential well (box) of width . Its quantum mechanical nature must be taken into account. Which of the following statements is correct?
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核心觀念
本題考查一維無限深方形位能井（infinite potential well）的量子化條件。粒子被限制在
且井外位能無限大，因此粒子只能存在於井內，波函數在邊界必須為零：
粒子的定態波函數為
因此允許的波數為
能量則為
其中基態能量為
相應的德布羅意波長為
解題方法
判斷本題的關鍵是比較三種量與量子數 的關係：
所以：
- 波數是基態波數的整數倍；
- 能量是基態能量的平方數倍；
- 波長是基態波長的分數倍。
因此符合題意的是允許波數的敘述，即選項 (E)。
選項分析
(A) The ground state energy of the particle is zero.
錯誤。
基態對應 ，所以
粒子的基態能量不可能為零。若 ，則動量 ，波函數將無法形成符合兩端邊界條件的非零定態波。
這也可由不確定性原理理解：粒子被限制在有限寬度 的區域內，位置不確定度有限，因此動量不可能完全確定為零。
(B) The allowed wavenumbers depend on the particle’s mass.
錯誤。
由邊界條件可得
允許波數只由盒子的寬度 與量子數 決定，與質量 無關。
質量會影響能量：
但不影響允許的波數。
第 53 題2 分
A cylindrical tube of length is closed at one end and open at the other. Assuming the speed of sound in air is , what are the lowest two resonance frequencies of the tube?
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核心觀念
一端封閉、另一端開放的圓柱管稱為「一端閉管」。其共振條件為：
- 封閉端：空氣位移節點
- 開放端：空氣位移腹部
因此管內只能形成奇數倍的四分之一波長：
對應的共振頻率為：
所以一端閉管只出現基頻的奇數倍，不會出現偶數倍諧波。
解題方法
管長為：
聲速為：
第一個共振頻率為基頻，取 ：
第二個共振頻率對應下一個奇次模態，取 ：
因此最低兩個共振頻率為：
選項分析
- (A) 和 ：錯誤
是將管長直接當作半波長形式計算所造成的結果，並非一端閉管的基頻。且一端閉管不會出現基頻的偶數倍作為下一個共振頻率。
- (B) 和 ：錯誤
第 54 題2 分
A uniform rod of mass and length is pivoted at one end and allowed to swing freely under gravity. For small-angle oscillations, what is the period of the motion? (Assume gravitational acceleration is and neglect air resistance.)
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核心觀念
本題考查「物理擺（physical pendulum）」的小角度振盪。均勻細棒繞一端轉動時：
- 重力作用於棒的質心，質心距支點為 。
- 均勻細棒繞端點的轉動慣量為
- 小角度下使用近似 ，運動會化為簡諧運動。
解題方法
設細棒偏離鉛直向下方向的角度為 。
重力對支點產生的回復力矩大小為
負號代表力矩方向與角位移相反。小角度振盪時，
因此
由轉動版牛頓第二定律：
代入轉動慣量 ：
整理得
這是簡諧運動方程，故角頻率為
週期為
因此正確選項為
選項分析
(A) ：錯誤
此式相當於使用了錯誤的等效長度，沒有正確納入細棒繞端點的轉動慣量。均勻細棒的轉動慣量不是 ，而是
因此無法得到正確的週期。
(B) ：錯誤
此式與正確結果的係數互為倒數關係，表示將角頻率與週期的關係處理錯誤。正確關係為
第 55 題2 分
Two copper wires are connected in parallel. Both wires have the same resistivity, .
Wire A has length and cross-sectional area .
Wire B has length and cross-sectional area .
What is the equivalent resistance of the two-wire combination?
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核心觀念
本題考查導線電阻公式與並聯電阻：
其中：
- ：導線電阻，單位為
- ：電阻率，單位為
- ：導線長度，單位為
- ：導線截面積，單位為
兩條導線並聯時，等效電阻滿足：
或使用兩電阻並聯的快捷公式：
解題方法
先將截面積由 換算為 ：
導線 A 的電阻為：
導線 B 的電阻為：
兩條導線並聯，因此：
因此正確答案為 (B)。
選項分析
第 56 題2 分
A soap film (refractive index of ) is surrounded by air and illuminated by normally incident monochromatic light of wavelength (in air). What is the minimum film thickness required to produce constructive interference in the reflected light?
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核心觀念
本題考察薄膜干涉（thin-film interference）中，反射光的相位變化與光程差。
肥皂膜上下表面皆與空氣接觸：
- 上表面：光由低折射率空氣射入高折射率薄膜，反射時產生 相位變化，相當於半個波長的相位差。
- 下表面：光由高折射率薄膜射向低折射率空氣，反射時不產生相位變化。
因此，兩道反射光之間具有一次相位反轉。對於「一個相位反轉」的薄膜，反射光產生建設性干涉的條件為
其中：
- ：薄膜折射率
- ：薄膜厚度
- ：空氣中的入射波長
解題方法
題目要求最小膜厚，因此取最低階 ：
整理得
代入 與 ：
因此，產生反射光建設性干涉所需的最小膜厚為
選項分析
- (A) ：錯誤
對應的光程差為
反射光因一次相位反轉，建設性干涉所需的光程差最低為
不符合條件。
- (B) ：錯誤
第 57 題2 分
An electric kettle with resistance is connected to a (rms), AC power supply. The kettle is used to heat of water. Assuming all electrical energy is converted into heat, approximately how long will it take to raise the water temperature by ? The specific heat of water is about .
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核心觀念
本題考查交流電的有效值（rms）、電阻發熱功率，以及熱量公式。
交流電源標示的 為有效值，因此電阻所消耗的平均功率可直接使用：
水吸收的熱量為：
在「所有電能皆轉換為熱能」的條件下：
解題方法
水的質量由體積換算而得。水的密度約為 ，因此：
水升高 所需熱量：
電熱水壺的平均耗電功率：
由於 ，加熱所需時間為：
因此所需時間約為 ，選擇 (B)。
選項分析
- (A) about ：錯誤。
所提供的能量約為
第 58 題2 分
An elevator starts from rest and accelerates upward with constant acceleration . A small ball is released from rest relative to the elevator at a height above the floor. The ball then falls and strikes the floor. What is the speed of the ball just before it hits the floor, as measured in the ground frame?
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核心觀念
本題考查「非慣性座標系中的相對運動」與等加速度運動公式。
電梯向上加速度為 ，球離手後只受重力作用，向下加速度為 。因此，球相對於電梯地板的向下加速度為
題目問的是球相對於地面的速度，必須再依球在地面座標系中的運動求出。
解題方法
依官方答案的命題意圖，球是在電梯由靜止開始加速的瞬間釋放，因此球與電梯地板在釋放瞬間相對地面速度皆為 。
釋放後：
- 球的初速度：
- 球的加速度：向下
- 電梯地板的初速度：
- 電梯地板的加速度：向上
- 球與地板初始距離：
設球向上為正方向。經過時間 後，球的位置為
電梯地板的位置為
球撞擊地板時，兩者位置相同：
因此
球撞擊前的地面座標速度為
代入時間：
所以正確答案為
選項分析
- (A) ：正確。
第 59 題2 分
Eight resistors of equal length, each of resistance , are connected along the edges of a regular square pyramid: four resistors form the square base, and four resistors connect each base vertex to the apex as shown below. What is the equivalent resistance between point A and B of the square base?
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核心觀念
本題考查電阻網路的等效電阻，以及電路的對稱性與 Kirchhoff 電流定律。
正方形底面的 、 為對角頂點，彼此之間沒有直接的電阻連接。設正方形另外兩個頂點為 ，金字塔頂點為 。每條邊上的電阻皆為 。
由幾何與電路對稱性可知，當電流由 流向 時，、 兩點電位相同，因此可視為等電位點。
解題方法
令
並設
對頂點 使用 Kirchhoff 電流定律：
整理得
對頂點 使用 Kirchhoff 電流定律：
整理得
由第一式：
代入第二式：
因此
從 流出的總電流為流向 、、 的電流總和：
代入 ：
因此等效電阻為
第 60 題2 分
A microscope has an objective lens with an aperture diameter of and a focal length of . The sample is illuminated with monochromatic light of wavelength . Considering the diffraction limit, which of the following is closest to the minimum resolvable distance between two points?
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核心觀念
本題考查顯微鏡的繞射極限（diffraction limit）與最小可分辨距離。依 Rayleigh criterion，兩個物點能被分辨的最小距離為
其中：
- ：入射光波長
- ：數值孔徑
- ：樣品所在介質的折射率
- ：物鏡可接收光線的半角
題目未特別說明浸液物鏡，採用空氣介質，因此 。
解題方法
物鏡口徑直徑為 ，故半徑為
焦距為
由物鏡幾何關係：
因此空氣中的數值孔徑為
波長換算為
代入 Rayleigh 公式：
最接近的選項為
因此選 。
選項分析
- (A) ：錯誤
此數值遠小於繞射極限。它相當於忽略了數值孔徑的限制，或誤將波長直接除以較大的數值孔徑所得，無法符合本物鏡的實際解析度。
- (B) ：錯誤
大致等於光波長 ，但顯微鏡解析度不會只由波長決定，還必須除以數值孔徑，並乘上 Rayleigh