國立清華大學 111 年 《化學與物理》
第 1 題2 分
One mole of an ideal gas undergoes an isothermal reversible expansion at . During this process, the system absorbs of heat from the surroundings. When this gas is compressed to the initial state in one step isothermally, twice as much work is done on the system as was performed on the surroundings during the expansion. Which of the following statements about these processes are correct?
I. for the one-step isothermal compression is .
II. for the one-step isothermal compression is .
III. for the reversible isothermal expansion is zero.
IV. for the overall process (expansion and compression) is zero.
V. for the overall process (expansion and compression) is .
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核心觀念
本題考查：
- 理想氣體等溫過程的內能變化；
- 熱力學第一定律；
- 熵是狀態函數；
- 可逆過程與不可逆過程的宇宙熵變；
- 系統與周遭的熵變計算。
採用慣例：
- 系統吸熱：
- 對系統作功：
- 系統對外作功：
對理想氣體而言，內能只與溫度有關，因此等溫過程有：
由熱力學第一定律：
解題方法與計算
一、可逆等溫膨脹
膨脹過程中，系統吸收熱量：
因為是等溫過程：
因此：
表示系統對外作功 。
可逆等溫膨脹的系統熵變為：
周遭吸收的熱量為：
所以：
因此可逆膨脹的宇宙熵變為：
二、單一步驟等溫壓縮
題目指出，壓縮時「對系統作的功」是膨脹時系統對外作功的兩倍，因此：
按照上述符號慣例，對系統作功表示：
壓縮仍為等溫過程，所以：
由熱力學第一定律：
也就是系統放出 熱量，周遭吸收：
系統由膨脹後狀態回到初始狀態。系統熵是狀態函數，因此壓縮過程的系統熵變可由初、末狀態決定：
周遭在壓縮過程吸收 ，且溫度為 ，因此：
單一步驟壓縮的宇宙熵變為：
此結果為正，符合不可逆過程的特徵。
三、整體過程的熵變
整體過程包括膨脹與壓縮：
第 2 題2 分
Which of the following statements about ligands, -block metals, and coordination complexes is correct?
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核心觀念
本題綜合考查：
- Lewis 結構與形式電荷。
- 過渡金屬在生物分子中的角色。
- 八面體錯合物的幾何異構與光學異構。
- 螯合配體 對異構物數目的影響。
- Jahn–Teller distortion 與配位場強度的判定。
八面體錯合物中，六個配位位置可用「相鄰」與「相對」判斷：
- 相對位置：trans，鍵角為 。
- 相鄰位置：cis，鍵角為 。
- 若分子沒有鏡面、反心或旋轉反射軸，可能具有光學活性。
解題方法
逐一檢驗各選項：
- A、B 可直接由形式電荷與生物化學基本事實判斷。
- C、D 必須分析八面體錯合物的幾何排列。
- E 則利用過渡金屬的電子組態與 Jahn–Teller 效應判斷其是否適合作為規則八面體配位場的代表。
選項分析
(A) 錯誤
氰酸根為 。常見的三種 Lewis 結構可表示為：
其中形式電荷分別為：
| Lewis 結構 | O 的形式電荷 | C 的形式電荷 | N 的形式電荷 |
|---|---|---|---|
因此三種結構中，N 的形式電荷並不相同，分別可為 、、。
所以此選項錯誤。
(B) 錯誤
維生素 的中心金屬是鈷（Co），不是鋅（Zn）。
維生素 又稱 cobalamin，其結構中含有鈷錯合物，鈷在多種代謝反應中扮演重要角色，包括脂質與胺基酸代謝，以及紅血球生成相關作用。
鋅雖然也是人體重要的微量元素，但不是維生素 的中心金屬。
所以此選項錯誤。
(C) 錯誤
錯合物為：
鈷的氧化數為：
因此為八面體 錯合物，配位型式是 。
兩個 可以有兩種排列：
- 兩個 相對：trans。
- 兩個 相鄰：cis。
因此， 確實具有 cis-trans 幾何異構物。
但是，cis 異構物並不具光學活性。cis 結構仍具有包含 與兩個 的鏡面，因此其鏡像可以與原分子重疊。
第 3 題2 分
Consider mole of an ideal gas contained in a bulb at . This bulb is connected to a sealed, initially evacuated bulb via a valve. When the valve is opened, the temperature is assumed to remain constant. Which of the following statements is incorrect? (Gas constant )
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核心觀念
本題考查理想氣體的「自由膨脹」（free expansion）與熱力學第一、第二定律。
氣體由 容器膨脹至總體積 ，且膨脹到原本抽成真空的容器中，因此外界壓力為零：
- 外界壓力：
- 膨脹功：
- 理想氣體內能只與溫度有關
- 自由膨脹會使氣體可利用的空間增加，熵增加，因而是自發過程
解題方法
先計算開閥後的總體積：
溫度為：
平衡時使用理想氣體方程式：
因此：
由於氣體膨脹至真空中，外界壓力為零，所以：
在理想氣體中，內能只取決於溫度。題目明確指出溫度維持不變，因此：
焓的定義為：
對理想氣體而言：
溫度不變時：
另一方面，雖然內能與焓均不變，但氣體的體積由 增加至 ，氣體的熵增加：
因此此過程具有自發性，其驅動方向是熵增加，而不是內能增加。
選項分析
(A) The final pressure at equilibrium will be .
正確。
第 4 題2 分
Compound X, like most substances, exhibits only three phases: solid, liquid, and vapor. The triple point of X is at and . Which of the following statements concerning the liquid and gaseous X is correct?
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核心觀念
本題考查純物質的相圖與三相點（triple point）。
三相點是固體、液體與氣體三相能夠同時達到平衡的唯一溫度與壓力。本題給定：
液體區域必須位於三相點壓力的上方。當壓力低於三相點壓力時，液體無法成為穩定的平衡相，只能存在固體與氣體兩相之間的昇華平衡。
相圖中三相點的液–氣平衡線會由三相點向較高溫、較高壓方向延伸；液–固平衡線與固–氣平衡線則分別由三相點延伸出去。
解題方法
先比較各選項中的壓力與溫度是否低於三相點條件：
- 三相點壓力：
- 三相點溫度：
關鍵判斷為：
因此在 下，壓力低於三相點壓力，液體 不可能存在於平衡相圖中的液相區域。
所以正確答案為 (E)。
選項分析
(A) cannot exist at atmosphere pressure.
錯誤。
而
高於三相點壓力，因此在適當溫度下，液相可以存在。例如將溫度選在液體穩定存在的範圍內， 可以成為平衡相。
此選項錯在把三相點壓力 誤認為液體能存在的最高壓力；實際上它是液體能存在的關鍵最低壓力界線。
(B) cannot exist above .
錯誤。
是三相點溫度，不是液體存在的最高溫度。
在壓力高於三相點壓力時，即使溫度高於 ，液相仍可能存在。若壓力足夠高，液體的沸點會升高，因此可以在高於三相點溫度時維持液相。
例如在液–氣平衡線上，溫度高於 時，其對應的蒸氣壓也會高於 。
(C) cannot exist below .
錯誤。
第 5 題2 分
Given the following half-reactions and associated standard reduction potentials:
Calculate the standard reduction potential for the following half-reaction:
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核心觀念
本題考查標準還原電位 的合併計算。標準還原電位本身不能直接相加；正確做法是先將各半反應轉換成標準自由能變化：
其中：
- ：該半反應轉移的電子莫耳數
- ：法拉第常數
- ：標準還原電位
合併反應時，應先加總 ，最後再利用總電子數求出新的 。
解題方法
已知半反應：
目標反應為：
先將第一個半反應反向，使其成為氧化反應：
反向時，標準自由能變化的符號改變。原第一個半反應的自由能為：
因此反向反應：
其自由能為：
第二個半反應的自由能為：
將兩個反應相加：
相加後消去 ，得到：
總自由能變化：
此反應轉移 莫耳電子，因此：
取適當有效位數：
題目要求的是反應加倍後：
第 6 題2 分
How many of the following statements are correct?
I. All the group 13 elements are metals.
II. Alkaline earth metals react less vigorously with water than do alkali metals.
III. Salts can consist of hydrogen.
IV. Because Li has a more negative standard reduction potential than Na and K, it reacts most quickly with water among these three alkali metals.
V. is amphoteric.
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核心觀念
本題綜合考查：
- 第 13 族元素的金屬性
- 鹼金屬與鹼土金屬和水的反應性
- 鹽類的組成
- 標準還原電位與實際反應速率的差異
- 氧化鈹 的酸鹼性質
判斷此題的關鍵，是逐句確認敘述是否符合週期表趨勢、化合物定義與反應機理。
解題方法
逐一判斷 I～V 的真偽，再計算正確敘述的數量。
選項分析
I. All the group 13 elements are metals.
錯誤。
第 13 族元素包括：
其中硼 是類金屬（metalloid），不是金屬；鋁、鎵、銦、鉈及鿭則具有金屬性。
因此「第 13 族所有元素都是金屬」錯誤。
II. Alkaline earth metals react less vigorously with water than do alkali metals.
正確。
鹼金屬為第 1 族，最外層只有一個價電子，容易失去電子形成 ；鹼土金屬為第 2 族，需失去兩個價電子形成 ，通常需要較高的游離能，因此與水的反應性一般低於同週期的鹼金屬。
鹼金屬與水的通式為：
例如：
鹼土金屬的反應情形較受元素種類影響。鈹幾乎不與水反應，鎂需加熱或與水蒸氣反應，鈣可與冷水反應，但整體而言仍通常比鹼金屬溫和。
因此 II 正確。
III. Salts can consist of hydrogen.
正確，依本題官方答案的判定。
鹽類不一定完全不含氫；鹽的組成可包含氫元素。例如：
- 酸式鹽 、
- 氫化物型鹽 、
其中 可視為由 與 組成的離子化合物：
因此，若題目中的 “consist of hydrogen” 解讀為「鹽類的組成中可以含有氫」，敘述成立。
本句的文字較不嚴謹；若嚴格解讀為「鹽完全由氫構成」，則不符合一般鹽類定義。但配合官方答案 C，本題採「鹽類可以含有氫」的解讀，判定 III 正確。
**IV. Because Li has a more negative standard reduction potential than Na and K, it re
第 7 題2 分
Given the following eleven gaseous molecules:
, , , , , , , , , ,
Which of the following statements about these molecules is correct?
(A) There are six molecules with all their atoms lying in the same plane.
(B) Same hybridized orbitals are used by the N atoms in and .
(C) Both and are nonpolar molecules.
(D) All the C-atoms in the four carbon-containing molecules use hybridized orbital.
(E) Both and exhibit resonance.
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核心觀念
本題考查：
- VSEPR 理論與分子幾何
- 原子軌域混成
- 分子極性與對稱性
- 共振結構
- 分子是否具有共平面性
判斷「所有原子是否位於同一平面」時，須依實際分子幾何判定，不能只看路易斯結構是否能畫在紙面上。
解題方法
逐一判斷各分子的幾何形狀：
| 分子 | 分子幾何 | 所有原子共平面？ |
|---|---|---|
| 直線型累積二烯；兩端 平面互相垂直 | 否 | |
| 平面三角形 | 是 | |
| 平面三角形 | 是 | |
| 直線型 | 是 | |
| 直線型 | 是 | |
| 非平面扭曲結構 | 否 | |
| seesaw，扭曲非平面 | 否 | |
| 三角錐形 | 否 | |
| 彎曲型，三個原子構成平面 | 是 | |
| 正方形平面 | 是 | |
| seesaw，非平面 | 否 |
共平面的分子共有：
共 個，因此正確答案為 。
選項分析
(A) There are six molecules with all their atoms lying in the same plane.
正確。
共平面的六個分子為：
- ：每個碳為 ，整個分子為平面結構。
- ：羰基碳為 ，分子呈平面三角形。
- ：直線型，必然可視為共平面。
- ：直線型，必然共平面。
- ：彎曲型，但只有三個原子，三點必定決定一個平面。
- ：正方形平面結構。
是累積二烯。中央碳為 ，兩個互相垂直的 軌域分別與兩端碳形成 鍵，因此兩端 所在平面互相垂直，並非所有原子共平面。
(B) Same hybridized orbitals are used by the N atoms in and .
錯誤。
在 中，氮形成三個 單鍵，並具有一對孤電子對，電子域數為 ，採近似 混成，分子形狀為三角錐形。
第 8 題2 分
Ammonium benzoate is a salt formed from ammonia () and benzoic acid (). Calculate the pH of a solution of ammonium benzoate at . ( for , for ; ; ; )
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核心觀念
是弱酸弱鹼所形成的鹽，溶於水後解離為：
其中：
- 是弱鹼 的共軛酸，具有酸性。
- 是弱酸 的共軛鹼，具有鹼性。
相關水解反應為：
因此，溶液的酸鹼性取決於 的酸性與 的鹼性強弱。
解題方法
對弱酸弱鹼鹽，可使用公式：
本題中，陰離子 的鹼解離常數為：
陽離子 的酸解離常數為：
代入公式：
約去 ：
代入數值：
利用題目提供的對數：
因此：
取選項最接近值：
為什麼溶液呈微酸性？
的酸性常數為：
第 9 題2 分
Yellow phosphorus () undergoes disproportionation in to produce and . If of was used in the reaction, how many grams of would behave as the oxidizing agent? (Atomic weight of P = )
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核心觀念
本題考查氧化還原反應中的歧化反應（disproportionation）：
同一種元素的同一氧化態，部分被氧化、部分被還原。氧化劑是「自身被還原」的物質，因此本題要找的是被還原成 的那部分 。
各物種中磷的氧化數如下：
- ：磷為
- ：設磷為 ，則 ，所以
- ：設磷為 ，則
因此：
- 中的磷由 降至 ，被還原， 扮演氧化劑。
- 中的磷由 升至 ，被氧化， 扮演還原劑。
解題方法
1. 由電子轉移數判斷比例
每個被還原的磷原子：
得到 個電子。
每個被氧化的磷原子：
失去 個電子。
依電子守恆：
所以每 個磷原子中：
- 個磷原子被還原成
- 個磷原子被氧化成
這也可由配平反應式表示：
反應式中， 個 所含的 個磷原子，有 個進入 ，代表四分之一的磷原子所對應的 量扮演氧化劑。
2. 計算扮演氧化劑的質量
的莫耳質量為：
題目使用的 莫耳數：
第 10 題2 分
Consider the titration of of with . For , , , and . Three pH values during the titration are listed as follows.
(1) Before the addition of , the pH is .
(2) After the addition of , the pH is .
(3) After the addition of , the pH is .
Which of the following statements about , , and is correct?
(, , )
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核心觀念
本題考查多元酸 的逐步解離、兩性物種的酸鹼性，以及滴定過程中不同階段的 pH 判斷。
磷酸的逐步解離為：
其對應的解離常數為：
因此：
和 都是兩性物種，可同時表現酸性與鹼性。
解題方法
（1）未加入 ：求
初始溶液只有 ，主要離子為兩性物種 ：
以及：
對兩性物種 ，其 pH 可近似為：
代入：
所以：
（2）加入 ：求
初始 的莫耳數為：
加入 的莫耳數為：
氫氧根會中和 ：
反應後：
此時為 緩衝溶液，使用 Henderson–Hasselbalch equation：
第 11 題2 分
Element X has only two isotopes, 1 and 2, and its atomic weight is . Of the following combinations of isotope abundance and corresponding neutron number, which is the most reasonable? (Note: , , , , and are integers.)
(A) Isotope 1: abundance , number of neutrons ; isotope 2: abundance , number of neutrons .
(B) Isotope 1: abundance , number of neutrons ; isotope 2: abundance , number of neutrons .
(C) Isotope 1: abundance , number of neutrons ; isotope 2: abundance , number of neutrons .
(D) Isotope 1: abundance , number of neutrons ; isotope 2: abundance , number of neutrons .
(E) Isotope 1: abundance , number of neutrons ; isotope 2: abundance , number of neutrons .
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題目清楚,答案正確。每一個元素都 有質子,所以(B)選項不正確。
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核心觀念
同一元素的所有同位素具有相同的質子數 ，差別只在中子數 。其同位素質量近似為質量數：
元素的原子量為各同位素質量依天然豐度加權平均：
由於 、、 都是整數，原子量的小數部分主要由「中子數差異」與「同位素豐度」共同決定。
若同位素 2 比同位素 1 多 個中子，且同位素 2 的豐度為 ，則：
題目要求原子量為 ，因此 應接近 。
解題方法
逐一檢查各選項的中子數是否為整數，並計算豐度造成的小數部分。
選項分析
(A)
同位素 2 的中子數為 。中子數必須是整數，但 不是整數，因此不合理。
(B)
同位素 1 有 個中子，同位素 2 有 個中子，豐度分別為 、。表面上看：
若題目給定原子量為 ，則必須有：
第 12 題2 分
Which of the following molecular formulae has the most structural isomers, all containing a hydroxyl group?
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核心觀念
本題考查「結構異構物」的判斷與計數。
- 結構異構物：分子式相同，但原子連接方式不同。
- 題目限定每個異構物都必須含有羥基 ，因此只計算醇類及含羥基的不飽和醇、環醇。
- 不計幾何異構物、光學異構物，只計算不同的原子連接方式。
- 先利用不飽和度判斷分子中是否必須含有雙鍵或環。
不飽和度公式為：
氧不影響不飽和度。
解題方法
分別計算各分子式中，含有 的結構異構物數目。
1.
表示分子中有一個環或一個雙鍵。
含羥基的結構可分為：
- 不飽和鏈狀醇：3 種
例如丙-1-烯-1-醇、丙-1-烯-2-醇、丙-2-烯-1-醇 - 環醇：1 種
環丙醇
因此共有：
2.
沒有雙鍵，也沒有環，只能是飽和鏈狀醇：
- 1-丙醇
- 2-丙醇
因此共有：
3.
可形成一個雙鍵或一個環。
（1）含雙鍵的鏈狀醇
直鏈骨架可形成 6 種：
- 丁-1-烯-1-醇
- 丁-1-烯-2-醇
- 丁-1-烯-3-醇
- 丁-2-烯-1-醇
- 丁-2-烯-2-醇
- 丁-3-烯-1-醇
支鏈骨架可形成 2 種：
- 2-甲基丙-1-烯-1-醇
- 2-甲基丙-1-烯-3-醇
因此含雙鍵的鏈狀醇共有：
（2）含環的醇
可形成：
第 13 題2 分
Which of the following statements about the dominant Lewis structures of is correct?
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本題考查下列 Lewis 結構與形式電荷觀念：
- 價電子總數：
有 個價電子， 有 個價電子；陰離子再加上負電荷所代表的電子數。 - 八隅體規則與擴張八隅體：
位於第三週期，可形成擴張八隅體。 - 形式電荷：
- 主導 Lewis 結構的判斷：
通常優先選擇形式電荷總和最小、負電荷位於電負度較大的原子，且能以多重鍵降低電荷分離的結構。
解題方法
先計算各物種的總價電子數，再依照主族元素的電負度與形式電荷，判斷主導 Lewis 結構。
的電負度大於 ，因此若必須出現負形式電荷，通常放在 上。對於含有多個 的含氧陰離子，主導結構通常以多重鍵降低形式電荷：
- ：兩個 與一個
- ：三個 與一個
這些結構均具有等價的共振式。
各物種的主導 Lewis 結構
1.
總價電子數為：
總價電子數為奇數，因此 是自由基，無法使所有原子同時滿足八隅體規則。
可表示為具有一個未成對電子的結構，例如：
其中必然有一個原子無法取得完整八隅體。
因此， 不遵守完整的八隅體規則。
2.
總價電子數為：
主導 Lewis 結構為單鍵：
其形式電荷為：
- ：
- ：
兩個原子均可滿足八隅體。此結構只有一條 單鍵，該鍵為 鍵，不含 鍵。
若畫成 ，雖可使氧的形式電荷降低，但會使氯帶正形式電荷，造成較大的電荷分離：
因此不是主導結構。
3.
總價電子數為：
主導結構可表示為：
另有兩個等價共振式。其電子分布如下：
- 上有 對孤電子對，共 個孤電子對電子
- 雙鍵氧上有 對孤電子對，共 個電子
- 單鍵氧上有 對孤電子對，共 個電子
全分子孤電子對電子總數為：
因此不是 個。若題目所稱的孤電子對電子僅指中心 ，則中心氯也只有 個孤電子對電子，同樣不是 個。
4.
總價電子數為：
第 14 題2 分
Which of the following statements about the van der Waals equation is incorrect?
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本題考查 van der Waals equation 對理想氣體方程式的修正：
理想氣體假設氣體分子：
- 本身不具有體積。
- 分子間沒有作用力。
真實氣體不完全符合上述假設，因此 van der Waals equation 引入兩項修正：
- ：壓力修正項，反映分子間吸引力。
- ：體積修正項，反映氣體分子本身占有的體積。
其中 與 對一般氣體皆為正值。
解題方法
逐一判斷各選項是否符合 van der Waals equation 的物理意義。
由於氣體分子間存在吸引力，分子撞擊容器壁的有效力量會降低，因此實際測得的壓力 小於若無分子間吸引力時的理想壓力。為補回此壓力損失，必須加入正的修正項：
另一方面，真實氣體分子本身具有體積，分子可自由運動的有效體積小於容器體積 ，因此有效體積為：
所以完整方程式為：
選項分析
(A) The van der Waals equation describes the behavior of real gases.
正確。
理想氣體方程式 忽略分子體積與分子間作用力；van der Waals equation 加入這兩項修正，因此可描述真實氣體的行為，尤其在高壓、低溫條件下比理想氣體方程式更適用。
(B) and is used to compensate for the attraction force between gas molecules.
正確。
方程式中的壓力修正項為：
分子間的吸引力會使氣體實際壓力降低，因此必須將此修正項加回壓力：
第 15 題2 分
If the reaction starts with only mole of A and mole of B in a sealed reaction vessel, the equilibrium constant of this reaction is . Which of the following statements is correct?
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核心觀念
本題考查氣體—固體平衡反應的平衡常數、反應進行程度與限制反應物判斷。
反應為：
平衡常數 的表示式中：
- 氣體以平衡濃度表示。
- 純固體 的活度視為 ，不列入平衡常數式。
因此：
反應開始時，在 容器中有 mol 與 mol ，所以初始濃度為：
其中 為固體，實際計算時以莫耳數判斷其是否足量。
解題方法：設反應進行程度為
設反應向右進行 mol。因為容器體積為 ，所以氣體濃度的數值可直接以 表示。
依照化學計量係數：
因為 只有 mol，而每進行 mol 反應需消耗 mol ，故：
因此反應進行程度必須滿足：
平衡時：
所以：
這是本題所有選項判斷的核心公式。
選項分析
(A) 錯誤
選項寫成：
純固體 不列入平衡常數表示式，因此正確式為：
故 (A) 錯誤。
(B) 錯誤
若 ，選項宣稱：
由 得：
因此：
但反應每進行 mol 需消耗 mol 的 ，此時所需 為：
可是初始只有 mol ，會使：
出現不可能的負值。因此 超過 的供應量， 會先耗盡，不能形成題目所宣稱的平衡狀態。
這正是校方釋疑所指出的重點：在 (B) 的條件下，物質 不足，故選項不正確。
亦可由平衡式直接看出：
令 ：
第 16 題2 分
Which of the following comparisons for the acidity of the following species in an aprotic solvent is correct?
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本題考 Brønsted–Lowry 酸鹼理論與「共軛鹼穩定性」：
酸性越強，越容易失去質子，生成的共軛鹼 越穩定。可用酸解離常數表示：
越大、 越小，酸性越強。
在非質子性溶劑（aprotic solvent）中，溶劑不會提供氫鍵或質子，因此比較酸性時，主要觀察：
- 共軛鹼的共振穩定性；
- 電負度與誘導效應；
- 電荷是否能分散；
- 分子結構與立體障礙；
- 離子化合物的實際酸性物種。
解題方法
逐一找出各物種失去質子後的共軛鹼，再比較共軛鹼的穩定性。
若某物種本身帶負電，通常已是共軛鹼，酸性會比其共軛酸弱；若比較的是鹽類，則應辨認其中真正可能提供質子的離子，例如 的酸性來自 ，而非 。
選項分析
(A)
此敘述錯誤。
是醋酸 的共軛鹼，本身若要再失去質子，只能移除甲基上的 -氫：
生成的 並沒有良好的共振穩定性，且帶有兩個負電荷，因此酸性很弱。
則可失去質子生成 ：
雖然生成物帶有較高負電荷，但磷酸根的負電荷可分散於多個氧原子，且 仍保有可解離的酸性氫。一般酸性判斷中， 比 酸。
因此正確關係應為：
(B)
此敘述錯誤。
為離子化合物，在溶液中可視為含有強鹼性離子 ：
是 的共軛鹼：
因此 比 更容易提供質子，酸性較強。 的主要化學特性是強鹼，而不是強酸。
正確關係應為：
所以選項所示的 不成立。
(C)
此敘述錯誤。
可失去質子生成 ：
其酸性相對較弱。
可失去質子生成 ：
第 17 題2 分
Which of the following compounds (1–5) is optically active?
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核心觀念
本題考查有機化合物的光學活性（optical activity）與手性（chirality）。
化合物具有光學活性的必要條件，是分子與其鏡像不能完全重疊，也就是分子具有手性。最常見的判斷方式是尋找手性中心：通常為一個連接四個不同基團的 碳原子。
若分子具有：
- 對稱面（plane of symmetry）
- 對稱中心（center of symmetry）
- 其他能使分子與鏡像重疊的對稱元素
則分子為非手性，通常不具光學活性。
解題方法
判斷每個結構是否具有手性中心，並進一步檢查整個分子是否存在內部對稱性：
- 找出所有四面體構型的 碳原子。
- 判斷該碳是否連接四個不同的原子或基團。
- 若有手性中心，檢查分子是否因對稱面而形成 meso compound。
- 能與鏡像完全重疊者為非手性；不能重疊者才具有光學活性。
依題目所給官方答案，化合物 1 為手性分子，與其鏡像互為不可重疊的鏡像異構物，因此具有光學活性。
選項分析
第 18 題2 分
Which of the following compounds (6–10) is chiral?
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核心觀念
本題考查有機化學中的手性（chirality）與手性分子判定。
若一個分子與其鏡像不能完全重疊，稱為手性分子（chiral molecule）；若能完全重疊，則為非手性分子（achiral molecule）。判斷時主要觀察：
- 是否具有手性中心：通常為連接四個不同基團的 碳原子。
- 分子是否具有對稱面、對稱中心或其他使其與鏡像重疊的對稱元素。
- 即使含有立體中心，若分子具有內部對稱面而形成 meso compound，仍屬非手性。
解題方法
本題應逐一檢查化合物 –：
- 找出可能的四面體手性中心。
- 確認該中心所連接的四個基團是否完全不同。
- 檢查整個分子是否具有對稱面或其他對稱元素。
- 若存在一個無法由對稱操作與鏡像重疊的結構，即判定為手性。
依題目所提供的官方答案，化合物 為手性分子，因此選擇 。
選項分析
- (A) 6：錯誤。
化合物 不符合手性分子的判定條件，或其結構具有可使鏡像重疊的對稱元素，因此屬於非手性分子。
第 19 題2 分
Which of the following compounds (11–15) is not monosaccharide?
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核心觀念
單醣（monosaccharide）是不能再水解成更小醣類的基本醣單位，例如葡萄糖、果糖與半乳糖。判斷醣類是否為單醣，重點是觀察分子中是否只有一個醣單元：
- 只有一個醣單元：單醣。
- 由兩個單醣經脫水縮合形成：雙醣，例如蔗糖、麥芽糖、乳糖。
- 含有多個醣單元：寡醣或多醣。
雙醣的形成可表示為：
其中 為糖苷鍵。
解題方法
本題應逐一觀察化合物 – 的結構，判斷：
- 是否只有一個環狀或開鏈醣骨架。
- 是否含有兩個醣環，且以 糖苷鍵連接。
- 是否能再水解成兩個或更多較小的醣分子。
依題目提供的官方答案，化合物 為非單醣，表示其結構具有至少兩個醣單元，屬於雙醣或更高聚醣；其餘化合物 、、、 則各自只含一個醣單元，屬於單醣。
選項分析
- (A) 11：錯誤。
化合物 為單一醣單元，不能再水解成更簡單的醣，因此屬於單醣。
第 20 題2 分
Each of the longest wavelength of the spectral lines recorded for two electron transitions from and of hydrogen atoms is and , respectively. What is the relationship between and ?
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核心觀念
本題考查氫原子能階與氫原子光譜的關係。氫原子電子由高能階 躍遷至低能階 時，會放出光子，其波長由能階差決定：
因此：
能階差越小，放出的光子能量越低，波長越長。
解題方法
題目中的「from 」與「from 」表示電子分別由 與 能階向較低能階躍遷。
對於由固定初始能階出發的放射光譜，最長波長對應到能量差最小的躍遷。
一、電子由 出發
由 只能躍遷至 ：
其能量差為：
因此：
二、電子由 出發
由 可躍遷至 。其中相鄰能階 的能量差最小，因此波長最長：
其能量差為：
所以：
三、求
約去共同因子 ：
第 21 題2 分
As shown in Fig. 1, a container with a fixed volume at constant temperature is divided into three compartments (A, B, and C) by two partitions, which are movable without friction. Compartments A and C are filled with an equal amount of mass of gas X and Y. When two partitions stop sliding, the density of X is equal to that of Y. Which of the following statements is correct?
(A) Volume of gas:
(B) Number of moles of gas:
(C) Number of moles of gas:
(D) The molecular mass of X is equal to the molecular mass of Y.
(E) The molecular mass of X is smaller than the molecular mass of Y.
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核心觀念
本題考查：
- 無摩擦可動隔板達平衡時，各區氣體壓力相等。
- 溫度相同且視為理想氣體時，利用理想氣體方程式：
- 密度定義：
題幹指出氣體 與 的質量相等，且平衡後密度相等。
解題方法
由密度定義：
因為：
因此必有：
兩個隔板均可無摩擦移動，停止時表示各區壓力達到平衡，所以：
又因各區溫度相同，對 與 分別使用理想氣體方程式：
由於 、 且 相同，因此：
再利用莫耳數與質量、分子量的關係：
由 且 ，可得：
因此：
所以正確答案為 。
選項分析
第 22 題2 分
Which of the following groups of species can coexist in significant amounts in a given solution at room temperature?
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核心觀念
本題考查水溶液中各物種能否「大量、穩定地同時存在」，判斷依據包括：
- 酸鹼指示劑顏色與溶液酸鹼性
- Methyl orange（甲基橙）在酸性溶液中呈紅色，變色範圍約為 。
- Phenolphthalein（酚酞）在鹼性溶液中呈粉紅至紅色，通常代表 。
- 沉澱反應
若兩種離子生成難溶鹽，便不能在溶液中大量共存，例如：
-
酸鹼反應
會與弱酸根、氫氧根或兩性物種反應，故不能與其大量共存。 -
氧化還原反應
強氧化劑會消耗具有還原性的物質，例如酸性 會氧化葡萄糖。
解題方法
逐一檢查每個選項中的物種：
- 是否因指示劑顏色而被限定酸鹼環境；
- 是否會產生沉澱；
- 是否會發生酸鹼中和；
- 是否會進行氧化還原反應；
- 離子是否有合理來源，且能維持大量存在。
只要有一組物種會快速反應而被消耗，即不能共存於 significant amounts。
選項分析
(A) 正確
甲基橙呈紅色，表示溶液呈酸性，但酸性程度不必強到使所有硫酸根轉變成 。在適當酸度下， 仍可大量存在。
題目所列離子可由可溶性鹽提供：
其中：
- 與 均為可溶性、旁觀離子；
- 可溶，不會生成大量沉澱；
- 的水解作用很弱，不會使其完全消失；
- 酸性環境中，硫酸根與氫離子存在下有下列平衡：
但在甲基橙呈紅色所需的酸度範圍內，仍可有相當量的 存在。
因此，、、 與 能在溶液中共存。
(B) 錯誤
酚酞呈紅色表示溶液為鹼性。此時 會使溶液呈弱鹼性，但 不能與其大量共存。
會與水中的 形成氫氧化銅沉澱：
而 在鹼性環境中會轉化為 ：
接著生成難溶的碳酸銅：
實際上也可能形成鹼式碳酸銅，但重點是 會被沉澱消耗，不能與 在鹼性溶液中大量共存。
第 23 題2 分
Under the same conditions, Na, Mg, and Al of equal molar amounts are respectively added to three test tubes X, Y, and Z containing the same concentration and volume of dilute hydrochloric acid to fully react at room temperature. Which of the following three test tubes X, Y, and Z must be incorrect in relation to the volume of gas produced?
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核心觀念
本題考查金屬與酸的反應、鈉與水的反應，以及限制試劑的判斷。
三支試管中的鹽酸濃度與體積相同，因此所含的 莫耳數相同，亦即可提供相同莫耳數的 。題目並指定三種金屬與酸反應後金屬皆過量，所以鹽酸為限制試劑。
在相同溫度、壓力下，氣體體積與莫耳數成正比：
因此只要比較生成氫氣的莫耳數即可。
解題方法
1. 鎂與鋁生成的氫氣
鎂與鹽酸反應：
鋁與鹽酸反應：
由反應比例可知，每消耗 莫耳 ，鎂或鋁皆生成 莫耳 。由於試管 Y、Z 中的鹽酸量相同，且鎂、鋁皆過量，因此：
所以：
2. 鈉生成的氫氣
鈉除了可與鹽酸中的 反應，也會與水反應。
鈉與鹽酸反應：
鈉與水反應：
因此，試管 X 中的氫氣來源包括：
- 鈉與鹽酸反應所生成的氫氣；
- 鈉與水反應所生成的氫氣。
鹽酸所提供的 只能產生固定量的氫氣；鈉與水的反應則額外產生氫氣。因此：
實際氣體體積關係為：
選項分析
(A)
錯誤。
第 24 題2 分
A certain amount of is introduced into a certain concentration of potassium hydroxide solution, where both reagents are completely consumed and heat is released. Three ionic species containing chlorine are produced from this reaction, among which the amount () of and ions and the reaction time () are shown in Fig. 2.
Which of the following statements is incorrect?
(A) Different reactions of and potassium hydroxide solutions may occur at different temperatures.
(B) The number of electrons transferred in the reaction is .
(C) The amount of KOH in the original potassium hydroxide solution cannot be determined.
(D) The amount of in the product is .
(E) The amount of in the solution is .
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氫氣,故B 可能。 題目清楚,答案正確。由圖中數據得 知生成0.03 mole ClO3 ̅和0.06 mole ClO ̅,故轉移電子數為 (0.03 × 5 + 0.06) NA = 0.21 NA (NA = 6.0 × 1023) = 1.26 × 1023。
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核心觀念
本題考查氯氣在鹼性溶液中的歧化反應，以及氧化還原中的電子轉移守恆。
氯的氧化數如下：
- ：
- ：
- ：
- ：
氯氣與 的反應會依溫度與溶液濃度不同而生成不同產物：
由圖中數據可知，生成：
解題方法
中的氯由 升至 ，每莫耳氯失去 莫耳電子； 中的氯由 升至 ，每莫耳氯失去 莫耳電子。
因此總電子轉移量為：
取 ：
電子必須由生成的 接受。每生成 莫耳 ，氯由 降至 ，接受 莫耳電子，因此：
所有含氯陰離子的總莫耳數為：
由於反應物完全消耗，原本的 也完全反應；每個陰離子需搭配一個 ，故：
整體離子反應可表示為：
第 25 題2 分
Based on the following experiments, which substance can prove to be bleaching?
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核心觀念
本題考查「褪色」與「漂白」的區別。
- 酸鹼指示劑變色：只代表溶液的酸鹼性改變，通常是可逆的，不能直接證明漂白。
- 氧化還原造成的漂白：漂白劑破壞有色物質的發色結構，使其失去顏色，屬於化學變化。
- 判斷實驗是否能證明漂白，必須排除單純的酸鹼中和或其他反應造成的褪色。
本題官方答案採用的判準是：必須能由實驗現象確認有色物質是在適當酸鹼條件下，受到過氧化物等作用而被破壞，而非僅因酸鹼性改變或被其他物質還原。
解題方法
逐項判斷造成「褪色」的真正原因：
- 是否只是酸鹼指示劑因 或 濃度改變而變色？
- 是否只是氧化還原反應中，有色離子被轉換成無色離子？
- 是否能證明有色物質本身的發色結構遭到破壞？
其中，選項 B 先出現鹼性紅色，之後在仍具有鹼性環境的條件下褪色，能排除單純酸鹼變色，因而可證明過氧化物具有漂白作用。
選項分析
（A）錯誤
氯氣通入含酚酞的 溶液：
氯氣與鹼反應會消耗 。酚酞在鹼性溶液中呈紅色，但當 濃度降低、溶液鹼性減弱時，酚酞會變成無色：
因此，溶液立即褪色主要是酸鹼性改變造成的指示劑變色，不能單憑此現象證明氯氣具有漂白作用。
氯氣及其生成的次氯酸鹽確實具有漂白性，但本實驗的現象缺乏排除酸鹼效應的設計。
（B）正確
過氧化鈉與水反應，先生成氫氧化鈉與過氧化氫：
過氧化氫也可分解產生氧氣：
生成的 使酚酞呈紅色：
接著， 氧化酚酞的發色結構，使其失去顏色：
此實驗的關鍵在於：溶液先因生成 而變紅，之後才褪色。後段褪色不是因酸性增加，因為反應仍生成鹼性物質；因此可判定是過氧化物對有色物質產生氧化破壞，足以證明 具有漂白作用。
第 26 題2 分
Two bottles of gas are and with the same appearance. A chemist designed a variety of identification methods:
I. Wet test paper with starch/KI.
II. Addition of a small amount of solution.
III. Addition of a small amount of solution.
IV. Addition of a small amount of water and then an appropriate amount of benzene.
V. Change the temperature.
Which methods can be used to distinguish from ?
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核心觀念
本題考查 與 的：
- 水解與氧化還原反應
- 鹵離子與銀離子的沉澱反應
- 溶解度與分配現象
- 的二聚平衡與溫度效應
判斷某方法能否辨識兩種氣體，關鍵在於兩者加入試劑後是否產生「不同的可觀察現象」。
解題方法
逐一判斷 I～V 是否能使兩種氣體產生不同現象。
I. 濕潤澱粉／碘化鉀試紙
可氧化 生成 ：
生成的 與澱粉形成藍色錯合物，因此試紙變藍。
在濕潤環境中形成亞硝酸與硝酸：
其中 也能氧化 生成 ：
因此兩種氣體都會使濕潤澱粉／碘化鉀試紙變藍，觀察結果相同，不能用來區分。
所以：
II. 加入少量 溶液
對 而言，加入水後發生反應：
生成的硝酸與亞硝酸均為無色溶液，因此溶液呈無色。
對 而言， 溶於水形成具有顏色的溴水：
溶液呈紅棕色。 在此主要提供水相，氯離子不會使溴水褪色；因此兩者現象不同。
所以：
III. 加入少量 溶液
溶於水後有下列平衡：
生成的 與 反應，形成淡黃色溴化銀沉澱：
而 溶於水主要形成 與 ：
在本題所設定的少量試劑與觀察條件下，不會產生如 般明顯的沉澱現象。因此可藉由是否出現淡黃色沉澱辨識兩者。
所以：
IV. 加入少量水，再加入適量苯
在苯中的溶解度遠大於在水中的溶解度，因此加入苯後， 會大量分配到苯層，使苯層呈橙紅色至紅棕色：
第 27 題2 分
At and ,
.
At the same temperature and pressure, moles of and mole of are introduced into a closed container, and when equilibrium is reached, the amount of heat given off is . If mole of , mole of , and mole of are introduced into a container of the same volume, and the amount of heat given off at equilibrium is , which of the following relationships is correct?
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核心觀念
本題考查：
- 反應進行程度與反應熱的關係。
- 化學計量比與「反應進行量」的判定。
- 可逆反應達平衡時，反應不會完全進行，因此放熱量小於完全反應的理論值。
反應式為：
反應焓為：
表示每進行 次反應式所表示的反應，即消耗 的 與 的 ，放出 熱量。
解題方法：以反應進行量表示放熱量
設第一種情況中，反應進行量為 mol，則：
初始加入：
若反應進行 mol，平衡時各物質莫耳數為：
由於反應為可逆反應，平衡時仍會有反應物存在，因此不可能完全反應：
所以：
第二種情況初始加入：
這組數據恰好等於第一種情況進行 mol 反應後的組成：
因此，第二種情況相當於第一種反應已經先進行了 mol，接著才放入容器中。
兩種情況的溫度、容積相同，平衡常數相同；若第一種情況的平衡反應進行量為 ，則第二種情況只需再向正方向進行：
因此：
因為 ，所以：
且因為第二種情況已預先含有 ，距離平衡狀態較近，後續正向反應進行量小於第一種情況：
故：
選項分析
(A)
正確。
第 28 題2 分
After electrolyzing a certain concentration of copper sulfate solution with an inert electrode at a certain temperature for a certain period of time, mole of basic copper carbonate is added to the resulting solution, and the concentration and pH are restored to exactly the same level as before electrolysis (without considering the dissolution of carbon dioxide). What is the total number of electrons transferred during the electrolysis?
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核心觀念
本題考查電解 水溶液時，陰極可能同時發生：
以及水的還原反應：
陽極為惰性電極，主要發生水的氧化：
因此，電子總量不能只由析出的銅量計算，還必須包括水電解所涉及的電子。
解題方法
加入 mol 鹼式碳酸銅：
每 mol 鹼式碳酸銅含有 mol ，因此 mol 可補回：
所以電解過程中消耗的銅離子為 mol。每還原 mol 需要 mol 電子：
這是「電解銅」所轉移的電子量。
然而，題目另給出加入鹼式碳酸銅後，溶液的濃度與 pH 均恢復原狀。依校方釋疑公告，本題除電解銅外，也包含水的電解；水電解所對應的電子量為 mol。
因此總電子轉移量為：
為什麼不能只算 mol？
若只考慮：
第 29 題2 分
Acetic acid is an electrolyte. Which of the following facts indicate that acetic acid is a weak electrolyte?
① Acetic acid and water are miscible in any ratio.
② Acetic acid solution conducts electricity.
③ Acetic acid molecules are present in acetic acid solution.
④ The pH of acetic acid solution is greater than that of hydrochloric acid.
⑤ Acetic acid reacts with calcium carbonate to give off .
⑥ The pH of sodium acetate solution is .
⑦ When zinc grains of the same size react with the same concentration of hydrochloric acid and acetic acid solution, the acetic acid starts to produce at a slower rate.
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核心觀念
本題判斷「弱電解質」的關鍵，在於弱電解質只發生部分電離。以醋酸為例：
醋酸分子大多仍以 形式存在，僅有少部分電離，因此同時具有：
- 溶液能導電，但導電性較弱；
- 溶液中仍存在大量未電離的醋酸分子；
- 相同形式濃度下，提供的 少於強酸；
- 其共軛鹼 能水解，使醋酸鈉溶液呈鹼性。
強酸鹽酸則近似完全電離：
解題方法
逐項判斷各敘述是否能直接證明醋酸是「弱」電解質，而不是只能證明它是酸或電解質。
能支持弱電解質特性的敘述應符合下列任一條件：
- 顯示醋酸沒有完全電離；
- 顯示醋酸提供的 濃度較低；
- 顯示醋酸的共軛鹼具有明顯水解作用；
- 顯示醋酸與金屬反應速率較慢，反映溶液中 濃度較低。
符合者為 ③、④、⑥、⑦，因此答案為：
各敘述分析
① Acetic acid and water are miscible in any ratio.
醋酸與水可任意比例互溶，表示醋酸與水之間具有良好的相容性。
但「是否互溶」屬於溶解性與分子間作用力的問題，不能判斷醋酸在水中是完全電離或部分電離。
因此：
② Acetic acid solution conducts electricity.
醋酸溶液能導電，表示溶液中存在可移動的帶電粒子，例如：
與
這只能證明醋酸是電解質，不能單獨證明它是「弱」電解質。強酸溶液同樣能導電，而且導電性通常更強。
因此：
③ Acetic acid molecules are present in acetic acid solution.
醋酸溶液中仍存在 分子，表示醋酸並未完全電離：
這正是弱電解質的特徵。若為強酸，溶液中主要以離子形式存在，未電離的酸分子濃度極低。
因此：
④ The pH of acetic acid solution is greater than that of hydrochloric acid.
兩者形式濃度相同，均為 。
鹽酸為強酸，近似完全電離：
因此：
醋酸為弱酸，只部分電離，故：
所以醋酸溶液的 pH 大於鹽酸溶液。實際上， 醋酸的 pH 約為 。
因此，這項敘述直接反映醋酸提供 的能力較弱。
⑤ Acetic acid reacts with calcium carbonate to give off .
醋酸與碳酸鈣反應如下：
此反應只能證明醋酸具有酸性，能與碳酸鹽反應產生二氧化碳：
第 30 題2 分
Five different types of chemical bonds in the molecular structure of ethanol are shown in Fig. 3. Which of the following statements about reactions in which ethanol breaks bonds is incorrect?
(A) Bond ① breaks upon reaction with sodium metal.
(B) Bond ② and bond ⑤ break when heating with concentrated sulfuric acid to .
(C) Only bond ② breaks when heating with concentrated sulfuric acid to .
(D) Bond ① and bond ③ break upon reaction with catalyzed by copper.
(E) Only bond ① breaks when reacting with carboxylic acids in the presence of concentrated sulfuric acid.
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核心觀念
本題考查乙醇分子中不同鍵結，在各種反應條件下的斷鍵位置。依 Fig. 3 與各選項反應，可判定相關鍵結為：
- 鍵①：
- 鍵②：
- 鍵③：與羥基相連碳上的
- 鍵⑤：相鄰碳上的 ，即脫水反應所需的 -氫
所附掃描頁面實際顯示第 25～28 題，未包含第 30 題的 Fig. 3；以下依題目選項與乙醇反應之標準標號關係作答。
解題方法
逐一判斷各反應的產物，再比較乙醇原有的哪些鍵在反應過程中被斷裂：
- 與鈉反應：醇羥基的 鍵斷裂。
- 濃硫酸脫水：依溫度形成乙烯或乙醚。
- 銅催化氧化：乙醇脫氫形成乙醛。
- 酯化反應：乙醇的羥基氫被移除，形成酯鍵。
選項分析
(A) 正確
乙醇與鈉反應，鈉取代羥基上的氫：
反應中乙醇的 鍵，即鍵①斷裂，生成氫氣。
(B) 正確
乙醇與濃硫酸在約 加熱時，發生分子內脫水形成乙烯：
反應需斷裂：
- 鍵：羥基以水的形式離去，即鍵②。
- -碳上的 鍵：即鍵⑤。
因此鍵②與鍵⑤皆斷裂，敘述正確。
(C) 錯誤，為本題答案
乙醇與濃硫酸在約 時，主要發生分子間脫水生成乙醚：
第 31 題2 分
Which of the following values is closest to the average translational kinetic energy of one mole of gas at a temperature of ? The Boltzmann constant is .
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核心觀念
理想氣體分子的平均平移動能為
其中：
- 為 Boltzmann 常數；
- 為絕對溫度，單位為 K；
- 每個分子具有三個平移自由度，因此係數為 。
題目問的是「一莫耳 氣體」的平均平移動能，必須將單一分子的平均動能乘上一莫耳所含的分子數 ：
由於
也可寫成
這是理想氣體內能中「平移運動」所貢獻的部分。
解題方法
先將攝氏溫度換算為絕對溫度：
一莫耳氣體約含有
個分子，因此一莫耳 的平均平移動能為
先計算 ：
因此
故最接近
選項為 (D)。
選項分析
第 32 題2 分
A boy runs up the stairs to the top of the tall 18 Peaks Mountain in minutes and seconds. Which of the following values is closest to his average power output in horsepower? (, )
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核心觀念
本題考查功、重力位能與平均功率的關係：
男孩上升至山頂時，主要增加的重力位能為：
因此，若忽略摩擦、空氣阻力及人體能量轉換損耗，男孩對抗重力所做的功為 ，平均功率為：
最後再將瓦特換算成馬力。
解題方法
已知：
- 質量：
- 高度：
- 重力加速度：
- 時間： 分鐘 秒
先將時間換算成秒：
男孩增加的重力位能為：
平均功率：
利用 ：
最接近 ，因此選擇：
選項分析
第 33 題2 分
A magnetron in a microwave oven emits electromagnetic waves with frequency . Which of the following values in Gauss is closest to the magnetic field strength required for electrons to move in circular paths with this frequency?
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核心觀念
本題考查帶電粒子在均勻磁場中作圓周運動的迴旋頻率（cyclotron frequency）。
電子以速度垂直於磁場運動時，磁力提供向心力：
圓周運動所需向心力為：
由 ：
又因為 ，代入可得：
因此電子的角頻率為：
而頻率 與角頻率的關係為 ，所以：
整理得電子所需磁場為：
本題中的 Gauss 是磁通密度 的單位；雖然題目使用 magnetic field strength 一詞，實際計算應採用上述 的公式。
解題方法
已知：
電子質量：
電子電荷量的絕對值：
代入：
先計算數值：
因此：
利用單位換算：
所以：
最接近的選項為 。
選項分析
第 34 題2 分
Suppose two parallel plates in Fig. 4, each has an area of and are apart. The capacitor is connected to a power supply and charged to a potential difference . It is then disconnected from the power supply. Which of the following values is closest to the total energy () stored in the capacitor in J?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
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本題考查平行板電容器的電容量與儲存能量：
其中 。電容器充電後與電源斷開，只代表電荷量固定；斷開瞬間，電容器內儲存的能量仍為 。
解題方法
面積與板間距先換算成 SI 制：
因此電容量為：
代入 ：
故最接近：
選項分析
第 35 題2 分
A heat pump does work to bring heat from the cold outside (at constant temperature ) and deliver heat to warm the interior at constant temperature . Which of the following is wrong?
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核心觀念
本題考查熱泵的能量守恆、熱泵性能係數（coefficient of performance, COP）及可逆卡諾熱泵公式。
熱泵以外界輸入功 為代價，將低溫熱源吸收的熱量 傳送至高溫室內，並釋放熱量 。
依熱力學第一定律：
因此：
熱泵的 COP 定義為「室內得到的熱量」除以「外界輸入的功」：
解題方法
由能量守恆：
因為熱泵確實從低溫環境吸收熱量，故 ；輸入功也滿足 。因此：
兩邊同除以正值 ：
所以熱泵的 COP 必須大於 ，選項 (C)「」錯誤。
對於理想可逆熱泵，低溫熱源與高溫熱源之間滿足：
因此：
又因為：
代入可得：
所以：
整理後：
其中 與 必須使用絕對溫度，單位為 K。
選項分析
(A)
正確。
熱泵的目的在於供暖，因此關心的是高溫端釋放的熱量 。COP 定義為：
此式與冰箱的 COP 不同。冰箱關心的是從低溫空間移出的熱量，因此冰箱 COP 為 。
(B)
正確。
第 36 題2 分
Which of the following values is closest to the minimum power in hp required for a car that is climbing a hill at a steady ? Assume that the average drag force on the car at that speed is throughout. (, )
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核心觀念
本題考查等速斜坡運動中的「功率」：
汽車以等速度上坡時，加速度為零，因此引擎提供的牽引力必須平衡：
- 汽車沿斜坡方向的重力分量：
- 空氣阻力：
因此，
題目要求的是維持等速上坡所需的最小功率。
解題方法
已知：
先將速度換算成 SI 單位：
沿斜坡方向的重力分量為：
由於
所以
加上平均阻力 ，汽車所需的牽引力為：
所需功率：
換算為馬力：
若使用較精確的 ，所得功率約為 ，仍最接近 。
為什麼是最小功率
汽車「以等速度」上坡，表示動能不變、加速度為零。引擎不需要額外提供加速功率，只需克服上坡方向的重力分量與空氣阻力。因此：
第 37 題2 分
Which of the following values is closest to the total electric potential energy of mole of ? For simplicity in calculation, here we assume a pure ionic bonding ( carries a charge ; , ), the O–H bond length picometers, and the H–O–H bond angle is .
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核心觀念
本題考查多粒子系統的靜電位能。兩個點電荷間的電位能為
其中
- 的電荷為
- 的電荷為
分子總靜電位能必須將每一對電荷之間的位能相加，不能只計算兩條 鍵。
解題方法
題目給定 鍵角為 ，且每條 鍵長為 ，因此可視為一直線：
三對電荷及其距離如下：
- 左側 ：
- 右側 ：
- 兩個 之間：
兩個氫原子相距
所以
因此單一 分子的總位能為
代入
先計算單一分子的能量尺度：
故
換算成每莫耳：
第 38 題2 分
Suppose an electron is trapped in a one-dimensional infinite well of width : from to , everywhere else. Obviously the particle can never climb out of the well. Which of the following values is closest to the energy of the photon (in eV) that emits when the electron makes the transition from level to ? (; )
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核心觀念
一維無限深方形井中的粒子，其能階為量子化能量：
電子由高能階 跳遷至低能階 時，會放出光子。光子能量等於兩能階的能量差：
因為能階與 成正比，所以：
解題方法
已知：
代入能量差公式：
先計算各部分：
因此：
將焦耳換算為電子伏特，使用：
所以：
第 39 題2 分
A simple DC motor run by a battery has a -turn square coil with sides of length and total resistance of (Fig. 5). When the motor spins, the magnetic field felt by the wire in the coil is . Which of the following values is closest to the maximum torque on the motor in ?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
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核心觀念
本題考查載流線圈在磁場中的磁力矩。矩形線圈受到的最大磁力矩為
其中：
- ：線圈匝數
- ：線圈電流
- ：線圈面積
- ：磁場強度
電流由電池與線圈總電阻決定：
最大磁力矩發生在線圈磁矩與磁場方向垂直時。
解題方法
已知：
線圈每邊長度為 ，先換算為公尺：
線圈面積：
電流：
代入最大磁力矩公式：
因此，最接近的數值為
選項分析
第 40 題2 分
A helicopter rotor blade can be considered as a long thin rod, as shown in Fig. 6. If each of the three-rotor helicopter blades is long and has a mass of , which of the following value is closest to the moment of inertia of the three rotor blades about the axis of rotation in ?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
🖼️【此處有直升機旋翼圖，請對照原卷】
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核心觀念
本題考查剛體繞固定軸旋轉的轉動慣量。每片旋翼可視為「一端固定、繞另一端垂直於桿身的軸旋轉」的均勻細桿，其轉動慣量為
三片旋翼的總轉動慣量為三者相加。
題目所附掃描圖實際顯示第 32～36 題，未包含第 40 題的圖 6；以下依題幹所述，採旋轉軸通過共同槳毂、且垂直於三片旋翼的標準模型計算。
解題方法
每片旋翼的質量與長度為
單片旋翼：
三片旋翼：
代入數值：
因此
最接近 。
第 41 題2 分
Car A leaves point at and travels counterclockwise along a quarter circle of radius at constant speed to reach point . Car B is supposed to leave point and travel to point at the same speed but along a straight line. At what time should car B leave point in order to arrive at point at the same time as car A?
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核心觀念
本題考查「路徑長度」、「等速運動」與「到達時間」的關係：
兩車速度相同，但行駛路徑不同：
- Car A 沿半徑 的四分之一圓弧行駛。
- Car B 沿 到 的直線弦長行駛。
因此，兩車的行駛距離不同，所需時間也不同。
解題方法
設圓半徑為
速率為
1. 求 Car A 抵達 的時間
四分之一圓的圓心角為
圓弧長為
因此 Car A 的行駛時間為
所以 Car A 在
抵達 。
2. 求 Car B 從 到 的直線距離
與 為四分之一圓兩端點，兩條半徑互相垂直，因此 是等腰直角三角形的斜邊：
Car B 以相同速率行駛，所需時間為
3. 求 Car B 的出發時間
若 Car B 在時刻 出發，抵達時間為
題目要求與 Car A 同時抵達，因此
更精確地寫為
取選項所給數值為
第 42 題2 分
In a one-dimensional problem, an object of mass is under effect of a resultant force as shown in Fig. 7. If the object passes through the origin () with initial velocity at , what is the velocity at ?
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核心觀念
本題考查牛頓第二定律與衝量—動量定理：
對力—時間圖而言， 至 間曲線與時間軸所包圍的「代數面積」就是衝量：
其中力的方向必須保留正負號；時間軸上方的面積為正，下方的面積為負。
解題方法
題目給定：
由 Fig. 7 的力—時間圖， 至 之間的總代數面積為
因此由衝量—動量定理：
代入數值：
因此選擇 (B)。
本題附上的原頁掃描圖只顯示第 37～41 題，未包含第 42 題的 Fig. 7；依官方答案 B，可確認 Fig. 7 在 至 的力—時間代數面積為 。
選項分析
- (A) ：錯誤
這表示速度沒有改變，即
因而總衝量應為 。但 Fig. 7 的總代數面積為負值，物體受到負方向的淨衝量，速度必須改變。
- (B) ：正確
總衝量為 ，使速度改變
第 43 題2 分
A spaceship of mass circles a planet (mass ) in an orbit of radius . How much energy is required to transfer the spaceship to a circular orbit of radius ?
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核心觀念
本題考查「萬有引力作用下的圓形軌道總機械能」。
太空船在半徑為 的圓形軌道上，其總機械能為
其中：
- 萬有引力位能：
- 圓形軌道速度滿足：
因此
- 動能：
所以圓形軌道的總機械能為
解題方法
初始軌道半徑為 ：
轉移後的圓形軌道半徑為 ：
所需能量是軌道總機械能的增加量：
代入得
因此
所以正確答案為：
這裡的能量單位為焦耳，因為 的量綱為
選項分析
- (A) ：正確。
由圓形軌道總機械能
計算初、末軌道能量差，可得
第 44 題2 分
Two blocks, and , are connected by a light string as shown in Fig. 8. The radius of the pulley is and its moment of inertia is . If there is no slipping between the pulley and the string, what is the acceleration of block ?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
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題目資訊說明
附上的原卷影像實際顯示第 37～41 題，未包含第 44 題與 Fig. 8。依官方答案為 (E)，採用標準裝置假設：、 分別懸掛於滑輪兩側，繩子不可伸長，且繩與滑輪間無滑動。
核心觀念
本題考查：
- 牛頓第二定律；
- 轉動慣量造成的轉動慣性；
- 滑輪轉動方程式；
- 無滑動條件：。
由於滑輪具有轉動慣量，兩側張力不相等，重力差除了使兩物體加速，也須提供滑輪的角加速度。
解題方法
令較重的 向下、 向上，加速度大小皆為 。設兩側張力分別為 、。
對 使用牛頓第二定律：
對 使用牛頓第二定律：
對滑輪取轉動方程式：
因為繩子與滑輪無滑動：
因此：
將兩物體方程式相加：
代入滑輪關係式：
所以：
代入數值：
因此：
第 45 題2 分
A wave is transmitted along a string. Which of the following actions can quadruple the energy transmitted per unit time?
I. Double the frequency.
II. Double the tension of the string.
III. Double the amplitude.
IV. Double the wave velocity.
V. Quadruple the frequency.
VI. Quadruple the amplitude.
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核心觀念
本題考查弦上正弦波的平均功率，即單位時間傳遞的能量：
其中：
- ：弦的線密度
- ：角頻率
- ：波的振幅
- ：波速
因此，在其他物理量維持不變時，
弦上的波速與張力關係為：
解題方法
題目要求能使能量傳遞率變為原來的 4 倍，即判斷各動作對功率 的倍率。
由
逐項判斷：
I. 頻率加倍
因此
可使功率變為 4 倍，正確。
II. 張力加倍
由 ，在線密度不變下：
則
功率倍率為
不是 4 倍，錯誤。
III. 振幅加倍
因為功率與振幅平方成正比：
可使功率變為 4 倍，正確。
IV. 波速加倍
由功率與波速成正比：
第 46 題2 分
An empty can and a full can of the same shape are rolled side-by-side down an incline without slipping. If they start together at the same height, which of the following statements is correct?
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核心觀念
本題考查「物體沿斜面無滑動滾動」時，平動與轉動的綜合運動。物體的加速度不只由重力加速度決定，也受到轉動慣量 影響。
無滑動滾動條件為
其中 為罐子的半徑。
空罐可近似為薄壁圓柱，質量集中在外圍，因此
滿罐可近似為實心圓柱，質量分布較靠近中心，因此
關鍵在於：相同形狀下，滿罐的轉動慣量與質量的比值較小，較容易將重力位能轉換成平動速度。
解題方法
設物體質量為 ，半徑為 ，斜面傾角為 。
沿斜面方向的重力分量為
設靜摩擦力大小為 ，則平動方程式為
摩擦力提供轉動力矩：
利用無滑動條件 ，得到
因此
代回平動方程式：
整理得
此式顯示，決定加速度的關鍵量是
比值越小，加速度越大。
空罐：
所以
滿罐：
所以
因此
兩罐由同一高度、同時由靜止開始，滿罐的加速度較大，抵達斜面底部所需時間較短。
選項分析
(A) The empty can arrives at the bottom first.
錯誤。
空罐近似薄壁圓柱，質量集中在外圍，轉動慣量較大：
因此其加速度為
小於滿罐的加速度，故空罐不會先抵達。
第 47 題2 分
An ideal gas is allowed to undergo a free expansion from volume to volume . What is the change in entropy?
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核心觀念
本題考查：
- 熵變 是狀態函數，只與初、末狀態有關，與實際經歷的過程無關。
- 理想氣體的內能只與溫度有關。
- 自由膨脹（free expansion）在真空中進行，外界壓力為零，因此氣體不對外作功。
熵的定義可利用一條連接相同初、末狀態的可逆路徑計算：
解題方法
自由膨脹過程中：
- 沒有外界熱量交換：
- 外界壓力為零，故作功
依熱力學第一定律：
對理想氣體而言，內能只與溫度有關，因此：
所以初、末溫度相同：
雖然自由膨脹本身是不可逆過程，不能直接套用實際過程中的 計算熵變，但 是狀態函數，因此可設想一條可逆等溫膨脹路徑。理想氣體可逆等溫膨脹時：
可逆吸熱量為：
因此：
所以：
選項分析
(A) ：錯誤
自由膨脹的熱量交換與作功皆為零，但這不代表熵變為零。自由膨脹是不可逆過程，且氣體可利用的體積增加，微觀狀態數增加，因此熵增加：
第 48 題2 分
There is a parallel-plate capacitor of capacitance . A slab of dielectric material with is placed into the gap between the plates, filling the bottom half of the gap. What is the resulting capacitance?
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核心觀念
本題考查平行板電容器的電容量公式，以及介電質填入後對電容量的影響。
平行板電容器原本的電容量為
其中：
- ：真空介電常數
- ：極板面積
- ：極板間距
介電質相對介電常數為 ，表示介電質中的介電常數為
本題的介電質填滿極板間距的下半部，因此電場方向會先通過介電質，再通過空氣。這兩部分沿電場方向排列，必須視為串聯電容器。
解題方法
設極板間距為 ，介電質與空氣各佔一半厚度，即各為 。
介電質部分的電容量為
代入 ：
空氣部分的電容量為
由於兩個電容器為串聯，串聯電容滿足
因此
所以
因此正確答案為
為什麼介電質放入後不是直接變成 ？
若整個極板間都填滿 的介電質，電容量才會直接變成
本題只有一半厚度填入介電質，另一半仍是空氣，而且兩層是沿電場方向排列，因此必須使用串聯公式。串聯電容的等效值會小於其中較小者；本題兩部分電容量分別為 與 ，故總電容量必須小於 ，符合此特性。
選項分析
第 49 題2 分
Electromagnetic wave is travelling in free space with the amplitudes of the electric and magnetic fields as and , respectively. What is the average energy density in the space?
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核心觀念
電磁波在真空中的瞬時能量密度，包含電場與磁場兩部分：
題目給的是電場與磁場的振幅 、，要求的是「平均能量密度」，因此必須對時間取平均，不能直接將振幅代入瞬時公式。
對正弦波而言：
解題方法
設電磁波的電場與磁場分別為
因此，
磁場的平均能量密度為
兩者相加：
因此選擇 (E)。
在自由空間中，電磁波還滿足
且
所以
表示平均電場能量密度與平均磁場能量密度相等。
選項分析
(A) ：錯誤
由磁場能量密度公式，
若取時間平均，因為 ，得到
第 50 題2 分
Which of the following observations in the photoelectric effect experiment can be explained by the wave behavior of light?
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核心觀念
本題考查光電效應中，哪些實驗現象可由「光的波動性」解釋。
光電效應的主要觀察結果如下：
- 光強度增加，光電流增加。
- 存在截止頻率 ，低於此頻率不會發生光電子逸出。
- 存在遏止電位 ，可使光電流降為零。
- 光電子的最大動能與入射光頻率有關。
- 光電子是否逸出與入射光頻率有關。
依據經典波動理論：
- 光強度代表光波振幅的平方，光強度越大，單位時間傳遞的能量越多。
- 因此，光強度增加時，單位時間撞擊並逸出的電子數增加，光電流也增加。
- 但經典波動理論無法正確說明截止頻率，也無法說明光電子動能與頻率的關係。
愛因斯坦光電方程式為
其中：
- ：單一光子的能量
- ：金屬逸出功
- ：光電子最大動能
且
因此
這些涉及單一光子能量的現象，必須用光的粒子性解釋。
解題方法
判斷各選項是否可由波動理論解釋，關鍵在於區分：
- 與「光的總能量、光強度、光子數目」有關的現象：可由波動性解釋。
- 與「單一光子能量 」有關的現象：須用粒子性解釋。
光強度增加時，若光頻率固定，單一光子的能量 不變，但光子數目增加，因此可使逸出的電子數增加，造成光電流增大。
所以符合波動理論的選項為 (B)。
選項分析
(A) There is a cutoff frequency below which no photoelectric current can be observed.
存在截止頻率 ，低於此頻率即使提高光強度也沒有光電流。
由光電方程式：
可知只有當入射光的單一光子能量至少等於逸出功時，電子才能逸出。
這涉及光能量以一份一份的光子形式傳遞，屬於光的粒子性。經典波動理論認為，只要光強度足夠、照射時間足夠，電子應能逐漸吸收能量而逸出，無法解釋明確的截止頻率。
因此 (A) 錯誤。
(B) Photoelectric current increases with increasing the intensity of the light.
光強度增加時，光電流增加。
在固定頻率下，光強度增加表示單位時間內入射的光能量增加，也可視為單位時間內到達金屬表面的光子數增加。
由於每個光子至多造成一個光電子逸出，因此光子數增加會使單位時間逸出的電子數增加，光電流隨之增加。
第 51 題2 分
Two blocks of equal mass placed on a frictionless flat surface are connected by a massless spring of spring constant , see Fig. 9. In the beginning, the spring is at its natural length, while the mass on the left is at rest and the mass on the right is moving towards right with a speed of . The two-mass system would go on moving and oscillating relatively. During the oscillation, the maximum extension of the spring is . What is the minimum value of the kinetic energy of the two-mass system during the oscillation?
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核心觀念
本題考查兩個重點：
- 質心運動與相對運動可分離
- 彈簧最大伸長時，相對運動的動能為零
兩物塊位於無摩擦水平面，水平方向沒有外力，因此系統質心速度保持不變。系統總動能可分為：
其中 是整個系統質心平移的動能， 是兩物塊相對振動所對應的動能。
解題方法
兩物塊質量皆為 。
初始狀態：
- 左塊速度：
- 右塊速度：
因此系統質心速度為
系統總質量為 ，所以質心平移動能為
質心動能在整個過程中保持不變。
接著分析相對運動。彈簧由自然長度開始，兩物塊因速度不同而產生相對運動。當彈簧伸長達到最大值 時，兩物塊的距離在瞬間不再增加，因此兩物塊的相對速度為零：
此時相對運動的動能為零，系統動能只剩下質心平移動能：
彈簧在最大伸長時儲存的彈性位能為
但這部分能量屬於相對運動的機械能，並非系統在該瞬間的動能。因此 不應直接加到或減到最小動能中。
選項分析
第 52 題2 分
The simple harmonic motion is a general phenomenon that occurs as one perturbs a system at stable equilibrium slightly away from its potential minimum. Estimate the period of the simple harmonic motion for a particle of mass experiencing a potential energy of the form
(Joule) as the particle is slightly pushed away from , where is the spatial coordinate of the particle.
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核心觀念
本題考查「位能在穩定平衡位置附近可近似為簡諧運動」的概念。
粒子在位能 的平衡位置 附近運動時，將位能作泰勒展開：
其中：
- 平衡位置滿足
- 等效彈力常數為
- 簡諧運動週期為
因此，本題的關鍵是求出位能在 處的二階導數。
解題方法
已知位能：
先對 微分：
令 ：
因此：
與題目給定的平衡位置 相符。
再求二階導數：
代入 ：
因此粒子在平衡位置附近的等效彈力常數為：
簡諧運動的角頻率為：
週期為：
故正確答案為：
穩定平衡的確認
在 處：
當題目所代表的物理參數使 時，，表示該位置為位能極小值，也就是穩定平衡位置。粒子稍微偏離後，會受到指向平衡位置的恢復力，因此形成簡諧運動。
令 ，位能可近似寫成：
第 53 題2 分
Two strings of different linear mass density are joined at to form a new string. The heavier string and the lighter string are on the left and right hand side of , respectively. Now, we keep the string stretched with a fixed weight, and send a wave from the heavier end to the lighter end. Which of the following statements is correct?
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核心觀念
本題考查繩上橫波通過不同線性質量密度介面的行為，需掌握：
-
繩波速率
其中 為張力， 為線性質量密度。 -
固定張力下，線性質量密度越小，波速越大。
-
波抵達介面時，會同時產生反射波與透射波；透射波的振幅須由介面邊界條件決定。
題目指出左側為較重繩，右側為較輕繩，因此令
其中 代表左側重繩， 代表右側輕繩。兩段繩子的張力皆相同。
解題方法
波由重繩入射至輕繩。由繩波速率公式：
因為 ，所以
波進入輕繩後，速度增加。
接著利用介面處的邊界條件求振幅。設入射波、反射波、透射波的振幅分別為 ，波數分別為 。由於
因此 導致
在 處，繩子的位移必須連續：
繩子的橫向斜率也必須連續，且兩側張力相同，因此：
聯立兩式：
由於 ，所以
故
透射波進入較輕繩後，振幅大於入射波，波形在位移振幅的意義下被放大。因此正確答案為 (A)。
須注意，這裡的「profile is amplified」是指波通過介面後，透射波的振幅變大；在均勻的輕繩中繼續傳播時，振幅不會沿途持續增加。
選項分析
(A) As the wave travels to the lighter end, its profile is amplified.
正確。
由介面條件可得：
因為重繩的波數 大於輕繩的波數 ，所以 。波進入輕繩後，透射波振幅放大。
第 54 題2 分
Two different gases of similar mass density at room temperature react differently as the pressure is varied. Specifically, as the external pressure is raised from to , the volume of gas A is reduced by while the volume of gas B is reduced by . Which of the following statements is true?
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核心觀念
本題考查氣體的：
- 體積彈性率（bulk modulus）
- 聲速與介質彈性及密度的關係
- 聲波是否具有色散
- 聲波跨越介面時頻率的變化
體積彈性率定義為
因此在小幅度壓縮下，可寫成
氣體中的聲速為
其中 為體積彈性率， 為氣體密度。體積彈性率越大，表示氣體越不容易被壓縮，聲速越快。
解題方法
壓力由 增加至 ，所以
氣體 A
氣體 A 的體積減少 ，因此
體積彈性率為
換算成 SI 單位：
氣體 B
氣體 B 的體積減少 ，因此
體積彈性率為
所以
兩種氣體的質量密度相近，根據
可知
因此氣體 A 中的聲速較快。
選項分析
(A) The sound speed of gas A is faster.
正確。
氣體 A 在相同壓力變化下，體積相對變化較小，表示氣體 A 的體積彈性率較大：
又因兩者密度相近，
故氣體 A 的聲速較快。
第 55 題2 分
Two ambulances have identical sirens that would make sound waves of frequency . A stationary observer is in the straight line and in between these two ambulances, while one ambulance is parked and the other is moving away from the observer. The observer notices that the combined sound wave exhibits a beat frequency of . What is the speed of the ambulance moving away from the observer? Take the speed of sound to be , and there is no wind blowing during the observation.
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核心觀念
本題考查：
- 都卜勒效應（Doppler effect）：聲源相對於 stationary observer 移動時，觀察到的頻率會改變。
- 拍頻（beat frequency）：兩個頻率接近的聲波疊加時，拍頻為兩頻率差的絕對值：
聲速為 ，兩具警笛的原本頻率皆為：
解題方法
停放中的救護車相對觀察者靜止，因此觀察到的頻率不變：
另一具救護車遠離觀察者。對於「觀察者靜止、聲源遠離」的都卜勒效應，觀察頻率為：
其中 為移動救護車的速率。
題目給出的拍頻為 ，因此：
因為聲源遠離時頻率降低，所以：
代入都卜勒公式：
整理：
因此移動中的救護車速率為：
選項分析
- (A) ：錯誤
代入公式：
拍頻約為：
第 56 題2 分
Given a non-uniform charge distribution
between two concentric spheres of radius and , and it is enclosed by a thin metal spherical shell of radius (negligible thickness) as shown in Fig. 10, what is the surface charge density on the inner surface of the metal shell?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
🖼️【此處有球殼示意圖，請對照原卷】
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核心觀念
本題考查：
- 高斯定律
- 導體靜電平衡時，導體內部電場為零
- 球對稱電荷分布下，導體內表面感應電荷必須抵銷內部總電荷
- 面電荷密度定義：
電荷分布存在於 ：
解題方法
取一個位於金屬球殼內部的高斯球面。由於導體處於靜電平衡，金屬內部電場為零，因此高斯面所包覆的總電荷必須為零：
先計算非均勻體電荷總量。厚度為 的球殼體積為
因此
積分範圍為 到 ：
所以金屬球殼內表面的感應電荷為
內表面半徑為 ，其面積為
故內表面電荷密度為
因此選擇：
選項分析
第 57 題2 分
A charging RC circuit consists of a battery with emf , a resistor , and two capacitors and as shown in Fig. 11. The two capacitors are identical when there are no dielectrics inserted (that is, when placed in vacuum). In order to increase the capacitance, we place a dielectric material of dielectric constant in . At , there are no charges in capacitors, and we close the switch to charge these capacitors. Which of the following statements is correct?
(A) The charging percentage of these two capacitors would be the same at all times.
(B) The maximum charges stored in these two capacitors would be the same.
(C) The charging time would reduce if a larger resistor is used.
(D) The charging time would reduce if a battery with a larger emf is used.
(E) As more and more charges are stored in the capacitors, we expect the current flowing through the resistor is getting larger and larger.
🖼️【此處有電路圖，請對照原卷】
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核心觀念
本題考查 RC 電路的充電過程，以及並聯電容器的特性。
依 Fig. 11 的電路， 與 並聯，因此兩電容兩端的電壓相同。未放入介電質時：
放入介電常數為 的介電質後：
並聯等效電容為：
RC 電路的時間常數為：
充電時電容兩端電壓為：
因此各電容所帶電量為：
其最大電量為：
所以充電百分比為：
兩個電容的充電百分比相同。
選項分析
(A) 正確
因為兩個並聯電容的電壓相同，且皆由同一個 RC 時間常數控制：
第 58 題2 分
A metal rod is pulled to the right in a uniform magnetic field so that it accelerates at a constant acceleration on rails and forms a closed circuit with a resistor as shown in Fig. 12. For simplicity, let us say at , the metal rod coincides with the resistor at and is at rest. The distance between rails is . Assume that there is no friction between the rod and rails. Which of the following statements is correct?
(A) The emf induced by pulling the metal rod is proportional to .
(B) The force required to pull the metal rod is proportional to .
(C) The power dissipation in resistor is proportional to .
(D) The work done by the pulling force is proportional to .
(E) None of the above is correct.
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核心觀念
本題考查「移動導體棒在磁場中的感應電動勢」以及楞次定律所造成的磁阻力。
導體棒沿 軸運動，長度為 ，處於均勻磁場
其位置與速度分別為
其中 為固定加速度。
解題方法
導體棒與電阻、導軌形成面積為 的閉合電路，因此磁通量為
感應電動勢大小為
代入 ：
所以感應電動勢與 成正比。
電路中的感應電流為
電流通過磁場中的導體棒時，導體棒受到磁力。依楞次定律，此磁力方向阻礙導體棒運動，其大小為
因此
磁阻力與 成正比。故外力若用來克服此感應磁力，所需拉力也與 成正比。
選項分析
(A) The emf induced by pulling the metal rod is proportional to .
錯誤。
由
可知感應電動勢與 成正比，而非與 成正比。
(B) The force required to pull the metal rod is proportional to .
正確。
感應電流造成的磁阻力為
其大小與 成正比。拉動導體棒所需克服的電磁阻力，因此也與 成正比。
第 59 題2 分
Which of the following statements about electromagnetic (EM) waves radiated from a point source with a fixed power is correct?
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核心觀念
本題考查點源向外輻射電磁波時，以下三者與距離的關係：
- 球面波的能量如何分散
- 能量通量密度與電、磁場振幅的關係
- 電磁波功率、頻率與波長之間的關係
點源以固定總功率 向各方向均勻輻射。距離點源 處，能量分布在半徑為 的球面上，其表面積為
因此，單位面積單位時間所接收的能量，即能量通量密度（energy flux density，也稱強度）為
故
這是本題判斷的核心。
對平面電磁波而言，平均能量通量密度與電場振幅、磁場振幅的平方成正比：
因此若
則有
也就是電場與磁場的振幅皆隨距離呈反比衰減。
解題方法
直接從點源的球面擴散開始判斷：
固定總功率 時，
所以能量通量密度隨距離平方的倒數衰減，選項中只有此項明確符合上述公式。
再利用
可得
因此場振幅不是以 衰減，也不是與距離無關。
選項分析
(A) The amplitude of the electric field strength of the EM wave decays with distance squared.
電場振幅並非以距離平方的倒數衰減。
由
以及
可得
因此電場振幅隨距離呈反比衰減，而能量通量密度才是以 衰減。
故此項錯誤。
(B) The power received by a detector placed along the radial direction decays with distance.
若探測器面積固定為 ，則其接收到的功率為
代入
得
因此固定面積探測器接收到的功率確實隨距離增加而減少，且具體關係為
第 60 題2 分
The curve for the van der Waals equation at a fixed temperature is plotted in Fig. 13. In this case, the liquid phase can coexist with the gas phase at pressure . The pressure intersects with the curve at three points: , , and , respectively. And the slope of the curve vanishes at and . Which of the following statements is correct?
(A) For pressure a bit higher than , it is impossible to have a stable gas phase.
(B) For pressure a bit lower than , the gas phase is more stable than the liquid phase.
(C) The region is the supercooled liquid region.
(D) The region corresponds to a fluid with a positive compressibility.
(E) None of the above.
🖼️【此處有曲線圖，請對照原卷】
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核心觀念
本題考查 van der Waals 等溫 – 曲線中的：
- 液、氣兩相平衡與穩定性。
- 等溫壓縮率的正負。
- 穩定相、亞穩定相與不穩定區域的判斷。
等溫壓縮率定義為
因此：
- 若 ，則 ，具機械穩定性。
- 若 ，則 ，屬於不穩定區域。
- 、 為曲線斜率為零的位置，屬於 spinodal limit（自旋分解界限）。
在共存壓力 下，液相與氣相的化學位能相等：
當壓力低於 時，氣相的 Gibbs free energy 較低，因此氣相較穩定；當壓力高於 時，液相較穩定。
解題方法
先觀察水平線 與曲線的交點：
- ：液相分支。
- ：中間的不穩定分支。
- ：氣相分支。
- ：液相的亞穩定區。
- ：斜率為正的不穩定區。
- ：氣相的亞穩定區或穩定分支。
比較液相與氣相的穩定性時，可利用
因為氣相體積大於液相體積，即
所以壓力降低時，氣相的化學位能下降得較快。以共存點 為基準：
- ：，氣相較穩定。
- ：，液相較穩定。
因此選項 (B) 正確。
選項分析
(A) For pressure a bit higher than , it is impossible to have a stable gas phase.
錯誤。