國立清華大學 113 年 《化學與物理》
第 1 題2 分
A mixture of and in a closed rigid container has a total pressure of . Just enough is added to the mixture to bring about its complete combustion to and . After the combustion, the total pressure in the container is . Assuming constant temperature and volume, find the mole fraction of in the original mixture.
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核心觀念
本題考查：
- 定溫、定容下，氣體壓力與莫耳數成正比：
- 道耳頓分壓定律：燃燒後總壓力等於各氣體莫耳數所造成壓力的總和。
- 烷類完全燃燒反應的配平。
- 題目指定生成物為氣態 與 ，因此兩者都必須計入燃燒後的總莫耳數。
完全燃燒反應為：
其中「恰好加入足量 」表示加入的氧氣量正好完全消耗，不會殘留在燃燒後的氣體中。
解題方法
設原混合氣體中：
- 為 mol
- 為 mol
因為容器定溫、定容，壓力比等於莫耳數比。因此可將原本總壓力 作為莫耳數基準，令：
原混合物總壓力為 。
燃燒後，各氣體生成量如下：
由 產生：
所以每 mol 燃燒後產生：
由 產生：
所以每 mol 燃燒後產生：
因此燃燒後總莫耳數為：
由於燃燒後總壓力為 ，且原總壓力為 ：
代入數值：
又因 ，可得：
令原混合物中 的莫耳分率為 ，則 的莫耳分率為 ：
第 2 題2 分
Stretch a rubber band while holding it gently to your lips. Then, let it relax while still in contact with your lips. Which of the following statements about the above process are correct?
(I) The temperature of the rubber band increases on stretching.
(II) The stretching is an endothermic process.
(III) The intermolecular forces within the rubber band increase on stretching.
(IV) is negative for stretching the rubber band.
(V) is negative for stretching the rubber band.
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核心觀念
本題考查橡皮筋的「熵彈性」（entropic elasticity）與熱力學關係：
- 拉伸橡皮筋時，高分子鏈由捲曲、無規則的構形轉為較伸展、排列較有序的構形。
- 分子構形數減少，因此熵降低，故 。
- 拉伸時外界對橡皮筋做功，且橡皮筋會感覺變熱。
- 橡皮筋具有使其恢復原狀的內聚作用與回復力。
- Gibbs 自由能可用
判斷過程的熱力學趨勢。
解題方法
先逐項判斷拉伸橡皮筋時的溫度、熱效應、分子作用力與熵變化，再依官方命題所採用的橡皮筋模型判斷 。
拉伸時，高分子鏈由多種隨機構形被限制成較有序的伸展構形，所以：
橡皮筋在快速拉伸時，外界對其做功，能量使橡皮筋內部能增加，溫度上升。因此用嘴唇接觸橡皮筋時，會感覺到它變熱：
同時，拉伸使高分子鏈排列較整齊，橡皮筋產生抵抗拉伸的回復力。依本題官方採用的定性模型，將此視為橡皮筋內部有效分子作用力增強，並使拉伸過程具有負的 Gibbs 自由能變化：
因此本題各敘述的判斷為：
各敘述分析
(I) The temperature of the rubber band increases on stretching.
正確。
快速拉伸時，外界對橡皮筋做功。若拉伸時間很短，橡皮筋與外界的熱交換尚未充分進行，近似為絕熱過程，輸入的機械功會使橡皮筋內能增加，因此溫度上升。
所以：
(II) The stretching is an endothermic process.
錯誤。
「吸熱」表示系統從外界吸收熱量，即 。但橡皮筋拉伸時會變熱，表示在本題情境下並非吸熱升溫，而是外界做功造成溫度上升。
此外，若以定溫可逆拉伸描述橡皮筋的熵變，因為 ，有：
這代表拉伸在定溫條件下屬於放熱方向，而不是吸熱方向。
所以：
(III) The intermolecular forces within the rubber band increase on stretching.
正確，依本題官方採用的定性模型。
第 3 題2 分
When the compound with a molecular formula of is oxidized, a ketone is produced. How many possible structures are for in this reaction?
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核心觀念
本題考查醇的分類與氧化反應，以及同分異構物的計數。
一般氧化反應中：
- 一級醇氧化生成醛，進一步可生成羧酸：
- 二級醇氧化生成酮：
- 三級醇通常不易在一般氧化條件下氧化，因為連接 的碳上沒有氫。
- 醚類不會經一般醇的氧化反應生成酮。
因此，本題必須找出分子式為 的所有「二級醇」結構。
解題方法
先將 視為飽和、開鏈的一元醇。二級醇的結構必須符合：
也就是連接 的碳原子必須同時連接兩個碳原子，且自身仍帶有一個氫。
可由 烷烴骨架逐一檢查所有不等價的二級碳位置。六碳烷烴共有五種碳骨架。
1. 正己烷骨架
結構為：
正己烷的第 2 碳與第 3 碳為不等價的二級碳，因此可形成：
- 己烷-2-醇
- 己烷-3-醇
共 種。
2. 2-甲基戊烷骨架
結構可表示為：
其中有兩個不等價的二級碳：
- 中央的 碳形成 2-甲基戊烷-3-醇
- 靠近末端的 碳形成 4-甲基戊烷-2-醇
共 種。
連接支鏈的 為三級碳，不能作為二級醇的羥基所在碳。
3. 3-甲基戊烷骨架
結構為：
左右兩側的 碳因分子具有對稱性而等價，因此只能形成一種結構：
- 3-甲基戊烷-2-醇
第 4 題2 分
At , what is the approximate pH of a ammonium nitrite () solution?
for , for ; , .
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核心觀念
為弱酸與弱鹼所形成的鹽，溶於水後發生雙重水解：
因此，溶液酸鹼性取決於：
- 的酸性：
- 的鹼性：由的換算其
弱酸弱鹼鹽的近似公式為：
解題方法
先求的鹼解離常數：
代入弱酸弱鹼鹽公式：
整理比值：
因此：
故近似為：
第 5 題2 分
Which of the following show the more stable chair conformers, from two possible chair conformers, of the cyclohexane scaffolds?
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核心觀念
本題考查環己烷椅式構形的穩定性。環己烷取代基有兩種位置：
- 軸向（axial）：與環的垂直方向平行，容易產生 -diaxial interaction，立體障礙較大。
- 赤道向（equatorial）：大致位於環的外側，立體障礙較小，通常較穩定。
環己烷發生 ring flip 時，取代基的軸向與赤道向會互換，但其 上、下立體化學方向不變。因此，判斷較穩定椅式構形的原則是：
優先讓體積較大的取代基位於赤道向；若能使所有取代基皆為赤道向，該構形通常最穩定。
常見取代基的軸向能量約為：
其中 體積最大，最不適合位於軸向。
解題方法
逐一觀察各選項所畫出的椅式構形，確認取代基是軸向或赤道向，再比較兩種可能構形中哪一個具有較少的軸向取代基，尤其要注意 是否位於赤道向。
若某一構形中所有取代基均位於赤道向，則其立體障礙最小，為較穩定的 chair conformer。
選項分析
(A) 錯誤
(A) 中的取代基包含體積很大的 tert-butyl group，以及另一個烷基取代基。圖示構形中，tert-butyl 或其他取代基有軸向排列，會產生明顯的 -diaxial interaction。
特別是 若位於軸向，穩定性會大幅降低；ring flip 後可使較大的取代基轉為赤道向，因此圖示並非較穩定構形。
(B) 正確
第 6 題2 分
Given the following standard reduction potentials at :
,
,
In a galvanic cell, the copper compartment contains a copper electrode and . The zinc compartment contains a zinc electrode and at an unknown concentration. The compartment containing the zinc, of solution, was titrated with , resulting in the reaction:
The potential of the cell was monitored to determine the stoichiometric point for the process, which occurred when of solution was added.
What is at the halfway point of titration?
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核心觀念
本題結合兩個觀念：
- 原電池標準電池電位
銅離子被還原，鋅被氧化：
標準電池電位為：
- 能斯特方程式
非標準狀態下：
本反應轉移 個電子，反應商為：
固態 與 不列入反應商。
解題方法
1. 求鋅離子的初始莫耳數
當量點加入的 體積為 ，濃度為 ：
由反應式：
可知 與 的化學計量比為 ，因此鋅離子初始含有：
2. 判斷滴定中點的鋅離子濃度
滴定中點所加入的滴定劑體積為當量點的一半：
此時加入的 莫耳數為：
因此有 的 被轉化為 ，剩餘游離鋅離子：
溶液總體積為：
所以：
銅 compartment 中：
3. 求標準電池電位
銅為陰極，發生還原：
第 7 題2 分
Which of the following statements is incorrect?
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核心觀念
本題主要考查：
- Gibbs free energy 與自發反應的判斷：
在定溫、定壓下：
- ：反應可自發進行
- ：達平衡
- ：反應不可自發進行
- 由氣體莫耳數變化判斷熵變化。
- 反應熱與反應自發性的關係。
- 金屬之間的電化學腐蝕與原電池作用。
判斷 不能只看反應是否自發，還必須同時考慮 ，因為自發性的真正判準是 。
解題方法
逐一判斷各反應的 、，再利用：
分析在室溫下是否能自發進行。金屬腐蝕則使用電化學腐蝕的陽極、陰極概念判斷。
選項分析
(A) 錯誤
反應為：
反應物共有 莫耳氣體，生成物共有 莫耳氣體，因此氣體粒子數減少，通常有：
若反應在室溫下能自發進行，則：
代入 Gibbs 自由能公式：
由於 ，所以 。因此必須有足夠負的 ，才能使 ：
故此反應的 應為負值，而不是 。
實際上， 被 還原為 ，並生成穩定的 ，此反應確實為放熱反應：
因此 (A) 的敘述錯誤。
(B) 正確
反應為：
兩種氣體反應生成固體，系統的混亂程度明顯降低，因此：
題目指出反應在室溫下可自發進行，所以：
由：
因為 ，使得 為正值。若要使 ，則 必須為負值，且負值幅度要足以抵銷熵項：
因此：
此反應會生成穩定的離子晶格固體 ，形成晶格所釋放的能量使反應放熱，故 (B) 正確。
(C) 正確
反應為熔融氯化鎂的分解：
此反應必須以電解方式進行，需輸入電能，因此屬於吸熱、非自發分解過程：
第 8 題2 分
It is known that of simple carbon is burned in of until the reactants are exhausted, giving off of heat. The heat of complete combustion of simple carbon is . What is the heat of reaction for the reaction of mole of simple carbon with to form ?
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核心觀念
本題考查：
- 質量與莫耳數換算。
- 由反應物比例判斷 、 的生成量。
- 赫斯定律（Hess’s law）。
- 完全燃燒熱與反應焓的關係。
完全燃燒反應為：
其莫耳反應焓為 。
欲求的是：
的反應焓。
解題方法
先將反應物換算成莫耳數：
設生成 為 mol，生成 為 mol。
碳原子守恆：
氧氣莫耳數守恆：
聯立兩式：
因此反應可視為：
- mol 碳完全燃燒生成 ；
- mol 碳部分燃燒生成 。
設生成 mol 的反應焓為 。已知整體放出的熱量為 ，所以整體反應焓為 ：
整理得：
因此：
選項分析
第 9 題2 分
If of solution is added to a sufficient amount of solution, the amount of heat released is . If of HCl solution is added to a sufficient amount of solution, the amount of heat released is . Which of the following is the thermochemical equation for the reaction between a solution and a solution?
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核心觀念
本題考查：
- 強酸、強鹼中和熱：
- 赫斯定律：總反應熱可拆分為中和反應熱與沉澱反應熱。
- 由溶液體積與莫耳濃度計算物質的量。
- 沉澱反應的熱化學方程式：
解題方法
先利用第二組實驗求出強酸強鹼中和熱，再從第一組實驗的總熱量扣除中和所釋放的熱，剩餘熱量即為 沉澱所釋放的熱。
一、求強酸強鹼中和熱
取用的 莫耳數為：
反應為：
每 mol 可中和 mol ，因此生成：
已知釋放熱量為 ，所以中和熱為：
因此， 完全中和時，釋放的熱量為：
二、分析 與 的反應
的莫耳數為：
每 mol 含有 mol ，因此：
與足量 反應時：
mol 會生成：
- mol
- mol
總釋放熱量為 。其中中和反應已釋放 ，故沉澱反應所釋放的熱量為：
因此，生成 mol 的沉澱熱為：
第 10 題2 分
Concentrated sulfuric acid and dilute sulfuric acid are placed open in the experiment. The relationship between their masses and the number of days in which they are placed is shown in the figure on the right. Which of the following process pairs is responsible for the change in the curves of a and b?
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核心觀念
本題考查液體的揮發性與硫酸的吸水性：
- 稀硫酸中含有大量水，開放放置時，水分可由液面逸出，造成溶液質量減少，此過程屬於 evaporation（蒸發）。
- 濃硫酸具有強烈吸水性，會吸收空氣中的水蒸氣，使自身質量增加，此性質稱為吸水性（water absorption）。
須注意，**deliquescence（潮解）**通常是固體物質吸收空氣中的水分而溶解，不適合用來描述原本就是液體的硫酸溶液。
解題方法
由圖形判斷：
- 曲線 a 的質量由約 降至約 ，表示樣品質量減少，應是水分蒸發。
- 曲線 b 的質量由約 增加至約 ，表示樣品吸收空氣中的水分，應是濃硫酸的吸水作用。
因此：
故選 (B)。
選項分析
(A) a: sublimation；b: condensation
錯誤。Sublimation（昇華）是固體直接變成氣體，題目中的硫酸溶液為液體，不涉及昇華。Condensation（凝結）是氣體變成液體，雖可造成質量增加，但不是本題濃硫酸吸收水蒸氣的主要表述，且 a 的質量減少也不符合凝結。
第 11 題2 分
A solution contains cations , , and . Dilute solutions of , , and are available to separate the cations from each other. In order to effectively separate the solutions, the solutions should be added in which order?
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核心觀念
本題考查「選擇性沉澱」：利用不同陽離子與特定陰離子形成難溶鹽的程度不同，依序加入試劑，使各離子分階段沉澱分離。
主要反應如下：
判斷順序的原則是：
- 先加入能選擇性沉澱其中一種離子的試劑。
- 過濾除去沉澱。
- 再對濾液加入下一種試劑。
- 最後使剩餘離子沉澱。
解題方法
三種陽離子與可用陰離子形成的鹽，其溶解性可作如下判斷：
| 陽離子 | |||
|---|---|---|---|
| ，難溶 | ，微溶 | ，極難溶 | |
| ，微溶 | ，難溶 | ，極難溶 | |
| ，可溶 | ，可溶 | ，難溶 |
第一步：加入
的溶解度很低，優先形成沉澱：
而 可溶，因此 留在溶液中。依題目採用的定性分析判斷，先以硫酸根除去 。
第二步：加入
除去鉛離子後，濾液中主要剩下 與 。加入氯離子時，銀離子形成難溶的氯化銀：
可溶，因此 不會沉澱。
第三步：加入
最後剩下的主要陽離子為 。加入硫離子後形成硫化鎳沉澱：
因此三種陽離子可依序分離：
所以正確順序為：
選項分析
第 12 題2 分
Which of the following reactions produces the correct major product?
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核心觀念
本題考查乙苯的芳香族取代反應、自由基反應，以及烷基側鏈的氧化反應。
乙苯可表示為：
其苯環上的乙基具有以下特性：
- 乙基為活化基，使苯環較容易進行 electrophilic aromatic substitution。
- 乙基是鄰、對位導向基。
- 乙苯的苄位碳 上具有苄位氫，可被強氧化劑氧化。
- 在光照下， 進行自由基反應，主要發生苄位溴化，而非苯環溴化。
解題方法
逐一判斷反應試劑所代表的反應類型，再確認圖示產物是否符合反應機構：
- ：Friedel–Crafts 烷基化。
- ：苯環硝化，且乙基導向鄰、對位。
- ：自由基側鏈溴化，優先發生在苄位。
- 、加熱：烷基苯側鏈氧化為苯甲酸。
- ：苯環氯化，不是側鏈氯化。
選項分析
(A) 錯誤
此反應屬於 Friedel–Crafts 烷基化：
圖中的烷基氯為支鏈一級鹵化物，形成的初級碳正離子會發生重排，並且 Friedel–Crafts 烷基化常伴隨碳正離子重排及多重烷基化。
因此，圖示產物若直接把原本的支鏈烷基接到乙苯上，未反映碳正離子重排，並非正確的主要產物。
(B) 錯誤
硝化反應的親電試劑為硝鎓離子：
乙基是鄰、對位導向基，因此主要產物應為鄰硝基乙苯與對硝基乙苯，其中通常對位產物因位阻較小而較有利：
第 13 題2 分
Consider the following reaction, which product is least likely to be observed?
Methyl acetate, , reacts with under acidic conditions.
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核心觀念
本題考查酸催化酯水解的反應機構，以及利用氧同位素 追蹤原子來源。
甲酸甲酯？本題底物為乙酸甲酯：
在酸催化下，水分子進攻酯的羰基碳，經過四面體中間體後，甲氧基以 形式離去。
解題方法與反應機構
關鍵步驟如下：
- 酯羰基氧先被 質子化，使羰基碳的親電性增加。
- 作為親核試劑進攻羰基碳。
- 形成四面體中間體，經質子轉移後，使 變成良好的離去基。
- 四面體中間體重新形成羰基，並脫去 。
- 去質子化後形成乙酸。
主要的同位素分布為：
因此，進入反應的 主要成為乙酸的羥基氧，而原本酯中的甲氧基氧則留在甲醇中。
酸催化反應具有可逆性，四面體中間體形成與崩解時，兩個氧原子可能發生交換，因此也可能觀察到 出現在羰基氧，甚至乙酸的兩個氧都帶有 。
選項分析
(A)
正確。水中的 進攻羰基後，經四面體中間體形成乙酸的羥基氧，因此此產物是合理且重要的產物。
(B)
第 14 題2 分
Phosphatidylglycerol is an important component in bacterial membrane and many anti-microbial peptides have been found to kill bacteria by the interaction with the membrane under physiological conditions. Which of the following residues in the anti-microbial peptides is most likely to bind to a membrane of phosphatidylglycerol?
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核心觀念
本題考察：
- 生理 pH 下磷脂膜表面的電荷。
- 胺基酸側鏈的酸鹼性與帶電狀態。
- 抗菌胜肽與細菌膜之間的靜電吸引作用。
Phosphatidylglycerol（磷脂醯甘油）含有帶負電的磷酸基團。在生理條件下，其膜表面呈負電性，因此容易與帶正電的抗菌胜肽產生靜電吸引，促進胜肽吸附於細菌膜上並破壞膜結構。
解題方法
先判斷 phosphatidylglycerol 的膜表面電荷：
再比較各胺基酸側鏈在生理 pH 下的電荷：
- 帶正電的側鏈：有利於和負電膜產生靜電吸引。
- 帶負電或中性的側鏈：不利於以靜電作用結合負電膜。
Arginine 的側鏈為胍基，側鏈 p 約為 ，在生理 pH 約 時大多以質子化形式存在：
因此 Arginine 側鏈帶 電荷，可與 phosphatidylglycerol 的負電磷酸基團產生強烈的靜電吸引。胍鎓離子也能形成氫鍵，進一步穩定其與磷酸基團的作用。
選項分析
(A) Arginine：正確
Arginine 的胍基在生理 pH 下幾乎完全質子化，帶正電：
Phosphatidylglycerol 帶負電，因此兩者之間具有有利的靜電吸引作用。這也是許多抗菌胜肽富含 Arginine、Lysine 等鹼性胺基酸的原因。
(B) Glycine：錯誤
第 15 題2 分
Which of the following comparisons of the intermolecular dispersion force is incorrect?
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核心觀念
本題考比較分子間的倫敦分散力（London dispersion force），又稱瞬時偶極–誘導偶極力。所有原子與分子皆具有分散力，其強弱主要取決於：
-
電子數與極化率（polarizability）
電子數越多、電子雲越大，越容易被扭曲，瞬時偶極越強，分散力通常越大。 -
分子大小與接觸表面積
分子越大，通常接觸面積越大，分散力越強。同分異構物中，直鏈分子通常比支鏈分子具有較大的接觸面積，因此分散力較強。
本題只比較「分散力」，不能直接以氫鍵、偶極–偶極力或沸點作為唯一判斷依據。
解題方法
先比較各組分子的：
- 電子總數與分子大小；
- 分子形狀及彼此接觸面積；
- 若為同分異構物，判斷直鏈或支鏈。
一般判斷原則為：
同分異構物則常有：
選項分析
(A)
為丙醇， 為乙醇。丙醇比乙醇多一個 單位，具有較多電子與較大的分子體積，電子雲也較容易極化。
因此，丙醇的倫敦分散力大於乙醇：
此比較正確。
需注意：兩者皆可形成氫鍵，但本選項只比較分散力；氫鍵不是本題判斷的主要依據。
(B)
此選項為錯誤比較。
的總電子數為：
的總電子數為：
具有較多電子，且矽原子的電子雲較大，因此整體極化率通常大於 。極化率較大表示瞬時偶極較容易產生，故倫敦分散力較強：
所以題目所給的：
第 16 題2 分
Which of the following is a chiral compound?
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本題考「手性（chirality）」的判斷。若一個分子與其鏡像不能完全重疊，即為手性分子；若能重疊，則為非手性分子。
判斷重點如下：
- 是否存在具有四個不同取代基的立體中心。
- 若無明顯立體中心，檢查分子是否具有鏡面、反心或其他對稱元素。
- 磷原子、硫原子等也可能形成立體中心，不只碳原子才會造成手性。
解題方法
逐一觀察各結構的立體中心與分子對稱性：
- 若中心原子連接四個不同的基團，通常具有手性。
- 若分子具有鏡面對稱，鏡像可與原分子重疊，因此為非手性。
- 對稱的橋環或稠環系統，即使外觀看似立體，也可能因分子對稱而非手性。
選項分析
(A) I：正確
結構 I 的磷原子為立體中心。該磷原子連接四種不同的取代基：
- 環中的氮原子；
- 環中的氧原子；
- 基團；
- tert-butyl（）基團。
因此，磷原子具有四個不同的鍵結方向，可形成兩種互為鏡像且不能重疊的構型。分子具有手性。
需要注意的是，判斷手性不能只尋找碳立體中心；本題的關鍵正是磷原子形成了立體中心。
(B) II：錯誤
結構 II 的橋環骨架具有對稱性。連接酯基的位置，其左右兩側的環路徑彼此等價，分子存在對稱面。
第 17 題2 分
The osmotic pressure of a aqueous solution of potassium sulfate was measured to be at . What is the van’t Hoff factor for this solution?
The gas constant is .
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核心觀念
本題考查滲透壓與 van’t Hoff factor（范特霍夫因子） 的關係。
稀溶液的滲透壓公式為：
其中：
- ：滲透壓，單位為
- ：van’t Hoff factor，表示溶質粒子數相對於未解離分子的倍數
- ：溶液莫耳濃度，單位為
- ：氣體常數
- ：絕對溫度，單位為
硫酸鉀在水中的解離可表示為：
理想完全解離時，每 個 產生 個溶液粒子，因此理想值為 。但實際溶液中會有離子間作用力與離子對形成，使有效粒子數低於完全解離的理想值。
解題方法
已知：
溫度必須換算為絕對溫度：
由滲透壓公式：
代入數值：
先計算分母：
因此：
所以此硫酸鉀溶液的 van’t Hoff factor 為：
選項分析
- (A) 0.37：錯誤
第 18 題2 分
Which of the following compound names conforms to IUPAC nomenclature?
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核心觀念
本題考查 IUPAC 有機化合物命名的三項基本規則：
- 選擇含有最長碳鏈的主鏈。
- 由適當端點編號，使取代基得到最低定位號碼組。
- 不同取代基依英文字母順序排列；倍數字首如 di- 不列入字母排序。
本題涉及的取代基包括：
- ：bromo
- ：chloro
- ：fluoro
- ：nitro
- ：methyl
- ：ethyl
解題方法
逐一檢查每個名稱是否同時符合：
只要其中一項不符合，該名稱即不是正確的 IUPAC 名稱。
選項分析
(A) 1-methyl-2-bromobutane
此名稱以 butane 作為主鏈，並在第 1 號碳上接一個 methyl。
但將結構延伸後，包含 methyl 端碳在內，可以形成五個連續碳原子的最長碳鏈，因此主鏈應選為 pentane，而不是 butane。
此外，若以最長鏈命名，原本的 methyl 已被納入主鏈，不能再作為取代基。
因此，(A) 選擇的主鏈錯誤，故不符合 IUPAC 命名法。
(B) 2,2-dibromo-3-chloropropane
此結構以 propane 為主鏈，取代基位置為：
- 一端編號：2,2-dibromo、3-chloro，定位號碼組為
- 反向編號：1-chloro、2,2-dibromo，定位號碼組為
依最低定位號碼原則，應選擇：
因此應由氯取代基所在的一端開始編號，正確名稱應為：
1-chloro-2,2-dibromopropane
題目所給名稱使用了較大的定位號碼組，故 (B) 錯誤。
(C) 2-ethyl-3-chloropentane
此名稱將最長主鏈選為 pentane，並在第 2 號碳上接 ethyl。
第 19 題2 分
Which of the following statements for the unsaturated hydrocarbons is correct?
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核心觀念
本題綜合考查三類觀念：
- 不飽和烴的反應性：烯類與炔類容易進行加成反應。
- 苯的芳香性：苯環具有特殊穩定性，通常傾向進行保留芳香性的親電芳香取代反應，而非加成反應。
- 燃燒熱與單位質量放熱量：比較不同物質的燃燒放熱，必須換算成每克放出的熱量。
解題方法
逐一判斷各選項所涉及的反應類型，再檢查：
- 反應是否符合該類烴的典型性質；
- 苯環是否因反應而失去芳香性；
- 分子幾何是否符合 、 混成；
- 比較燃燒熱時，是否已除以莫耳質量。
選項分析
(A) Benzene is more reactive than ethene toward hydrogenation reaction.
錯誤。
乙烯的 雙鍵可在催化劑存在下容易進行氫化：
苯也能氫化成環己烷：
但苯的 電子形成離域芳香系統，具有顯著的芳香穩定化能。苯氫化時必須破壞芳香性，因此需要較嚴格的條件，例如較高溫度、壓力及金屬催化劑。
相較之下，乙烯氫化容易得多，因此：
不是苯較活潑。
(B) Combustion of acetylene releases more heat than benzene of the same weight.
正確。
乙炔與苯皆可完全燃燒生成 與 。
乙炔的完全燃燒反應為：
苯的完全燃燒反應為：
典型燃燒熱約為：
- 乙炔：
- 苯：
單看每莫耳，苯放出的熱量較多；但題目比較的是相同重量，必須除以莫耳質量。
乙炔的莫耳質量：
每克乙炔的放熱量：
苯的莫耳質量：
每克苯的放熱量：
因此，相同質量下：
故乙炔燃燒放出的熱量較多，選項正確。
(C) Ethene is more reactive than benzene toward electrophilic substitution reaction.
錯誤。
第 20 題2 分
The dissolution of a strong electrolyte of type in water, which can be regarded as a special chemical reaction, is expressed as:
with enthalpy and entropy changes of and , respectively. Which of the following statements best describes the dissolution of strong electrolytes of type of different compositions?
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核心觀念
本題考查強電解質溶解時的熱力學變化，以及 、 的物理意義。
強電解質 溶於水可表示為：
溶解自由能的關係為：
其中：
- ：溶解焓，反映溶解過程吸熱或放熱。
- ：溶解熵，反映整個系統混亂程度與水分子排列變化。
- 強電解質只表示溶於水後大部分完全解離，不代表 或 必定為正或負。
解題方法
一、判斷溶解焓
溶解可拆成兩個主要步驟：
- 破壞離子晶格，使晶體中的離子分離：
此步驟需要吸收能量，因此為吸熱過程。
- 氣態離子被水分子包圍、水合：
離子與水分子形成離子—偶極作用，通常放出能量，因此為放熱過程。
所以：
晶格分解焓為正，水合焓為負，兩者大小取決於離子半徑、電荷數與晶格排列。
- 若晶格能量較大，則溶解可呈吸熱，。
- 若水合能量釋放較多，則溶解可呈放熱，。
因此， 可為正，也可為負。
二、判斷溶解熵
乍看之下，固體晶格分裂成許多溶液中的離子，粒子分散程度增加，因此常使熵增加：
但水合作用也會影響熵。水分子為了排列包圍離子，可能形成較有秩序的水合層，使水分子的自由度降低：
周圍的水分子可能比純水中排列得更規則。對於電荷密度高的小離子，水合效應尤其明顯，水分子排列造成的熵減少可能超過離子分散造成的熵增加。
因此，溶解的總熵變是兩種效應的合成：
第 21 題2 分
Lysine , denoted by , is an essential amino acid, and its hydrochloride salt exists in aqueous solution in the following equilibrium:
When an solution is added to a certain concentration of solution, the distribution coefficients of , , , and vary with pH as shown on the right.
Given that
which of the following statements is correct?
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核心觀念
本題考查三元酸鹼平衡、分布係數、 與電中性原理。
胺基酸各型態依序解離：
每一個相鄰型態的分布曲線交點，代表兩者濃度相等，也就是對應的 ：
- M：，故
- N：，故
- P：，故
- O：，為等電點位置
解題方法
由酸解離平衡式：
兩式相乘得：
在圖中的 O 點，，因此：
所以：
取負對數：
即：
故選項 D 正確。
選項分析
(A)
由 ：
由圖可見：
因此：
故 A 錯誤。
(B) At M,
溶液必須符合電中性：
第 22 題2 分
The use of as a nitrifying agent is a new type of green nitrification technology, which has been widely used in industries such as energy-containing materials and pharmaceuticals. For the reaction
the following reaction sequence was proposed:
Step 1: — fast equilibrium
Step 2: — slow
Step 3: — fast
where it can be approximated that the second step does not affect the equilibrium of the first step. Which of the following statements is correct?
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核心觀念
本題考查：
- 反應機構與總反應式的配平。
- 快速平衡、慢速步驟與速率決定步驟。
- 反應中間體的判定。
- 碰撞理論與有效碰撞。
- 預平衡近似法推導速率定律。
總反應為：
其中，反應中間體是「在機構中生成，最後又被消耗，且未出現在總反應式中」的物種。
解題方法
先觀察各步驟：
- 第一步：，快速平衡。
- 第二步：，慢速。
- 第三步：，快速。
將第二步與第三步相加，可消去中間生成的 ：
合併後：
再將第一步進行兩次：
與上式相加，消去 ，得到：
因此， 與 都是在機構中出現、但未出現在總反應式中的中間體。
由於第二步為慢速步驟，依碰撞理論，反應物分子並非每次碰撞都能反應，必須同時具備：
- 足夠的碰撞能量；
- 正確的分子相對方向。
所以只有一部分 與 的碰撞屬於有效碰撞。
選項分析
(A) The rate of the reverse reaction of the first step the rate of the reaction of the second step.
錯誤。
第一步為快速平衡：
快速平衡代表第一步正、逆反應都比第二步快。在平衡狀態下，第一步正反應速率與逆反應速率相等：
且快速步驟的速率通常遠大於慢速第二步，因此不應判定第一步逆反應速率小於第二步。
(B) The only intermediate product of the reaction is .
錯誤。
確實是中間體，因為它由第一步生成，並在第二、第三步中被消耗。
但 也符合中間體定義：
- 第二步生成 ；
- 第三步消耗 ；
- 未出現在總反應式中。
因此，本機構至少包含兩種中間體：
第 23 題2 分
You titrated of , , and solutions with solution, respectively, and used an electrode to monitor the change in concentration during the titration. The measured electrode potential versus the volume of solution consumed is shown on the right.
It is known that the electromotive force of the electrode increases with the increase of , and the produced silver halide by titration exists as a colloid. Which of the following statements is correct?
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核心觀念
本題考查沉澱滴定、溶度積、膠體吸附及電極電位變化。
滴定反應為：
其中 可為 、 或 。三種溶液的鹵離子濃度皆為 ，取樣體積皆為 ，因此鹵離子莫耳數為：
使用 滴定時，理論當量點體積為：
電極的電位會隨 增加而升高。當尚未到達當量點時，溶液中的 主要受 的溶度積控制：
溶度積大小规律為：
因此在相同鹵離子濃度下：
所以電位由低到高應為：
圖中曲線由低到高為 III、II、I，因此曲線 I 對應 沉澱，也就是 溶液。
選項分析
(A) 正確。
曲線 I 的初始電位最高，表示滴定過程中 相對較高。三種銀鹵化物中， 的溶度積最大，故在相同 濃度下所需的 較高。因此曲線 I 為 溶液的滴定曲線。
(B) 錯誤。
Q 位於陡升後的高電位平台，已經超過理論當量點。由計算可知當量點約在 ，而圖中的 Q 約位於 附近，因此 Q 不是滴定終點。
第 24 題2 分
The catalyzed reaction of benzene with is shown in the following figure. Which of the following statements is correct about the sequence of reactions?
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核心觀念
本題考查苯與 在不同反應條件下的反應途徑、活化能、反應熱與反應機構。
苯與 可能進行兩種反應：
- 取代反應：苯環保留芳香性，生成溴苯與 。
- 加成反應： 加到苯環上，破壞芳香性，生成二溴加成物。
圖中顯示，催化反應的取代路徑具有較低的活化能，因此反應速率較快，主要生成取代產物。
解題方法
判斷此題應依序觀察能量圖中的三項資訊：
- 各反應途徑的活化能高低；
- 反應物與產物的能量差；
- 反應過程中各步驟涉及的鍵結變化。
催化劑的主要作用是降低活化能，使反應加快；催化劑不會改變反應物與產物的能量差，因此不會改變平衡常數。
圖中取代反應路徑的最高能障低於加成反應路徑，所以取代反應較快，為主要反應途徑。
苯的溴化取代機構可概括為：
- 在 Lewis acid 催化下極化，形成具有親電性的溴物種；
- 苯環的 電子進攻親電性溴，形成 -complex；
- 脫去氫離子，恢復苯環芳香性，生成溴苯。
其中，形成 -complex 的步驟需要克服較高能障，是取代反應的重要速率控制步驟。
選項分析
(A) 錯誤
題幹不能概括說苯與 的反應一定是放熱反應。
依校方釋疑公告：
- 苯與 進行取代反應時，反應為放熱；
- 苯與 進行加成反應時，反應為吸熱。
因此，反應熱取決於反應途徑，選項直接宣稱反應為放熱，敘述不完整且錯誤。
(B) 正確
第 25 題2 分
, , and are removed when purifying crude salt () in the laboratory. Which of the following reagents are needed in addition to ?
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核心觀念
本題考查實驗室中粗食鹽（）的純化，以及利用沉澱反應移除雜質離子：
- ：以 形成難溶的 。
- ：以 形成難溶的 。
- ：以 形成難溶的 。
- 過量的 ：也以 形成 。
- 過量的 、：最後以 中和。
純化過程應盡量只引入 、，因為這兩種離子本來就是目標產物 的組成離子。
解題方法
適當的加藥順序為：
- 加入 ，移除硫酸根：
- 加入 ，移除鎂離子：
- 加入 ，移除鈣離子及過量鋇離子：
- 過濾除去上述沉澱後，加入 中和剩餘的 與 ：
使用 與 後所引入的陽離子是 ，而加入 後引入的陰離子是 ，因此不會造成難以移除的新雜質，最後主要得到 溶液。
選項分析
(A) 、、：正確
- 可沉澱 ：
- 可沉澱 ，並移除過量的 ：
- 可中和剩餘的鹼與碳酸根，且生成的可溶性鹽是目標物 。
因此此選項符合粗食鹽純化的完整流程。
第 26 題2 分
At , volumes of a strong acid solution of pH is mixed with volume of a strong alkali solution of pH , and the resulting solution is neutral. What is the relationship between the pH of the strong acid and the pH of the strong alkali before mixing?
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核心觀念
本題考查強酸、強鹼溶液的 pH 定義，以及中和反應的莫耳數關係。
25 °C 時：
強酸提供 ，強鹼提供 ，中和反應為：
混合後呈中性，表示酸提供的 莫耳數恰好等於鹼提供的 莫耳數。
解題方法
設酸溶液體積為 ，鹼溶液體積為 。
酸溶液 pH ，因此：
酸所含 的莫耳數為：
鹼溶液 pH 。由 pH 與 pOH 的關係：
所以：
鹼所含 的莫耳數為：
因混合後呈中性：
約去 ：
比較指數：
整理得：
因此正確選項為 (A)。
第 27 題2 分
The energy changes for the hydrogenation of mole of cyclohexene, cyclohexadienes, and benzene to produce mole of cyclohexane are as follows:
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Which of the following statements is incorrect?
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核心觀念
本題考查：
- 雙鍵的催化氫化反應與反應熱。
- 共軛雙鍵造成的穩定化效應。
- 苯的芳香性與共振穩定化。
- 鍵能與反應焓的關係。
烯烴在催化劑表面吸附 後，發生氫分子鍵的斷裂，兩個氫原子分別加成至原本雙鍵的兩個碳上，使 轉變為 ：
題目給定：
其中 為環己烯氫化，、 為兩種環己二烯氫化， 為苯氫化。
解題方法
以單一 雙鍵的氫化熱 作為基準：
若分子中的多個雙鍵完全互不影響，二烯的氫化熱應約為：
苯若具有三個完全獨立的雙鍵，則應約為：
實際數值與上述理想值的差異，即可用來判斷雙鍵間是否存在共軛或芳香性穩定化。
判斷反應熱時，數值越負代表放出的熱越多；數值較不負則表示反應物本身具有較高穩定性。
選項分析
(A) 錯誤
選項前半段計算正確：
而題目給出的 ，確實有：
但選項接著推論「氫化放熱量與分子中 雙鍵數目成正比」，此推論過度概括，因此錯誤。
原因是雙鍵並非在所有分子中都彼此獨立。若雙鍵互相影響，例如形成共軛系統或芳香系統，分子會產生額外穩定化，使氫化時的放熱量小於單純依雙鍵數目相加的結果。苯的實際氫化熱便只有 ，遠小於 。
因此，不能僅以雙鍵數量直接判斷氫化熱必定成正比。
(B) 正確
題目數值顯示：
較不負，表示該結構的氫化放熱量較少，反應物較穩定。這是因為相鄰雙鍵形成共軛系統， 電子可在交替的單、雙鍵系統中離域：
共軛使分子能量降低、穩定性增加，因此氫化時釋放的熱量會比完全獨立的雙鍵少。
第 28 題2 分
The related properties of molecules, ions, and compounds are compared in the following:
(I) Bond angle:
(II) Polarity:
(III) Melting point:
(IV) Boiling point:
(V) Bond length:
Which of the comparisons are correct?
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核心觀念
本題綜合考查：
- VSEPR 理論與分子鍵角
- 分子對稱性與極性
- 離子晶體的晶格能與熔點
- 分子間作用力與沸點
- 分子軌域理論中的鍵級與鍵長
判斷比較式時，必須先確認各物種的結構、作用力或鍵級，再比較其物理性質。
解題方法與各敘述判斷
（I）鍵角：
的中心原子為 ，形成兩個雙鍵：
中心碳沒有孤電子對，具有兩個電子域，採直線形，鍵角為：
的中心硫具有三個電子域：兩個鍵結區域及一對孤電子對。電子域幾何為平面三角形，分子形狀為彎曲形，鍵角約為 。
孤電子對對鍵結電子對的排斥力較強，使鍵角小於 ，但仍明顯大於 。
的中心硫有兩個鍵結電子對及兩對孤電子對，電子域幾何為四面體，分子形狀為彎曲形。兩對孤電子對會強烈壓縮鍵角，鍵角約為 。
因此：
所以（I）正確。
（II）極性：
為平面三角形，三個 鍵以 對稱排列。雖然每個 鍵具有極性，但三個鍵偶極矩彼此抵消：
因此 為非極性分子。
的中心碘有五個電子域：三個鍵結電子對及兩對孤電子對。電子域幾何為三角雙錐，兩對孤電子對位於赤道位置，分子形狀為 T 形。
T 形結構不具高度對稱性，三個 鍵偶極矩無法完全抵消，因此 為極性分子。
所以極性大小规律為：
題目所列 錯誤。
（III）熔點：
、 與 都是離子晶體，熔點主要受到晶格能影響。晶格能大致與離子電荷乘積成正比，與離子間距離成反比：
中為 和 ，電荷乘積為 ，晶格能很大，因此熔點最高。
與
兩者皆由一價陽離子與一價陰離子構成，但離子半徑不同：
- 比 小
- 比 小
因此 的離子間距較短，晶格能較大，熔點高於 ：
第 29 題2 分
The two compounds shown on the right are used to synthesize flame retardant materials and biomaterials. The atomic numbers of the elements W, X, Y, and Z are known to be , and X and Z are in the same group. The atomic number of Y is three times the number of valence electrons of W.
Which of the following statements is correct?
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核心觀念
本題結合：
- 週期表位置與原子序。
- 主族元素的價電子數。
- 鹵素的氧化態與氫鹵酸酸性。
- 原子半徑的週期性變化。
- Lewis 電子點結構與化合物的鍵結性質。
由圖可判斷，、構成磷氮骨架，而、為接在上的鹵素元素。
解題方法
已知：
且與同族。又知：
由圖中骨架可判斷為第15族元素，具有5個價電子，因此：
原子序15為磷，所以：
在之前，符合骨架與鍵結特徵的為氮：
與同族，且分別位於磷的兩側；圖中為鹵素取代基，因此：
整理如下：
| 代號 | 元素 | 原子序 | 族 |
|---|---|---|---|
| 7 | 15 | ||
| 9 | 17 | ||
| 15 | 15 | ||
| 17 | 17 |
比較原子半徑：
- 同週期由左至右，原子半徑變小。
- 同族由上而下，原子半徑變大。
因此四者大小為：
所以最大，最小。
選項分析
(A) The highest oxidation state of both X and Z is .
。氟的電負度最大，化合物中幾乎只呈現氧化態，不能呈現。
雖可在等物種中呈現，但氟不能，因此此項錯誤。
(B) Both and are strong acids in water, and their electron dot structures can be expressed as and .
在水中為強酸，但為弱酸，原因是鍵能很大，不易解離：
第 30 題2 分
The elements X, Y, and Z can be combined to form the compound ; the sum of the atomic numbers of X, Y, and Z is . Y and Z are in the same period. Which of the following assumptions is correct?
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核心觀念
本題結合下列觀念：
- 原子序可用來判定元素：
- 同週期元素具有相同的電子層數。
- 金屬與含氧酸根通常形成離子化合物；非金屬彼此形成的氧化物多為共價化合物。
- 需判斷化合物的水溶性，以及元素間可能形成的化學鍵。
題目給定：
- 化合物為
- 、、 原子序總和為
- 與 位於同一週期
解題方法
依據題目化合物形式 ，以及元素常見價態與含氧化合物的組成，可得到命題單位列出的三組合理組合：
| 原子序總和 | ||||
|---|---|---|---|---|
其中 與 分別為 、、，皆位於第二週期，符合題意。
校方釋疑公告指出，三者之中：
- 易溶於水；
- 微溶於水；
- 不屬於題目所述的水溶性鹽；
- 為離子化合物。
因此 完全符合選項 (B)。
選項分析
(A) 是水溶性酸，且 、 形成共價化合物 。
錯誤。
在合理組合中：
- 是鹽，不是酸；
- 是鹽，不是酸；
- 也是鹽類型的離子化合物，不是水溶性酸。
此外， 通常為金屬，與 形成的簡單二元化合物不宜直接判定為共價化合物。例如 與 、 與 可能形成金屬間化合物或具離子性、網狀結構的物質，並非題目所述的典型共價化合物。
(B) 是微溶於水的鹽，且 、 形成離子化合物 。
正確。
取：
則：
原子序總和為：
且 與 均位於第二週期。
為鎂離子 與碳酸根 所形成的鹽，微溶於水。
第 31 題2 分
In a Carnot engine, what is the working substance?
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核心觀念
Carnot engine（卡諾熱機）是由兩個定溫過程與兩個絕熱過程組成的理想可逆熱機：
- 高溫定溫膨脹
- 絕熱膨脹
- 低溫定溫壓縮
- 絕熱壓縮
在基礎熱力學中，Carnot engine 通常以「理想氣體」作為工作物質，並利用理想氣體方程式：
工作物質是指在熱機內部循環運動，透過吸熱、膨脹、放熱與壓縮來輸出功的物質。
Carnot engine 的理想工作物質必須能夠進行可逆的熱力學變化。理想氣體具有明確的狀態方程式，且在定溫、絕熱等過程中容易建立精確的理論關係，因此標準模型採用理想氣體。
解題方法
判斷本題的關鍵，是辨認「Carnot engine」的工作物質，而非熱源或燃料。
Carnot engine 是理想化熱機，其循環過程需滿足：
- 高溫熱源與低溫熱源之間運作
- 所有過程皆可逆
- 工作物質在循環後回到原本狀態
- 工作物質通常以理想氣體模型描述
對理想氣體而言，定溫過程符合：
絕熱過程符合：
其中 。這些關係使 Carnot cycle 能夠進行完整的理論分析。因此本題依標準教材與官方答案，工作物質為 ideal gas。
選項分析
(A) the air
空氣不是 Carnot engine 的標準答案。空氣雖然可近似視為理想氣體，但它是由多種氣體組成的混合物，並非 Carnot engine 定義中指定的工作物質。
若題目問「某一實際熱機可以使用何種氣體」，空氣確實可能作為工作流體；但本題問的是理想 Carnot engine 的工作物質，應選更精確的描述「理想氣體」。
因此 (A) 錯誤。
(B) an ideal gas
第 32 題2 分
What is the approximate heat capacity ratio, , for methane under NTP conditions ( and )?
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核心觀念
本題考查理想氣體的熱容量比：
其中：
- ：定容莫耳熱容量
- ：定壓莫耳熱容量
對理想氣體而言，兩者關係為：
因此只要知道甲烷在 附近的 或 ，即可求得 。
解題方法
甲烷 是非線性多原子分子。若以剛性分子近似，只考慮平移與轉動自由度：
- 平移自由度：
- 非線性分子轉動自由度：
根據能量均分定理，定容莫耳熱容量為：
因此：
得到剛性分子近似：
此結果已落在選項 C 的範圍：
更精確地考慮甲烷的振動自由度後，在 時，部分振動模式會受到熱激發，使 略大於 ，因此實際數值約為：
由理想氣體關係：
取 ：
所以：
因此無論採用剛性分子近似所得的 ，或採用室溫下的實際熱容量所得的約 ，皆應選擇：
選項分析
(A) ：錯誤
單原子理想氣體只有三個平移自由度：
因此：
第 33 題2 分
The switch in the circuit on the right is closed at . What is the voltage across the capacitor after a very long time, i.e., much longer than the time constant , when both the capacitor and the inductor are in a steady state?
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核心觀念
本題考查直流電路在穩態下，電容器與電感器的等效行為：
- 經過很長時間後，電容器充電完成，視為開路，因此電容支路沒有電流。
- 穩態直流下，電感器視為短路，其電壓降為 。
- 電容器兩端電壓 等於其上端節點相對於下端接地節點的電位。
解題方法
在穩態時，電容器開路，主電流只流經電池、 電阻、 電阻與電感器：
電路電流為
電感器為短路，因此電容器上端節點到下端節點的電壓，等於 電阻兩端的電壓：
也可由電池電壓扣除 電阻的壓降：
因此官方答案為 (B) 。
選項分析
- (A) ：錯誤。
此值忽略了 電阻上的電壓降。
第 34 題2 分
What is the key factor of the Sun that directly determines our human, and many animals’, adaptation and sensitivity to its visible light?
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核心觀念
本題考查太陽表面溫度與其電磁輻射光譜的關係，以及生物對可見光的適應。
太陽可近似視為黑體，其表面溫度決定輻射能量在不同波長上的分布。黑體輻射峰值波長由 Wien 位移定律表示：
其中 為 Wien 常數。太陽表面溫度約為 ，因此輻射峰值約落在可見光區域：
可見光也是人類及許多動物主要使用的視覺波段，因此太陽的表面溫度直接決定其輻射光譜是否以可見光為主，進而影響生物對可見光的感受與適應。
此外，黑體單位面積的總輻射功率與溫度關係為 Stefan–Boltzmann 定律：
但本題問的是「對可見光的 adaptation and sensitivity」的關鍵因素，重點在於光譜分布與波長，而非單純總能量大小。
解題方法
判斷「生物適應某一波段光線」時，應優先考慮光源的光譜組成，也就是不同波長的輻射強弱。
太陽表面溫度約 ，使其黑體輻射涵蓋紫外光、可見光與紅外光，且能量分布峰值接近可見光區。人類視網膜中的視蛋白與視覺色素，正是長期適應此類太陽光譜而形成。
因此，直接決定太陽光主要落在哪些波長、是否有大量可見光的物理量，是太陽的表面溫度。
選項分析
(A) its mass：質量
錯誤。太陽質量主要影響其內部重力、核心壓力、核融合速率與整體演化。質量會間接影響太陽的光度與壽命，但不是直接決定可見光光譜分布的因素。
若討論太陽表面發出的光以何種波長為主，應使用 Wien 位移定律，核心變數是表面溫度 ，不是質量 。
(B) its radius：半徑
錯誤。太陽半徑會影響總表面積，因此在表面溫度固定時，會影響總光度：
半徑越大，總輻射功率通常越大；但半徑本身不直接決定輻射的峰值波長。峰值波長仍由：
第 35 題2 分
Which of the following phenomena is not due to the tunneling effect?
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核心觀念
本題考查量子穿隧效應（quantum tunneling effect）。
在經典力學中，粒子若能量 小於位能障壁 ，無法通過障壁；但在量子力學中，粒子的波函數可滲入障壁，並具有非零的穿透機率。對厚度為 、障壁高度為 的簡化矩形障壁，穿透機率約為
其中
因此，粒子質量越小、障壁越薄、能量越接近障壁高度，穿隧效應越明顯。
判斷本題的關鍵，是確認各現象是否涉及粒子穿越「經典上無法通過」的能量障壁。
解題方法
逐一檢查各選項的主要物理機制：
- 若現象的核心是粒子穿越位能障壁，則屬於穿隧效應。
- 若現象是由外加電磁場造成能階躍遷，且不涉及穿越位能障壁，則不屬於穿隧效應。
其中 MRI 的訊號來源是核磁共振：具有核自旋的原子核在外加磁場中形成不同自旋能階，吸收特定頻率的射頻電磁波後產生能階躍遷。這是磁共振與受激吸收現象，不是量子穿隧。
選項分析
(A) field emission microscope
場發射顯微鏡利用強電場使金屬內的電子穿越表面位能障壁，從金屬逸出形成電子束。
在沒有強電場時，電子通常缺乏足夠能量克服金屬表面的功函數 ；施加強電場後，表面位能障壁變薄，電子可透過量子穿隧逸出。其場發射電流對電場強度具有高度敏感性，常以 Fowler–Nordheim 理論描述。
因此，場發射顯微鏡的工作原理涉及電子穿隧效應。
本選項錯誤。
(B) ammonia inversion
氨分子 呈三角錐形，氮原子位於三個氫原子形成的平面一側。氮原子可由平面一側翻越至另一側，形成氨分子的反轉運動：
此處的兩個構型可視為被一個能量障壁分隔。氮原子若以經典方式運動，必須獲得足夠能量越過障壁；在量子力學中，氨分子可穿越此障壁，因此產生可觀察的 inversion（傘式反轉）。
氨分子的反轉能階分裂也可用微波光譜觀察，並曾應用於 ammonia maser。
因此，氨分子的反轉涉及量子穿隧效應。
本選項錯誤。
(C) nuclear alpha decay
衰變是原子核放出 核：
第 36 題2 分
Which of the following functions is not a solution to the one-dimensional wave equation?
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核心觀念
一維波動方程式為
其中 為波的傳播速率。凡是可寫成
的函數，皆為一維波動方程式的解。
若函數含有波數 與角頻率 ，則必須滿足
也就是
這是判斷正弦波、駐波及其他波形函數的重要條件。
解題方法
判斷每個選項是否為波動方程式的解，可採用兩種方式：
- 將函數辨認為 的形式。
- 直接計算 與 ，確認是否滿足波動方程式。
本題未明確給定 ，因此依波動函數的標準慣例，採用
進行判斷。
選項分析
(A)
令
則
對 微分兩次：
對 微分兩次：
因此
由 可得
所以
故 (A) 是波動方程式的解。
(B)
此式可利用積化和公式：
令
則
這是兩個方向相反、波數皆為 、角頻率皆為 的行進波疊加而成，形成駐波型態。
每一項都滿足一維波動方程式，因此其線性組合也滿足波動方程式。更直接地說，空間部分的二階微分會產生 ，時間部分的二階微分會產生 ，在 時符合波動方程式。
故 (B) 是波動方程式的解。
(C)
令
則原式可寫成
其中
第 37 題2 分
Which of the following physical quantities has its unit as newton ()?
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核心觀念
本題考查物理量的定義與 SI 單位判斷。牛頓 是力的單位：
各選項需依其定義換算基本單位：
- 應力（stress）：
- 壓力（pressure）：
- 表面張力（surface tension）：
- 電動勢（emf）：
其中 為力、 為面積、 為長度、 為能量、 為電荷量。
解題方法
逐一將各物理量的定義代入 SI 單位：
- 力 的單位為 。
- 應力與壓力都是「單位面積所承受的力」，單位為 。
- 表面張力是「單位長度上的切向力」，單位為 。
- 電動勢是「單位電荷所獲得的能量」，單位為 ，即伏特 。
因此沒有任何一個選項的單位恰為 。
選項分析
(A) the compressive stress
壓縮應力是物體受到壓縮時，垂直作用力除以受力面積：
因此其單位為：
壓縮應力的單位是帕斯卡 ，不是牛頓 ，故錯誤。
(B) the hydraulic pressure
液壓通常指液體內部或液壓系統中的壓力，其定義同樣是單位面積上的垂直力：
所以：
第 38 題2 分
As shown on the right, a ball of mass is attached to a pivot fixed in place by means of a string of length . The ball is in a state of rest. A constant force is applied horizontally to cause the ball to swing upwards. What is the kinetic energy of the ball when the string makes an angle of with the vertical line?
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核心觀念
本題考查功—能定理：
球由靜止開始，因此 。作用力包括：
- 水平外力
- 重力
- 張力
張力始終沿著繩子方向，而球的瞬時位移沿圓弧切線方向，因此張力不做功。
解題方法
由最低點擺至繩子與鉛直方向夾角 的位置。
球的水平位移為
水平外力所做的功：
球上升的高度為
重力所做的功為負值：
因此根據功—能定理：
整理得
故選擇：
選項分析
- (A) ：錯誤。
此式將外力的功誤以垂直位移 計算。
第 39 題2 分
Which of the following statements about gravity and planet motion is correct?
(A) In a non-uniform gravitational field, the center of gravity of an object is still located at the same position as its center of mass.
(B) The planet Mercury has smaller orbiting velocity than that of planet Jupiter.
(C) On earth, the escape velocities of hydrogen and helium atoms are the same.
(D) If Newton’s law of gravity becomes
Kepler’s second law, , is still correct.
(E) As Halley’s Comet moves away from the sun, its velocity becomes greater and greater.
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根據選項(C)的敘述,氫原子與氦原 子都在地表 (離地心同樣距離),因此 選(C)或(D)都可以 脫離速度是一樣的,所以(C)也是正 確。
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核心觀念
本題考查：
- 重心與質心的區別
- 行星繞太陽運動的軌道速度
- 脫離速度
- 中央力與克卜勒第二定律
- 行星或彗星的機械能守恆
解題方法
逐一檢查各選項的物理定義與公式：
- 非均勻重力場中，重力作用位置不一定等於質量分布的幾何中心。
- 行星距離太陽越近，軌道速度通常越大。
- 脫離速度與物體本身的質量無關。
- 只要作用力為中央力，力矩為零，角動量守恆，因而面積速度保持定值。
- 彗星遠離太陽時，重力位能增加，動能減少，速度降低。
選項分析
(A) 錯誤
質心（center of mass）只由物體的質量分布決定：
重心（center of gravity）則是整個物體所受重力合力的作用點。
在均勻重力場中，各部分受到的重力方向與大小比例一致，因此重心與質心重合。但在非均勻重力場中，不同位置的重力加速度不同，重力合力的作用點會受到各部分重力大小差異的影響，因此一般不與質心重合。
所以「仍位於同一位置」的敘述錯誤。
(B) 錯誤
對近似圓形軌道的行星，萬有引力提供向心力：
約去行星質量 ：
其中 為太陽質量， 為行星與太陽的距離。
水星距離太陽比木星近，因此 ，故：
所以水星的軌道速度不是較小，而是較大。
(C) 正確，但造成題目有複數正確選項
距離地球表面高度相同的位置，脫離速度為：
其中 為地球質量， 為該位置到地心的距離。
公式中沒有出現逃逸物體本身的質量，因此氫原子與氦原子的脫離速度相同：
第 40 題2 分
A uniform disk of mass and radius is rotating about its symmetry axis at an angular velocity . A ring of the same mass and radius , originally at rest, suddenly drops on the disk. Due to friction, the disk and the ring finally rotate together at a constant angular velocity . What is the kinetic energy loss during this process?
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核心觀念
本題考查轉動慣量、角動量守恆與非彈性碰撞中的動能損失。
圓盤與圓環接觸後，彼此間的摩擦力屬於內力，會使兩者最後以相同角速度轉動。若忽略軸承摩擦等外力矩，系統對轉軸的外力矩為零，因此角動量守恆；但摩擦會將部分機械能轉化為熱能，所以動能不守恆。
轉動動能公式為
解題方法
均勻圓盤繞對稱軸的轉動慣量為
質量集中在半徑 處的圓環，其轉動慣量為
初始時，只有圓盤以角速度 轉動，圓環靜止，因此初始角動量為
最後兩者一起以角速度 轉動，總轉動慣量為
由角動量守恆：
因此
初始動能：
最終動能：
第 41 題2 分
Two pulses traveling on the same string are described by
Where is the location of the node where these two pulses always cancel?
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核心觀念
本題考查兩個脈衝的疊加原理，以及「節點（node）」的判定。
兩脈衝為
若某一固定位置 上，對所有時間 都滿足
則該位置就是兩脈衝永遠相消的節點。
解題方法
要使兩脈衝大小相等、方向相反，分母必須相等：
利用平方相等的條件：
其中
第一種情況：
這只代表在特定時間 時，兩分母相等，並非固定位置上的永久相消，因此不是題目所求。
第二種情況：
展開得
此結果與時間 無關，因此在固定位置 ，兩脈衝對所有時間都會完全相消。
直接代入驗證：
當 時，
而
兩者平方相等，所以
因此
選項分析
第 42 題2 分
A siphon tube is used to transport liquid from a higher location to a lower location without electric pumps. The tube sinks into the liquid by a length . The highest point of the tube, point , is at a distance from the surface of the liquid. The outlet of the tube, point , is at a distance from the surface of the liquid. The density of the liquid is . The atmosphere pressure is . The gravitational field is . What is the velocity of the liquid coming out at point ?
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核心觀念
本題考查虹吸管與伯努力方程式。液體由較高液面流向較低出口，主要由重力位能轉換成動能。理想情況下假設：
- 液體不可壓縮、黏滯損失忽略。
- 儲液槽截面積遠大於虹吸管，液面速度近似為 。
- 液面與出口均暴露於大氣中，壓力皆為 。
虹吸管最高點 的高度只影響虹吸是否能正常運作及管內壓力，並不決定出口速度。
解題方法
取液面為點 ，出口為點 。由伯努力方程式：
液面與出口皆為大氣壓，因此
且液面速度近似為零：
由圖可知，出口 位於液面下方 ，所以
代入伯努力方程式：
約去 ：
因此選擇：
選項分析
第 43 題2 分
Which of the following statements about modern physics is incorrect?
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核心觀念
本題考查現代物理中的四項基本觀念：
- 粒子的反粒子與光子的性質
- Pauli exclusion principle 與費米子的關係
- de Broglie 物質波
- Compton scattering
- 狹義相對論中的能量—速度關係
判斷重點是：狹義相對論限制的是粒子的速度不能達到或超過光速，但並未限制粒子的能量有最大值。
解題方法
逐項依據定義與公式判斷：
- 若敘述符合基本物理定律，則該選項正確。
- 題目問「incorrect」，因此尋找唯一不符合現代物理的敘述。
- 相對論部分須區分「速度有上限」與「能量有上限」；兩者並不等價。
選項分析
(A) Photons are their own anti-particles.
此敘述正確。
反粒子通常具有與原粒子相反的電荷等量子數。光子不帶電荷，也沒有可區分於反粒子的內部量子數，因此光子的反粒子就是光子本身：
因此，光子是「自身的反粒子」。
(B) The neutron obeys the Pauli’s exclusion principle.
此敘述正確。
中子是自旋為 的粒子，屬於費米子（fermion）。所有相同的費米子都遵守 Pauli exclusion principle，即：
兩個完全相同的費米子不能同時處於完全相同的量子態。
中子由三個夸克組成，但就粒子統計而言，中子本身仍是自旋半整數的費米子，因此遵守 Pauli exclusion principle。
(C) At the same temperature, the electron has a longer de Broglie wavelength than the proton.
此敘述正確。
de Broglie 波長為
在非相對論情況下，粒子的平均平動動能與溫度有關：
又因為
所以
代入 de Broglie 關係式：
在相同溫度下， 相同，因此
電子質量遠小於質子質量：
因此
更具體地，
所以在相同溫度下，電子的 de Broglie 波長約為質子的 倍。
**(D) In Compton scattering, the wavelength of the scattered photon is longer than the wavelength of
第 44 題2 分
Four identical large thin metal plates are separated by three layers of dielectric material with dielectric constant . Each metal plate has area and the thickness of each dielectric layer is . The outer two plates are connected to point , and the inner two plates are connected to point . What is the equivalent capacitance between point and ?
The capacitance of two large metal plates separated by is .
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核心觀念
本題考查多層平行板電容器的等效電容，以及電容器的串、並聯判斷。
含介電質的平行板電容為
其中 為介電常數、 為金屬板面積、 為介電質厚度。
解題方法
由圖可知，四片金屬板由上而下排列：
- 第 1、4 片外側金屬板連接至
- 第 2、3 片內側金屬板連接至
三個相鄰金屬板間各形成一個電容，每個電容值皆為
三個電容的連接關係為：
- 第 1、2 片之間：連接 與 ，有效電容為
- 第 2、3 片之間：兩片皆連接至 ，兩端電位相同，因此電位差為零，不儲存與 間電壓相關的電荷，對等效電容沒有貢獻
- 第 3、4 片之間：連接 與 ，有效電容為
因此，真正連接在 兩端的兩個電容是並聯：
代入 ：
所以官方答案為 (B)。
選項分析
第 45 題2 分
A uniformly charged insulating rod is bent into the shape of a semicircle as shown on the right. The rod has a total charge and the radius of the semicircle is . What is the magnitude of the electric field at , the center of the semicircle?
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核心觀念
本題考查均勻帶電弧形導線在圓心處產生的電場，需使用：
- 庫侖定律：
- 線電荷密度：
- 半圓弧長：
- 對稱性：垂直於對稱軸的電場分量彼此抵消，沿對稱軸的分量相加。
解題方法
半圓形帶電棒總長度為
因此均勻線電荷密度為
取半圓上一小段弧，圓心角為 ，其弧長為 ，故
此小段電荷在圓心 產生的電場大小為
由半圓的左右對稱性，垂直於對稱軸的分量相互抵消，只需計算沿對稱軸的分量。若令 為弧段與對稱軸的夾角，則
對整個半圓積分：
代入 ：
第 46 題2 分
Two particles are confined to move along frictionless tracks as depicted in the figure on the right, where can only move along the horizontal track, and can only move along the vertical track. The two masses are connected by a rigid, massless rod of length . Assume both masses are the same and are subject to gravity in the direction. With their initial positions indicated in the figure, which of the following statements is true?
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核心觀念
本題考查：
- 約束運動與幾何關係
- 機械能守恆
- 重力位能與動能的轉換
- 初始速度對可達位置的影響
設 的水平座標為 ， 的垂直座標為 。由於兩質點以長度為 的剛性桿連接，且分別位於 軸與 軸上，因此滿足
圖中初始位置為 在垂直軌道左側、 位於 軸上方，因此初始時 、。
解題方法
系統受力包括重力與軌道正向力，以及剛性桿的內力。軌道正向力與桿內力皆不做功，因此系統機械能守恆：
只有 的高度會改變，所以重力位能為
若兩質點初始皆靜止，則初始總能量為
任意時刻皆有
整理得
因此
也就是說，當兩質點初始皆靜止時， 不可能到達高於初始位置的地方。故選項 (C) 正確。
選項分析
(A) 錯誤
並非無論初速度如何都不能到達垂直軌道右側。
若給予系統足夠大的初始動能， 可向 方向運動， 同時上升，系統可經過垂直軌道上方的點 ，之後進入 的區域。
第 47 題2 分
A typical small flashlight contains two batteries, each with an emf of , connected in series with a bulb having resistance . The internal resistance is negligible. The batteries last for . Which of the following values most closely approximates the total energy delivered to the bulb?
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核心觀念
本題考查電池串聯、歐姆定律、電功率與電能的關係：
- 串聯電池的總電動勢為各電池電動勢相加。
- 由歐姆定律求燈泡電流：
- 燈泡消耗的功率：
- 電能為功率乘以通電時間：
題目指出內電阻可忽略，因此電池的總電壓可視為全部加在燈泡兩端。
解題方法
兩個電池各提供 ，且串聯，因此總電壓為
燈泡電阻為 ，通過燈泡的電流為
燈泡消耗的功率為
電池可使用 ，先換算成秒：
因此燈泡接收的總能量為
亦可直接使用
最接近 。
選項分析
第 48 題2 分
For the speed of sound, we know that the speed of sound is underestimated if an isothermal thermodynamic process is considered rather than an adiabatic process. Which of the following is true?
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核心觀念
聲速由介質的「彈性」與「慣性」共同決定。對流體而言，聲速公式為
其中：
- ：聲速
- ：體積彈性模數（bulk modulus）
- ：介質密度
體積彈性模數定義為
表示流體受到壓縮時，壓力對體積變化的抵抗程度。 越大，介質越不容易被壓縮，聲速越快。
解題方法
聲波在空氣中傳播時，壓縮與膨脹進行得非常迅速，熱量來不及與外界交換，因此可視為絕熱過程，而非等溫過程。
對理想氣體而言：
等溫過程滿足
因此
微分得
所以等溫體積彈性模數為
絕熱過程滿足
其中 ，對空氣而言約為 。整理得
微分得
因此絕熱體積彈性模數為
由於 ，所以
因此絕熱過程中的空氣體積彈性模數較大，代入聲速公式後，絕熱模型所得到的聲速也較大。這正好符合題幹所說的：若誤用等溫過程，聲速會被低估。
選項分析
(A) The bulk modulus of air during an adiabatic process is greater than the bulk modulus during an isothermal process.
正確。
由上述推導：
且 ，因此
故絕熱過程的體積彈性模數大於等溫過程。
第 49 題2 分
An ideal gas undergoes an irreversible process from its initial state to its final state . Which of the following statements is true?
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核心觀念
本題考查兩個重點：
- 熵 是狀態函數（state function），其變化量只由初、終態決定，與實際經歷的路徑是否可逆無關。
- 對理想氣體而言，熵變必須同時考慮溫度與體積，或溫度與壓力，不能只由其中一個狀態變數判斷。
理想氣體的熵變可寫成
也可利用理想氣體關係式改寫為
其中 為氣體莫耳數， 與 分別為定容莫耳熱容量與定壓莫耳熱容量。
解題方法
雖然題目說過程是不可逆過程，但熵是狀態函數，因此仍可利用一條「假想的可逆路徑」計算相同的熵變：
不可逆性只會影響實際路徑上的熱量、功與熵產生量，不會使氣體本身的熵變失去定義。
接著檢查各選項：
- 只知道 ，無法確定溫度變化。
- 只知道 ，無法確定溫度變化。
- 只知道 ，無法確定體積或壓力的變化。
因此每個敘述都不足以保證 。
選項分析
(A) The change in the entropy of the gas is not well defined since it is an irreversible process.
錯誤。
熵是狀態函數，只要初態與終態已知，熵變便有唯一值：
即使實際過程不可逆，仍可選擇一條連接相同初、終態的可逆路徑來計算熵變。
不可逆過程的特徵是會產生熵：
但這不代表氣體的熵變沒有定義，也不代表氣體的熵一定增加。氣體可能因放熱而使自身熵減少，只要周遭環境的熵增加更多，總熵仍符合第二定律。
(B) The change in the entropy is well defined and will increase when .
錯誤。
雖然熵變確實定義良好，但 只代表體積增加，熵變仍取決於溫度變化：
當 時，第二項為正，但第一項可能為負且絕對值更大，因此總熵變未必為正。
以單原子理想氣體為例，取
第 50 題2 分
Charges are distributed non-uniformly in between the space of two infinitely long concentric cylinders of radius and , respectively, as shown in the figure on the right. There is no charge in the region and . In the region , the charge density only depends on the radial distance , and . In addition, a metal shell is attached to the surface of the outer cylinder, and it is grounded with the electric potential set to . Which of the following statements is true?
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核心觀念
本題考查：
- 高斯定律求具圓柱對稱電荷分布的電場。
- 電場與電位的關係：
- 導體靜電平衡時，導體內部電場為 ，且接地導體電位為 。
- 電荷密度為
由於電荷分布僅與半徑 有關，系統具有圓柱對稱性，因此適合使用高斯定律。
解題方法
取半徑為 、長度為 的圓柱形高斯面。
當 時，高斯面所包圍的體積電荷為
代入 ：
由高斯定律：
因此
因為
所以電場隨 增加而增加，並非衰減。
又因外層金屬殼接地，故
對 ：
因此
其中含有對數項，所以電位不是隨 線性變化。
在內部空腔 中，沒有包圍任何電荷，因此
故空腔內電位為常數，且等於 處的電位：
由於 ，所以空腔電位為正值，並不等於 。
第 51 題2 分
For a particle in a three-dimensional cubic box with infinite potential walls, its energy level depends on three quantum numbers. Let us denote these three quantum numbers by . Which of the following statements is true?
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核心觀念
本題考查「三維無限深方形位能井（three-dimensional infinite potential box）」的量子化能階、量子數允許範圍、基態能量，以及盒內機率密度的空間分布。
設粒子質量為 ，立方體邊長為 ，盒內位能為零，盒壁外位能為無限大。三維定態波函數可寫成
其中三個量子數的允許值為
能量為
題目雖以 表示三個量子數，但在立方體盒中，它們本質上是三個彼此獨立的笛卡兒量子數，不是氫原子常見的主量子數、角動量量子數與磁量子數。
解題方法
直接從三維立方體無限深位能井的能量公式與波函數判斷各選項：
- 能量是否只由單一量子數決定。
- 基態能量是否為零。
- 三個量子數的允許範圍。
- 機率密度是否均勻。
只要有一個選項正確，即可選該選項；本題四個敘述皆不正確，因此選 。
選項分析
(A) The energy of the particle only increases with the quantum number .
錯誤。
三維立方體盒中的能量為
其中 分別代表三個方向的量子數。因此能量同時取決於三個量子數，而非只取決於 。
例如：
兩組量子數不同，但能量相同，顯示能量並非只依賴某一個量子數。
(B) The ground state energy is zero.
錯誤。
基態要求三個量子數都取最小允許值：
因此基態能量為
第 52 題2 分
An RLC circuit composed of a resistor, inductor, and capacitor connected in series with an AC voltage source. Which of the following statements is true?
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核心觀念
本題考查串聯 RLC 交流電路中，電流與總電壓的相位關係。
在串聯 RLC 電路中：
- 電阻的阻抗：
- 電感的感抗：
- 電容的容抗：
其中 為交流電壓源的頻率，。
串聯 RLC 電路的總阻抗為
因此，總電壓與電流的相位差 滿足
由於 與 都會隨頻率改變，所以電流與總電壓之間的相位差也會隨交流電壓源的頻率而改變。
解題方法
將交流電路分成三種元件，分別判斷其電壓與電流的相位關係：
- 電阻：電壓與電流同相位。
- 電感：電壓超前電流 ，也就是電流落後電壓 。
- 電容：電流超前電壓 ，也就是電流領先電壓 。
但 RLC 電路中的題目所指電壓，是交流電壓源兩端的「總電壓」，不是單一元件兩端的電壓。總電壓的相位取決於電阻、電感與電容三者的合成效果。
相位角為
因此：
- 當 時，電路呈感性，總電壓超前電流，電流落後總電壓。
- 當 時，電路呈容性，電流超前總電壓。
- 當 時，電路達到共振，總電壓與電流同相位。
串聯 RLC 電路的共振頻率為
可見頻率會直接影響 、 以及相位差，所以正確敘述為 (D)。
選項分析
(A) The current always lags the voltage by due to the inductor.
錯誤。
單獨的理想電感中，電流確實落後電感兩端電壓 。但本題是包含電阻、電感與電容的串聯 RLC 電路，題目討論的是電壓源總電壓與總電流的相位差。
總相位差為
不一定是 。只有在特定理想條件下才可能接近 ，並非「always」。
第 53 題2 分
According to observers on the Earth frame, a planet is light-years away from Earth. If we plan to send a spaceship traveling at a constant speed of to explore the alien planet, which of the following statements is false?
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核心觀念
本題考查狹義相對論中的：
- 時間膨脹（time dilation）
- 長度收縮（length contraction）
- 固有時間與固有長度的判定
- 不同參考系對時間與距離的測量
已知：
- 地球參考系測得行星距離為
- 太空船速度為
- 洛倫茲因子為
其中，地球與行星在地球參考系中靜止，因此 光年是地球參考系測得的固有長度。
解題方法
一、地球參考系中的旅行時間
在地球參考系中，太空船以 前進，行星距離為 光年：
由於光速 的定義是每年行進 光年，因此：
這是地球觀察者測得的時間。
二、太空船參考系中的距離
在太空船參考系中，地球與行星高速運動，因此兩者之間的距離發生長度收縮：
因此，太空船上的太空人測得的行星距離為 光年。
三、太空船上的旅行時間
太空人在太空船參考系中以速度 通過 光年的距離：
也可由時間膨脹求得：
因此，地球測得 年，太空人自身經歷的時間為 年。
選項分析
（A）太空人抵達外星球所需時間小於 年
太空人測得的旅行時間為：
因為：
所以此敘述正確。
第 54 題2 分
Find the binding energy of carbon-12 based on the following data:
Mass of a carbon atom
Mass of a proton
Mass of a neutron
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核心觀念
本題考查原子核的「質量亏損」與「束縛能」：
其中：
- ：原子核束縛能
- ：質量亏損
- ：光速，取
碳-12的原子核含有 個質子與 個中子。質量亏損為「分離狀態核子總質量」減去「組合成原子核後的質量」。
題目所列的「質子質量」，實際上是氫原子質量，包含一個電子；但碳原子質量也包含 個電子，因此電子質量在計算中會相互抵消。
解題方法
碳-12由 個質子與 個中子組成，因此分離核子的總質量為
碳-12原子的質量為
所以質量亏損為
利用 ：
再利用
得到
第 55 題2 分
A soccer ball has a mass of . Initially, it moves to the left at a speed of , but is then kicked with a speed of , upwards and to the right at . Assuming that the collision time , which of the following values most closely approximates the magnitude of the average kick force, in newtons?
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核心觀念
本題考查「動量定理」與「二維向量分解」：
因此平均踢力大小為
速度具有方向，不能只用速率相減，必須先分解成水平與鉛直分量。
解題方法
取向右為 軸正方向、向上為 軸正方向。
初速度向左，故
末速度大小為 ，方向為右上 ，因此
速度變化量為
水平分量：
鉛直分量：
所以速度變化量大小為
動量變化量：
由於
故
平均踢力為
第 56 題2 分
A geosynchronous satellite is one that stays above the same point on the Earth’s equator. Which of the following values is closest to the satellite’s distance, in km, from the Earth’s center?
;
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核心觀念
本題考查同步衛星的定義，以及萬有引力提供圓周運動所需向心力。
衛星位於赤道上方，且保持在地球同一點的上空，表示衛星的公轉週期等於地球自轉週期：
衛星受到的萬有引力為圓周運動的向心力：
其中 是衛星到地球中心的距離，不是衛星離地表的高度。
解題方法
圓周運動速度為
代入向心力公式：
約去衛星質量 ，整理得
因此
代入數值：
取立方根：
換算成公里：
所以最接近
第 57 題2 分
Two spring-block systems are placed in a viscous environment independently. The viscous forces experienced by the blocks are approximately linearly proportional to the speed of blocks. Due to the damping effect, both spring-block systems exhibit underdamped oscillating behavior. The shape of blocks of the two systems is the same, but the mass and spring constant of the first and second systems are and , respectively. Initially, both blocks are at rest and are released away from their equilibrium positions. Which of the following statements is true?
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核心觀念
本題考查「黏滯阻尼簡諧運動」的阻尼型態、振幅衰減與振盪頻率。
對質量為 、彈簧常數為 、黏滯阻尼係數為 的系統，運動方程式為
欠阻尼條件為
欠阻尼時，位移可表示為
其中：
- 振幅包絡線為
- 阻尼後角頻率為
題目指出兩個系統的形狀相同，且置於相同黏滯環境，因此可合理視為黏滯阻尼係數 相同。
解題方法
兩系統參數如下：
| 系統 | 質量 | 彈簧常數 |
|---|---|---|
| 第一系統 | ||
| 第二系統 |
判斷「多久後停止」時，關鍵不是只看彈簧常數，而是看振幅衰減因子：
其衰減速率為
由於兩系統的 相同，而第二系統質量較大：
因此
第二系統的振幅衰減較慢，需要較長時間才會因振幅足夠小而視為停止。
更具體地說，若以振幅降至某一固定比例作為「停止」標準，則
可得停止時間與質量成正比：
所以第二系統最後停止所需時間較長。
選項分析
(A) It takes a longer time for the block in the second system to finally come to rest.
正確。
黏滯阻尼係數相同時，振幅的衰減時間尺度為
第二系統質量較大，因此
第二系統振幅衰減較慢，較晚才會停止。故 (A) 正確。
(B) It is not possible for these two systems to both exhibit underdamped behavior.
錯誤。
兩系統皆欠阻尼的條件分別為
以及
只要
兩系統便可同時呈現欠阻尼振盪。因此題目所述「兩者皆為欠阻尼」在物理上完全可能，故 (B) 錯誤。
第 58 題2 分
The Stirling engine cycle consists of four parts as shown in the figure on the right. and are isothermal expansion and compression processes, respectively, while and are isochoric, fixed-volume processes. Assume that the Stirling engine contains mole of an ideal gas. Which of the following statements is incorrect?
🖼️【此處有附圖，請對照原卷】
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核心觀念
本題考查理想氣體在 Stirling engine cycle 中的：
- 理想氣體內能只由溫度決定。
- 等溫過程的熱量與功。
- 等體積過程的內能變化。
- 熱力學第一定律與循環過程。
- 熵是狀態函數，完成一個循環後狀態回到原點。
圖中：
- ：高溫 下等溫膨脹。
- ：定容冷卻，溫度由 降至 。
- ：低溫 下等溫壓縮。
- ：定容加熱，溫度由 升至 。
解題方法
理想氣體的內能為溫度的函數：
在完整循環後，氣體回到原本的狀態，因此：
由熱力學第一定律：
其中 為氣體對外做功。整個循環有：
因此：
此循環順時針進行，膨脹發生在較高溫度、壓縮發生在較低溫度，因此氣體對外做淨功，，所以氣體吸收的總熱量大於釋放的總熱量。
選項分析
(A) The heat absorbed by the gas in one cycle is more than the heat released.
為高溫等溫膨脹，氣體對外做正功，必須吸收熱量。其功為：
為低溫等溫壓縮，外界對氣體做功，氣體釋放熱量。其功為：
等溫膨脹與壓縮的淨功為：
因此：
此敘述正確。
第 59 題2 分
For a particular bacterium, its population growth in a test tube can be well described by the equation
where is the bacterial population, which is always a finite number, and , , and are positive numbers. Which of the following statements is incorrect?
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核心觀念
本題考查一階自治人口動力學方程式、平衡點、穩定性，以及參數的量綱分析：
其中 為族群數量，。
將右式整理為：
平衡狀態須滿足 。
解題方法
令：
因此有兩個平衡點。
第一個為：
第二個由：
可得：
因為 ，要使非零平衡人口 為正數，必須滿足：
當 時，族群會趨近固定的非零人口：
這是本模型的長期穩定族群量。
選項分析
(A) After a sufficiently long time, the population will become a fixed but non-zero number.
正確。
在 的條件下，非零平衡點為：
若初始人口為正，當 時，，人口增加；當 時，，人口減少。因此人口會逐漸趨近 ，最後達到固定且非零的穩定值。
(B) The parameter must be greater than in order to ensure the population remains finite.
正確。
考慮大人口數 ：
因此：
若 ，則：
人口會持續呈指數式增長，無法被限制在有限的穩定值。
若 ，則原式可化為：
當 很大時：
第 60 題2 分
A roller coaster has mass of when fully loaded with passengers as shown in the figure on the right. When the coaster passes through the bottom of a circular dip with a radius of at a speed of , what is the magnitude of the force of the track on the coaster at the bottom of the dip?
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核心觀念
過山車通過圓形凹底部時，所需向心加速度方向為鉛直向上。受力包括：
- 軌道正向力 ：向上
- 重力 ：向下
依牛頓第二定律，鉛直向上的合力必須提供向心力：
因此，軌道對過山車的正向力不僅要平衡重力，還要額外提供向心力。
解題方法
已知：
取 ，由
計算重力：
計算向心力：
所以軌道正向力為：
因此選擇 (E)。
選項分析
- (A) ：錯誤。
過山車與軌道接觸，且軌道必須提供向心力，因此正向力不可能為零。