國立清華大學 111 年《資訊科學》考古題與詳解

Question 1

Let $$ \begin{bmatrix}a{11}&a{12}\a{21}&a{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x1\x2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}b1\b2\end{bmatrix} $$ be a linear system, whose representation in the coordinate plane is shown as follows: 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 After one step of Gaussian elimination without pivoting, what is the representation in the coordinate plane? (A) 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 (B) 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 (C) 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 (D) 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 (E) 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 本題考查 Gaussian elimination（高斯消去法）對二元一次方程組幾何圖形的影響。 原方程組代表兩條直線： $$ a{11}x1+a{12}x2=b1 $$ $$ a{21}x1+a{22}x2=b2 $$ 在「不選主元」的情況下，第一個主元為 $a{11}$，以第一列消去第二列中的 $x1$ 項。此列運算不會改變方程組的解集合，但會改變第二條直線的表示方式。 解題方法 進行一階 Gaussian elimination： $$ R2\leftarrow R2-\frac{a{21}}{a{11}}R1 $$ 第一列保持不變，因此第一條直線完全不變： $$ a{11}x1+a{12}x2=b1 $$ 第二列變為： $$ \left(a{21}-\frac{a{21}}{a{11}}a{11}\right)x1 + \left(a{22}-\frac{a{21}}{a{11}}a{12}\right)x2 = b2-\frac{a{21}}{a{11}}b1 $$ 其中 $x1$ 的係數為： $$ a{21}-\frac{a{21}}{a{11}}a{11}=0 $$ 因此第二個方程式只剩下 $x2$： $$ \left(a{22}-\frac{a{21}a{12}}{a{11}}\right)x2 = b2-\frac{a{21}b1}{a{11}} $$ 這代表一條水平線，也就是 $x2$ 為常數。 所以消去後的圖形應具有以下特徵：

Question 2

Let $A$, $B$, $C$, $D$ be four $n$ by $n$ nonsingular matrices. What is the determinant of $$ \begin{bmatrix}A&B\C&D\end{bmatrix}? $$ (A) $\det(A)\det(B)\det(DB^{-1}-CA^{-1})$ (B) $\det(A)\det(D)\det(C^{-1})\det(B^{-1})$ (C) $\det(C)\det(D-CA^{-1}B)$ (D) $\det(C)-\det(D-CA^{-1}B)$ (E) none of the above

Accepted Answer

核心觀念 本題考查區塊矩陣（block matrix）的行列式，以及行列式的乘法性質： $$ \det(XY)=\det(X)\det(Y). $$ 對區塊矩陣 $$ M= \begin{bmatrix} A&B\ C&D \end{bmatrix}, $$ 若 $A$ 可逆，則可利用 Schur complement（舒爾補）： $$ \det(M)=\det(A)\det(D-CA^{-1}B). $$ 題目另給定 $B$ 可逆，因此可將第二項改寫成選項 (A) 的形式。 --- 解題方法 考慮下列區塊矩陣分解： $$ \begin{bmatrix} A&B\ C&D \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A&0\ C&I \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I&A^{-1}B\ 0&D-CA^{-1}B \end{bmatrix}. $$ 右側相乘可得： $$ \begin{bmatrix} A&0\ C&I \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I&A^{-1}B\ 0&D-CA^{-1}B \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A&B\ C&D \end{bmatrix}. $$ 因此， $$ \det(M) = \det \begin{bmatrix} A&0\ C&I \end{bmatrix} \det \begin{bmatrix} I&A^{-1}B\ 0&D-CA^{-1}B \end{bmatrix}. $$ 兩個矩陣都是區塊三角矩陣，所以行列式等於對角區塊行列式的乘積： $$ \det \begin{bmatrix} A&0\ C&I \end{bmatrix} =\det(A)\det(I)=\det(A), $$ 以及 $$ \det \begin{bmatrix} I&A^{-1}B\ 0&D-CA^{-1}B \end{bmatrix} = \det(D-CA^{-1}B). $$ 故 $$ \det(M)=\det(A)\det(D-CA^{-1}B). $$ 接著利用 $B$ 可逆： $$ D-CA^{-1}B = (DB^{-1}-CA^{-1})B. $$ 所以 $$ \begin{aligned} \det(D-CA^{-1}B) &=\det\bigl((DB^{-1}-CA^{-1})B\bigr)\ &=\det(DB^{-1}-CA^{-1})\det(B). \end{aligned} $$ 代回可得： $$ \boxed{ \det(M) = \det(A)\det(B)\det(DB^{-1}-CA^{-1}) }. $$ 這正是選項 (A)。 --- 選項分析 (A) $\det…

Question 3

Let $D$ be the differentiation operator on $P^3$ , the set of real polynomials whose degree is less than 3. Which statement is FALSE?

(A) $D$ is a linear transformation from $P^3$ to $P^2$ .

(B) The kernel of $D$ is $P^1$ .

(C) The range of $D$ is $P^2$ .

(D) The transition matrix from basis $[1,x,x^2]$ to basis $[1,2x,4x^2-2]$ is

\begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&2&0\\ -2&0&4 \end{bmatrix}.

(E) The matrix representation of $D$ with respect to the basis $[1,2x,4x^2-2]$ is

\begin{bmatrix} 0&2&0\\ 0&0&4 \end{bmatrix}.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查： 1. 微分算子是否為線性轉換。 2. 線性轉換的 kernel（核）與 range（值域）。 3. 基底轉換矩陣的建立。 4. 線性轉換在指定基底下的矩陣表示。 令 $$ P^3=\{a+bx+cx^2\mid a,b,c\in\mathbb R\}, $$ 因此 $P^3$ 的維度為 $3$；微分後所得多項式屬於 $P^2$。 --- 解題方法 微分算子 $D$ 定義為 $$ D(a+bx+cx^2)=b+2cx. $$ 利用此式分別判斷各選項。 --- 選項分析 (A) $D$ is a linear transformation from $P^3$ to $P^2$ 對任意多項式 $p,q$ 與純量 $k$，微分滿足 $$ D(p+q)=D(p)+D(q), $$ 以及 $$ D(kp)=kD(p). $$ 所以 $D$ 是線性轉換。 又因為 $P^3$ 中多項式的最高次數小於 $3$，微分後最高次數小於 $2$，故 $$ D:P^3	o P^2. $$ 因此 (A) 正確。 --- (B) The kernel of $D$ is $P^1$ 若 $p(x)=a+bx+cx^2$，則 $$ D(p)=b+2cx. $$ 要使 $p\in\ker(D)$，必須有 $$ b+2cx=0, $$ 因此 $b=0$ 且 $c=0$，只剩下常數多項式： $$ p(x)=a. $$ 所以 $$ \ker(D)=\{a:a\in\mathbb R\}=P^1, $$ 其中 $P^1$ 表示次數小於 $1$ 的多項式空間。因此 (B) 正確。 --- (C) The range of $D$ is $P^2$ 對任意 $q(x)=u+vx\in P^2$，取 $$ p(x)=ux+\frac{v}{2}x^2\in P^3, $$ 則 $$ D(p)=D\left(ux+\frac{v}{2}x^2ight)=u+vx=q(x). $$ 因此 $P^2$ 中每一個多項式都能由微分得到，故 $$ \operatorname{Range}(D)=P^2. $$ 因此 (C) 正確。 --- (D) Transition matrix 令原基底為 $$ B=[1,x,x^2], $$ 新基底為 $$ C=[1,2x,4x^2-2]. $$ 按照標準慣例，從基底 $B$ 到基底 $C$ 的轉換矩陣 $P$ 應滿足 $$ [v]C=P[v]B. $$

Question 4

Let $A$ be an $m$ by $n$ matrix. Which statement is TRUE? (A) The null space of $A$ is a subspace of the column space of $A^T$. (B) The dimension of the null space of $A$ plus the dimension of the row space of $A$ is $m$. (C) The null space of $A^T$ equals the column space of $A$. (D) The column space of $A$ is orthogonal to the row space of $A^T$. (E) The direct sum of the row space of $A$ and the null space of $A^T$ is $\mathbb{R}^m$.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查矩陣的四大基本子空間、秩—零度定理，以及正交補空間關係。 設 $A$ 為 $m	imes n$ 矩陣，則： - 欄空間 $\operatorname{Col}(A)\subseteq \mathbb{R}^m$ - 列空間 $\operatorname{Row}(A)\subseteq \mathbb{R}^n$ - 零空間 $\operatorname{Null}(A)\subseteq \mathbb{R}^n$ - 左零空間 $\operatorname{Null}(A^T)\subseteq \mathbb{R}^m$ 重要定理如下： $$ \dim\operatorname{Null}(A)+\dim\operatorname{Row}(A)=n $$ 這是秩—零度定理，因為 $$ \dim\operatorname{Row}(A)=\operatorname{rank}(A). $$ 另外，四大基本子空間的正交關係為： $$ \operatorname{Null}(A)=\operatorname{Row}(A)^\perp, $$ $$ \operatorname{Null}(A^T)=\operatorname{Col}(A)^\perp. $$ 因此有直和分解： $$ \mathbb{R}^n=\operatorname{Row}(A)\oplus\operatorname{Null}(A), $$ $$ \mathbb{R}^m=\operatorname{Col}(A)\oplus\operatorname{Null}(A^T). $$ --- 解題方法 逐一檢查各選項是否符合上述定理，特別注意每個子空間所屬的向量空間： - $\operatorname{Null}(A)$ 與 $\operatorname{Row}(A)$ 都位於 $\mathbb{R}^n$ - $\operatorname{Col}(A)$ 與 $\operatorname{Null}(A^T)$ 都位於 $\mathbb{R}^m$ 接著套用秩—零度定理與正交補空間關係即可判斷。 --- 選項分析 (A) The null space of $A$ is a subspace of the column space of $A^T$. 因為 $$ \operatorname{Col}(A^T)=\operatorname{Row}(A), $$ 所以本選項主張 $$ \operatorname{Null}(A)\subseteq \operatorname{Row}(A). $$ 但實際上： $$ \operatorname{Null}(A)=\operatorname{Row}(A)^\perp. $$ 零空間中的向量與列空間中的所有向量皆…

Question 5

Suppose $$ A= \begin{bmatrix} 1&-2&3\ -2&4&2\ 3&-6&1 \end{bmatrix} \quad	ext{and}\quad B= \begin{bmatrix} -2&4&7\ 0&3&-6\ 0&0&0 \end{bmatrix}. $$ Define $$ S1=\left\{x\in\mathbb{R}^3\mid Ax=B \begin{bmatrix}2\1\0\end{bmatrix}ight\}, $$ $$ S2=\left\{x\in\mathbb{R}^3\mid Bx=A \begin{bmatrix}2\1\0\end{bmatrix}ight\}, $$ $$ S3=\left\{x\in\mathbb{R}^3\mid Ax=2xight\}, $$ $$ S4=\left\{x\in\mathbb{R}^3\mid Bx=3xight\}, $$ $$ S5=\left\{x\in\mathbb{R}^3\mid Ax=Bxight\}. $$ How many of $S1,S2,S3,S4,S5$ are subspaces of $\mathbb{R}^3$? (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5

Accepted Answer

核心觀念 判斷集合是否為 $\mathbb{R}^3$ 的子空間，主要依據： 1. 必須包含零向量。 2. 對向量加法封閉。 3. 對純量乘法封閉。 本題中的方程式可分成兩類： - 齊次線性方程組： $$Mx=0$$ 其解集合一定是子空間。 - 非齊次線性方程組： $$Mx=b,\qquad b
e 0$$ 其解集合通常是平移後的解集合，不一定包含零向量；若無解，空集合也不是子空間。 --- 解題方法 逐一將各集合改寫成齊次或非齊次線性方程組，並檢查零向量是否屬於其中。 $S1$ 先計算右側向量： $$ B \begin{bmatrix} 2\1\0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2&4&7\ 0&3&-6\ 0&0&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2\1\0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\3\0 \end{bmatrix}. $$ 因此 $$ S1=\left\{x\in\mathbb{R}^3\mid Ax= \begin{bmatrix} 0\3\0 \end{bmatrix}ight\}. $$ 為判斷此方程組是否有解，觀察 $A$ 的三列： $$ r1=(1,-2,3),\qquad r2=(-2,4,2),\qquad r3=(3,-6,1). $$ 可得 $$ -r1+r2+r3=0. $$ 因此 $A$ 的列向量也必須滿足相同的線性相容條件。對方程組 $Ax=b$ 而言，右側向量 $b$ 必須滿足 $$ -b1+b2+b3=0. $$ 本題 $$ b= \begin{bmatrix} 0\3\0 \end{bmatrix}, $$ 所以 $$ -b1+b2+b3=-0+3+0=3
e 0. $$ 故 $Ax=b$ 無解，得到 $$ S1=\varnothing. $$ 空集合不包含零向量，因此 $S1$ 不是子空間。 --- $S2$ 先計算右側向量： $$ A \begin{bmatrix} 2\1\0 \end{bmatrix} = 2 \begin{bmatrix} 1\-2\3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -2\4\-6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\0\0 \end{bmatrix}. $$ 因此 $$ S2=\left\{x\in\mathbb{R}^3\mid Bx=0ight\}. $$ 這是矩陣 $B$ 的零空間： $$ S2=\ker(B). $$ 任何矩陣的零空間必為子空間，因此 $S2$ 是子空間。 ---

Question 6

Let $$ b1=(1,0,-1,0,0),\quad b2=(1,1,1,1,1),\quad b3=(1,0,1,2,1) $$ in $\mathbb{R}^5$ and $$ W=\operatorname{span}\{b1,b2,b3\}. $$ Suppose $$ c=(0,-6,-2,0,-2). $$ Then what is the minimum value of $\|c-v\|$ for all possible choices of $v\in W$? (A) $\sqrt{2}$ (B) $\sqrt{3}$ (C) $\sqrt{5}$ (D) $2$ (E) $3$

Accepted Answer

核心觀念

本題考查「向量到子空間的最短距離」與「正交投影」：

對於子空間 $W$ 中所有向量 $v$ ，使 $\|c-v\|$ 最小的向量，是 $c$ 在 $W$ 上的正交投影。其誤差向量

c-v

必須垂直於 $W$ ，因此可利用正交補空間 $W^\perp$ 求出最短距離。

解題方法

1. 求出 $W^\perp$

設

x=(a,b,d,e,f)\in W^\perp.

因為 $x$ 必須分別垂直於 $b_1,b_2,b_3$ ，所以：

由 $x\cdot b_1=0$ ：

a-d=0 \quad\Longrightarrow\quad d=a.

由 $x\cdot b_2=0$ ：

a+b+d+e+f=0.

由 $x\cdot b_3=0$ ：

a+d+2e+f=0.

代入 $d=a$ ，得

2a+b+e+f=0,

2a+2e+f=0.

兩式相減：

b-e=0 \quad\Longrightarrow\quad e=b.

再由 $2a+2e+f=0$ ：

f=-2a-2e.

因此

x=(a,b,a,b,-2a-2b).

可取 $W^\perp$ 的一組基底為

u=(1,0,1,0,-2),\qquad w=(0,1,0,1,-2).

所以

W^\perp=\operatorname{span}\{u,w\}.

2. 將 $c$ 投影到 $W^\perp$

令 $c$ 在 $W^\perp$ 上的正交投影為

p=\alpha u+\beta w.

先計算內積：

u\cdot u=6,\qquad w\cdot w=6,\qquad u\cdot w=4.

又

c=(0,-6,-2,0,-2),

因此

c\cdot u =0(1)+(-6)(0)+(-2)(1)+0(0)+(-2)(-2) =2,

c\cdot w =0(0)+(-6)(1)+(-2)(0)+0(1)+(-2)(-2) =-2.

由正交投影條件， $c-p$ 必須同時垂直於 $u,w$ ：

(c-\alpha u-\beta w)\cdot u=0,

(c-\alpha u-\beta w)\cdot w=0.

得到聯立方程：

6\alpha+4\beta=2,

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Question 7

Suppose $$ A= \begin{bmatrix} 1&2\ -2&1\ 2&0 \end{bmatrix} \quad	ext{and}\quad b= \begin{bmatrix} 1\8\3 \end{bmatrix}. $$ What is the minimum value of $\|Ax-b\|$ for all $x\in\mathbb{R}^2$? (A) $2\sqrt{10}$ (B) $7$ (C) $4\sqrt{3}$ (D) $3\sqrt{5}$ (E) $5\sqrt{2}$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查「最小平方法」與「向量到矩陣欄空間的最短距離」。 對任意 $x\in\mathbb{R}^2$，$Ax$ 都屬於 $A$ 的欄空間 $\operatorname{Col}(A)$。因此， $$ \minx\|Ax-b\| $$ 就是向量 $b$ 到 $\operatorname{Col}(A)$ 的距離，也就是最小殘差的長度。 令 $$ A= \begin{bmatrix} 1&2\ -2&1\ 2&0 \end{bmatrix}, \qquad b= \begin{bmatrix} 1\8\3 \end{bmatrix}. $$ 將 $A$ 的兩個欄向量記為 $$ a1= \begin{bmatrix} 1\-2\2 \end{bmatrix}, \qquad a2= \begin{bmatrix} 2\1\0 \end{bmatrix}. $$ --- 解題方法：利用正交投影 先計算兩個欄向量的內積： $$ a1\cdot a2 =1(2)+(-2)(1)+2(0) =2-2+0=0. $$ 所以 $a1$ 與 $a2$ 互相正交。欄空間中的投影可直接寫成 $$ \operatorname{proj}{\operatorname{Col}(A)}b = \frac{b\cdot a1}{a1\cdot a1}a1 + \frac{b\cdot a2}{a2\cdot a2}a2. $$ 先計算各項： $$ b\cdot a1 =1(1)+8(-2)+3(2) =1-16+6=-9, $$ $$ a1\cdot a1 =1^2+(-2)^2+2^2 =9, $$ 因此 $$ \frac{b\cdot a1}{a1\cdot a1} =\frac{-9}{9}=-1. $$ 另外， $$ b\cdot a2 =1(2)+8(1)+3(0) =10, $$ $$ a2\cdot a2 =2^2+1^2+0^2=5, $$ 因此 $$ \frac{b\cdot a2}{a2\cdot a2} =\frac{10}{5}=2. $$ 故最佳解為 $$ x= \begin{bmatrix} -1\2 \end{bmatrix}. $$ 計算其對應的 $Ax$： $$ Ax = -1 \begin{bmatrix} 1\-2\2 \end{bmatrix} + 2 \begin{bmatrix} 2\1\0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1\2\-2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 4\2\0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3\4\-2 \end{bmatrix}. $$ 因此殘差向量為

Question 8

Suppose $$ A= \begin{pmatrix} 1&2&0&0&3\ b&a&2b&c&2\ 1&-1&5&c&-5\ a&2b&1&3&4 \end{pmatrix} $$ and $$ \begin{pmatrix} 1&2&0&0&3\ 0&a&b&3&2\ 0&0&2&-4&-2\ 0&0&0&b&0 \end{pmatrix} $$ are row equivalent and $a,b,c$ are 3 nonzero numbers. What is $a+b$? (A) 0 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5

Accepted Answer

核心觀念 矩陣若列等價，代表兩矩陣可藉由初等列運算互相得到，因此具有相同的： - 列空間 - 秩 - 齊次方程組的解集合，即右零空間 本題第二個矩陣的前 $4$ 欄形成上三角矩陣，其對角線為 $1,a,2,b$。因為 $a,b
eq 0$，所以其秩為 $4$。因此第一個矩陣與第二個矩陣的右零空間必須相同。 --- 解題方法 令第二個矩陣為 $B$，考慮齊次方程組 $$ B \begin{pmatrix} x1\x2\x3\x4\x5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\0\0\0 \end{pmatrix}. $$ 由第四列： $$ bx4=0. $$ 因為 $b
eq 0$，可得 $$ x4=0. $$ 由第三列： $$ 2x3-4x4-2x5=0 $$ 代入 $x4=0$： $$ 2x3-2x5=0 \quad\Longrightarrow\quad x3=x5. $$ 由第二列： $$ ax2+bx3+3x4+2x5=0. $$ 代入 $x3=x5$ 與 $x4=0$： $$ ax2+(b+2)x5=0. $$ 取 $x5=a$，則 $$ x2=-(b+2),\qquad x3=a. $$ 再由第一列： $$ x1+2x2+3x5=0, $$ 得到 $$ x1=-2x2-3x5 =2(b+2)-3a. $$ 因此，第二個矩陣的右零空間可由下列向量生成： $$ \mathbf{x} = \begin{pmatrix} 2b+4-3a\ -(b+2)\ a\ 0\ a \end{pmatrix}. $$ 由於兩矩陣列等價，第一個矩陣的每一列也必須與 $\mathbf{x}$ 內積為 $0$。 第一列為 $(1,2,0,0,3)$，故 $$ (1,2,0,0,3)\mathbf{x} = (2b+4-3a)-2(b+2)+3a=0. $$ 此式恆為 $0$，沒有提供額外條件。 第三列為 $(1,-1,5,c,-5)$，故 $$ (1,-1,5,c,-5)\mathbf{x}=0. $$ 代入 $\mathbf{x}$：

Question 9

Find the largest singular value of the matrix $$ M= \begin{pmatrix} 4&11&14\ 8&7&-2 \end{pmatrix}. $$ (A) 600 (B) 360 (C) $10\sqrt{6}$ (D) $6\sqrt{10}$ (E) $3\sqrt{6}$

Accepted Answer

核心觀念 矩陣的 singular value（奇異值）是矩陣 $M$ 的 $MM^{T}$ 或 $M^{T}M$ 的特徵值之平方根。 本題矩陣為 $2	imes 3$，因此計算較小的 $2	imes 2$ 矩陣 $MM^T$ 最有效率： $$ \sigmai=\sqrt{\lambdai(MM^T)} $$ 其中最大奇異值為 $MM^T$ 最大特徵值的平方根。 --- 解題方法 令 $$ M= \begin{pmatrix} 4&11&14\ 8&7&-2 \end{pmatrix}. $$ 先計算： $$ MM^T= \begin{pmatrix} 4&11&14\ 8&7&-2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4&8\ 11&7\ 14&-2 \end{pmatrix}. $$ 各元素如下： $$ 4^2+11^2+14^2=16+121+196=333, $$ $$ 8^2+7^2+(-2)^2=64+49+4=117, $$ $$ 4\cdot 8+11\cdot 7+14\cdot(-2) =32+77-28=81. $$ 因此 $$ MM^T= \begin{pmatrix} 333&81\ 81&117 \end{pmatrix}. $$ 求其特徵值。特徵方程為 $$ \det \begin{pmatrix} 333-\lambda&81\ 81&117-\lambda \end{pmatrix}=0. $$ 所以 $$ (333-\lambda)(117-\lambda)-81^2=0. $$ 展開： $$ \lambda^2-450\lambda+32400=0. $$ 利用公式求根： $$ \lambda = \frac{450\pm\sqrt{450^2-4(32400)}}{2} $$ $$ = \frac{450\pm\sqrt{72900}}{2} = \frac{450\pm270}{2}. $$ 得到兩個特徵值： $$ \lambda1=360,\qquad \lambda2=90. $$ 因此奇異值為 $$ \sigma1=\sqrt{360}=6\sqrt{10}, $$

Question 10

Fill in a complex number, $c$, such that the matrix below is unitarily diagonalizable: $$ \begin{bmatrix} i&4\ c&i \end{bmatrix}. $$ (A) $4$ (B) $-4$ (C) $4i$ (D) $-4i$ (E) $0$

Accepted Answer

核心觀念 複數矩陣 $A$ 能被酉矩陣對角化，依據複數矩陣的譜定理，當且僅當 $A$ 是 normal matrix（正规矩陣）： $$ A 	ext{ 可酉對角化} \iff AA^=A^A, $$ 其中 $A^$ 表示 $A$ 的共軛轉置。 本題矩陣為 $$ A= \begin{bmatrix} i&4\ c&i \end{bmatrix}, $$ 其中 $c$ 為複數。 --- 解題方法 先求 $A^$： $$ A^= \begin{bmatrix} -i&\overline{c}\ 4&-i \end{bmatrix}. $$ 計算 $AA^$： $$ AA^ = \begin{bmatrix} i&4\ c&i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -i&\overline{c}\ 4&-i \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 17&i\overline{c}-4i\ -ic+4i&|c|^2+1 \end{bmatrix}. $$ 再計算 $A^A$： $$ A^A = \begin{bmatrix} -i&\overline{c}\ 4&-i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i&4\ c&i \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+|c|^2&-4i+i\overline{c}\ 4i-ic&17 \end{bmatrix}. $$ 比較兩矩陣可得，非對角線元素本來就相等；只需比較對角線： $$ 17=1+|c|^2. $$ 因此 $$ |c|^2=16 \quad\Longrightarrow\quad |c|=4. $$ 所以，只要 $c$ 的複數絕對值為 $4$，矩陣便能酉對角化。 --- 選項分析 (A) $4$ $$ |4|=4. $$ 因此 $c=4$ 時， $$ AA^=A^A, $$

Question 11

Find the parabola $y=a+bx+cx^2$ that comes closest (least squares error) to the data points: $$ (x,y)=(-2,0),\ (-1,0),\ (0,1),\ (1,2),\ 	ext{and }(2,0). $$ (A) $a=\frac{16}{35},\ b=1,\ c=\frac{1}{7}$ (B) $a=\frac{17}{35},\ b=0,\ c=-\frac{1}{7}$ (C) $a=\frac{18}{35},\ b=1,\ c=\frac{2}{7}$ (D) $a=\frac{16}{35},\ b=0,\ c=-\frac{2}{7}$ (E) $a=\frac{17}{35},\ b=1,\ c=\frac{1}{7}$

Accepted Answer

核心觀念

本題考查「最小平方法」與「線性回歸模型」的正規方程式。

欲以拋物線

\hat y=a+bx+cx^2

逼近資料點，需使平方誤差

E(a,b,c)=\sum_{i=1}^{5}\left(y_i-a-bx_i-cx_i^2\right)^2

達到最小。對 $a,b,c$ 分別微分並令其為 $0$ ，即可得到最小平方法的正規方程式。

解題方法

資料點為

(-2,0),\quad (-1,0),\quad (0,1),\quad (1,2),\quad (2,0).

令

\hat y_i=a+bx_i+cx_i^2.

最小平方法的正規方程式為

\begin{cases} na+b\sum x+c\sum x^2=\sum y,\\ a\sum x+b\sum x^2+c\sum x^3=\sum xy,\\ a\sum x^2+b\sum x^3+c\sum x^4=\sum x^2y. \end{cases}

先計算各項總和：

\sum x=(-2)+(-1)+0+1+2=0,

\sum x^2=4+1+0+1+4=10,

\sum x^3=-8-1+0+1+8=0,

\sum x^4=16+1+0+1+16=34.

另外，

\sum y=0+0+1+2+0=3,

\sum xy=(-2)(0)+(-1)(0)+0(1)+1(2)+2(0)=2,

\sum x^2y=4(0)+1(0)+0(1)+1(2)+4(0)=2.

因此正規方程式為

\begin{cases} 5a+10c=3,\\ 10b=2,\\ 10a+34c=2. \end{cases}

由第二式得

b=\frac{2}{10}=\frac15.

由第一式與第三式聯立：

5a+10c=3,

10a+34c=2.

第一式乘以 $2$ ：

10a+20c=6.

與第三式相減：

14c=-4,

所以

c=-\frac27.

代回第一式：

5a+10\left(-\frac27\right)=3,

5a-\frac{20}{7}=3=\frac{21}{7},

5a=\frac{41}{7},

因此

a=\frac{41}{35}.

所以，依照題目所列資料，最小平方法所得的拋物線為

\boxed{\hat y=\frac{41}{35}+\frac15x-\frac27x^2}.

選項分析

(A) $a=\frac{16}{35},\ b=1,\ c=\frac17$

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Question 12

Let $S$ be the set of all positive real numbers. Now, we want to make $S$ as a vector space in $V$ by asking the following definitions for vectors, vector addition, and scalar multiplication:

Each element of $S$ will be considered as a “vector” in $V$ .
For $A,B\in S$ , a “vector sum” is defined as $A+B\equiv AB,$ where the product on the right is the usual product of two real numbers.
For $c\in\mathbb{R}$ and $A\in S$ , a “scalar multiplication” is defined as $c\cdot A\equiv A^c,$ that is, the real number $A$ raised to the $c$ power.

Based on these, what is the zero vector in $V$ ?

Accepted Answer

核心觀念 本題考查「向量空間中零向量的定義」。 雖然題目中的向量是正實數，且向量加法不是通常的加法，而是定義為 $$ A+B\equiv AB, $$ 因此必須依照題目指定的運算判斷零向量，不能直接認定零向量是通常的實數 $0$。 零向量 $\mathbf{0}V$ 必須滿足對所有 $A\in S$： $$ A+\mathbf{0}V=A. $$ 解題方法 設零向量為 $Z$。依照題目所定義的向量加法： $$ A+Z\equiv AZ. $$ 零向量的基本性質要求： $$ AZ=A. $$ 因為 $A$ 是正實數，必定不等於 $0$，因此兩邊同除以 $A$： $$ Z=1. $$ 所以，向量空間 $V$ 中的零向量是通常實數中的 $1$。 也可以利用純量乘法快速驗證。依照定義： $$ 0\cdot A\equiv A^0=1. $$ 在任何向量空間中，$0\cdot A$ 必須等於零向量，因此零向量必為 $1$。 此外，$1$ 確實符合其他向量空間運算性質： - 向量加法的單位元： $$ A+1\equiv A\cdot 1=A. $$ - 向量 $A$ 的加法反元素為 $A^{-1}$： $$ A+A^{-1}\equiv A\cdot A^{-1}=1. $$ - 純量乘法的單位性質： $$ 1\cdot A\equiv A^1=A. $$ 因此這些定義可透過對數轉換理解。令 $$ \phi(A)=\ln A, $$ 則 $$ \phi(A+B)=\ln(AB)=\ln A+\ln B, $$ 且 $$ \phi(c\cdot A)=\ln(A^c)=c\ln A. $$

Question 13

Which of the functions $T:\mathbb{R}^3	o\mathbb{R}^2$ is NOT a linear transformation? (A) $T(x,y,z)=(2x,y+z)$ (B) $T(x,y,z)=(2x-1,z)$ (C) $T(x,y,z)=(0,0)$ (D) $T(x,y,z)=(x\cos	heta-y\sin	heta,\ y\cos	heta+z\cos	heta)$ (E) $T(x,y,z)=(\sqrt{2}x-y,\sqrt{3}z)$

Accepted Answer

核心觀念 線性轉換 $T:\mathbb{R}^3	o\mathbb{R}^2$ 必須滿足： 1. 加法性： $$T(\mathbf{u}+\mathbf{v})=T(\mathbf{u})+T(\mathbf{v})$$ 2. 齊次性： $$T(c\mathbf{u})=cT(\mathbf{u})$$ 等價地，若每個輸出分量都是輸入變數 $x,y,z$ 的「一次齊次線性組合」，就可寫成矩陣乘法： $$ T \begin{pmatrix} x\y\z \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} x\y\z \end{pmatrix} $$ 其中不得出現非零常數項，例如 $-1$。快速判斷方法是檢查： $$ T(0,0,0)=(0,0) $$ 任何線性轉換都必須將零向量映射為零向量。 --- 解題方法 逐一檢查各選項是否能表示為輸入變數的線性組合，並特別計算 $T(0,0,0)$。 --- 選項分析 (A) $T(x,y,z)=(2x,y+z)$ 可寫成矩陣形式： $$ T \begin{pmatrix} x\y\z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2&0&0\ 0&1&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\y\z \end{pmatrix} $$ 兩個輸出分量都是 $x,y,z$ 的線性組合，且 $$ T(0,0,0)=(0,0) $$ 因此符合線性轉換的定義。 --- (B) $T(x,y,z)=(2x-1,z)$ 計算零向量的映射： $$ T(0,0,0)=(-1,0)
eq(0,0) $$ 因此不可能是線性轉換。 其中第一個分量 $2x-1$ 含有非零常數項 $-1$，這使得此函數屬於仿射轉換，而非線性轉換。 也可直接檢查齊次性。令 $\mathbf{u}=(0,0,0)$、$c=0$，線性轉換應滿足： $$ T(0\mathbf{u})=0T(\mathbf{u})=(0,0) $$ 但實際上： $$ T(0,0,0)=(-1,0) $$ 故 (B) 不符合線性轉換。 --- (C) $T(x,y,z)=(0,0)$ 這是零轉換（zero transformation），可表示為：

Question 14

Let $A,B\in\mathbb{R}^{3	imes3}$ be square matrices. Suppose the determinants of $A^2B^3$ and $A^3B^2$ are $$ \det(A^2B^3)=1125 $$ and $$ \det(A^3B^2)=-675, $$ respectively. What are $\det(2A)$ and $\det\left(\frac{1}{5}B^4ight)$? (A) $\det(2A)=6$ and $\det\left(\frac{1}{5}B^4ight)=125$ (B) $\det(2A)=-6$ and $\det\left(\frac{1}{5}B^4ight)=125$ (C) $\det(2A)=-24$ and $\det\left(\frac{1}{5}B^4ight)=5$ (D) $\det(2A)=24$ and $\det\left(\frac{1}{5}B^4ight)=5$ (E) $\det(2A)=-24$ and $\det\left(\frac{1}{5}B^4ight)=125$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查行列式的基本性質： 1. 矩陣乘積的行列式： $$\det(XY)=\det(X)\det(Y)$$ 2. 矩陣次方的行列式： $$\det(A^n)=\det(A)^n$$ 3. $3	imes 3$ 矩陣乘以純量 $c$ 時： $$\det(cA)=c^3\det(A)$$ 令 $$ x=\det(A),\qquad y=\det(B). $$ 則題目條件可改寫為 $$ x^2y^3=1125 $$ 以及 $$ x^3y^2=-675. $$ --- 解題方法 先將兩式相除： $$ \frac{x^2y^3}{x^3y^2} = \frac{1125}{-675}. $$ 左側化簡為 $$ \frac{y}{x}, $$ 右側為 $$ \frac{1125}{-675}=-\frac{5}{3}. $$ 因此 $$ \frac{y}{x}=-\frac{5}{3}, \qquad y=-\frac{5}{3}x. $$ 代回 $x^2y^3=1125$： $$ x^2\left(-\frac{5}{3}xight)^3=1125. $$ 因此 $$ x^2\left(-\frac{125}{27}x^3ight)=1125, $$ $$ -\frac{125}{27}x^5=1125. $$ 兩邊乘以 $-\frac{27}{125}$： $$ x^5=-\frac{1125\cdot 27}{125} =-9\cdot 27 =-243. $$ 由於 $$ -243=(-3)^5, $$ 可得 $$ x=\det(A)=-3. $$ 再由 $y=-\frac{5}{3}x$： $$ y=-\frac{5}{3}(-3)=5. $$ 所以 $$ \det(A)=-3,\qquad \det(B)=5. $$ --- 計算 $\det(2A)$ 因為 $A$ 是 $3	imes3$ 矩陣，純量乘法會使行列式乘上 $2^3$： $$ \det(2A)=2^3\det(A). $$ 代入 $\det(A)=-3$： $$ \det(2A)=8(-3)=-24. $$ --- 計算 $\det\left(\frac15B^4ight)$ 先處理矩陣次方： $$ \det(B^4)=\det(B)^4=5^4=625. $$ 又因為 $B^4$ 仍是 $3	imes3$ 矩陣，

Question 15

For square matrices $A$ and $B$, we say that $B$ is similar to $A$ if there exists an invertible matrix $P$ such that $$ B=P^{-1}AP. $$ Which of the following statements about similarity is NOT always correct? (A) If $A$ and $B$ are similar and $A$ is singular, then $B$ is singular. (B) If $A$ and $B$ are similar and $A$ is invertible, then $B$ is invertible. (C) If $A$ and $B$ are similar, then $A$ and $B$ have the same range. (D) If $A$ is invertible, then $AB$ is similar to $BA$. (E) If $A$ and $B$ are similar, then $A$ and $B$ may or may not have the same eigenvalues.

Accepted Answer

核心觀念 矩陣相似的定義為 $$ B=P^{-1}AP, $$ 其中 $P$ 為可逆矩陣。相似矩陣代表同一個線性變換在不同基底下的矩陣表示，因此會保留許多重要性質，包括： - 可逆性與奇異性 - 秩與零度 - 特徵值 - 特徵多項式 - 行列式與跡 本題主要利用相似變換的保留性質，以及矩陣乘法的結合律。 --- 解題方法 逐一檢查各選項是否為相似矩陣必然具備的性質。 其中最直接的判斷方式是： 1. 以行列式判斷可逆性與奇異性。 2. 以特徵多項式判斷特徵值是否相同。 3. 利用 $$ A^{-1}(AB)A=BA $$ 判斷 $AB$ 與 $BA$ 是否相似。 4. 注意「range 相同」的敘述涉及向量空間本身是否完全相同，不能只由秩相同直接推出。 --- 選項分析 (A) 正確 若 $A$ 與 $B$ 相似，則 $$ B=P^{-1}AP. $$ 取行列式： $$ \det(B)=\det(P^{-1})\det(A)\det(P). $$ 因為 $$ \det(P^{-1})\det(P)=1, $$ 所以 $$ \det(B)=\det(A). $$ 若 $A$ 為奇異矩陣，則 $\det(A)=0$，因此 $$ \det(B)=0. $$ 故 $B$ 也是奇異矩陣。 --- (B) 正確 若 $A$ 可逆，則 $\det(A)
eq 0$。由相似矩陣具有相同的行列式， $$ \det(B)=\det(A)
eq 0. $$ 因此 $B$ 可逆。 也可直接寫出 $B$ 的反矩陣： $$ B^{-1}=(P^{-1}AP)^{-1} =P^{-1}A^{-1}P. $$ 故此選項正確。 --- (C) 依題目官方命題意旨視為正確，但嚴格解讀有爭議 相似矩陣確實具有相同的秩，因此其值域具有相同的維度： $$ \operatorname{rank}(B)=\operatorname{rank}(A). $$ 由 $$ B=P^{-1}AP $$ 可知 $$ \operatorname{Range}(B) =\operatorname{Range}(P^{-1}A P) =P^{-1}\bigl(\operatorname{Range}(A)\bigr). $$ 因此，$B$ 的值域是 $A$ 的值域經由可逆變換 $P^{-1}$ 所對應出的子空間。從「換基底」的觀點而言，兩者具有相同的值域結構與維度，這是本題官方答案將此選項視為正確的命題意旨。 然而，若將「same range」嚴格解讀為在同一組座標下兩個子空間完全相等，則此敘述不一定成立。例如取 $$ A= \begin{pmatrix} 1&0\ 0&0 \end{pmatrix}, \qquad P= \begin{pmatrix} 0&1\ 1&0 \end{pmatrix}. $$ 因為…

Question 16

Suppose that $X$ and $Y$ are exponential random variables that are independent of each other. Both $X$ and $Y$ have mean equal to 1. Two random variables, $U$ and $V$, are defined as $$ U=X+Y,\qquad V=\frac{X}{Y}. $$ For $v\geq0$, find $fV(v)$, which is the marginal probability density function of $V$. (A) $fV(v)=e^{-v},\ v0$ (B) $fV(v)=\frac{2}{\sqrt{2\pi}}e^{-0.5v^2},\ v0$ (C) $fV(v)=\frac{1}{(1+v)^2},\ v0$ (D) $fV(v)=ve^{-v},\ v0$ (E) $fV(v)=e^{-v-\frac{v^2}{2}},\ v0$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查： 1. 指數分布的機率密度函數。 2. 變數轉換與 Jacobian。 3. 由聯合機率密度函數求邊際密度函數。 因為 $X$、$Y$ 皆為平均數 $1$ 的指數隨機變數，所以其 rate parameter 為 $$ \lambda=\frac{1}{E[X]}=1. $$ 因此 $$ fX(x)=e^{-x},\quad x0, $$ $$ fY(y)=e^{-y},\quad y0. $$ 又因為 $X$ 與 $Y$ 相互獨立， $$ f{X,Y}(x,y)=fX(x)fY(y)=e^{-(x+y)},\quad x0,\ y0. $$ --- 解題方法：直接求比值變數的密度 題目要求 $$ V=\frac{X}{Y}. $$ 固定 $V=v$ 時，可寫成 $$ X=vY. $$ 令 $Y=y$，則 $X=vy$。利用比值變數的密度公式： $$ fV(v)=\int0^\infty y\,fX(vy)fY(y)\,dy, \quad v0. $$ 其中 Jacobian 絕對值為 $y$，因為 $$ x=vy,\qquad \left|\frac{\partial x}{\partial v}ight|=y. $$ 代入 $fX$ 與 $fY$： $$ \begin{aligned} fV(v) &=\int0^\infty y e^{-vy}e^{-y}\,dy\ &=\int0^\infty y e^{-(1+v)y}\,dy. \end{aligned} $$ 使用積分公式 $$ \int0^\infty y e^{-ay}\,dy=\frac{1}{a^2}, \quad a0, $$ 得到 $$ fV(v)=\frac{1}{(1+v)^2},\quad v0. $$ 因此選擇 (C)。 --- 用二維變數轉換完整說明 也可令 $$ U=X+Y,\qquad V=\frac{X}{Y}. $$ 由 $$ V=\frac{X}{Y} $$ 可得 $$ X=VY. $$ 再由 $U=X+Y$： $$ U=VY+Y=(1+V)Y, $$ 所以 $$ Y=\frac{U}{1+V}, \qquad X=\frac{UV}{1+V}. $$ 計算 Jacobian： $$ \left| \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} ight| = \frac{u}{(1+v)^2}. $$ 因此 $$ \begin{aligned} f{U,V}(u,v) &=f{X,Y}\left(\frac{uv}{1+v},\frac{u}{1+v}ight) \frac{u}{(1+v)^2}\ &=e^{-u}\frac{u}{(1+v)^2}, \end{aligned} $$ 其中 $u0,\…

Question 17

Suppose that the joint cumulative distribution function of the lifetimes of two smart watches is given below. What is the probability that the lifetime of one smart watch is at least nine times longer than the lifetime of the other?

F(x,y)= \begin{cases} (1-e^{-x})(1-e^{-3y}),&\text{if }x\geq0\text{ and }y\geq0,\\ 0,&\text{otherwise}. \end{cases}

Accepted Answer

核心觀念 本題考查： 1. 聯合累積分布函數 $F(x,y)$ 的判讀。 2. 聯合分布可分解為兩個邊際分布乘積時，代表 $X$、$Y$ 相互獨立。 3. 指數分布的尾端機率： $$P(X\ge t)=e^{-\lambda t}$$ 4. 事件「一支手錶壽命至少是另一支的 9 倍」包括兩種互斥情況： $$X\ge 9Y\quad	ext{或}\quad Y\ge 9X$$ 設兩支手錶壽命分別為 $X$ 與 $Y$。 題目給出： $$ F(x,y)=(1-e^{-x})(1-e^{-3y}),\qquad x,y\ge 0 $$ 其中 $$ FX(x)=1-e^{-x} $$ 因此 $X\sim\operatorname{Exp}(1)$；同理， $$ FY(y)=1-e^{-3y} $$ 因此 $Y\sim\operatorname{Exp}(3)$。 由於聯合 CDF 等於兩個邊際 CDF 的乘積： $$ F(x,y)=FX(x)FY(y) $$ 所以 $X$ 與 $Y$ 相互獨立。 --- 解題方法 所求事件為： $$ P(X\ge 9Y)+P(Y\ge 9X) $$ 兩個事件除了 $X=Y=0$ 外互斥，而連續型隨機變數取到單一點的機率為 $0$，因此可以直接相加。 情況一：$X\ge 9Y$ $Y$ 的機率密度函數為： $$ fY(y)=3e^{-3y},\qquad y\ge 0 $$ 固定 $Y=y$ 時，由於 $X\sim\operatorname{Exp}(1)$： $$ P(X\ge 9y)=e^{-9y} $$ 因此： $$ \begin{aligned} P(X\ge 9Y) &=\int0^\infty P(X\ge 9y)fY(y)\,dy\ &=\int0^\infty e^{-9y}\cdot 3e^{-3y}\,dy\ &=\int0^\infty 3e^{-12y}\,dy\ &=\frac{3}{12}\ &=\frac14 \end{aligned} $$ 情況二：$Y\ge 9X$ $X$ 的機率密度函數為： $$ fX(x)=e^{-x},\qquad x\ge 0 $$ 固定 $X=x$ 時，由於 $Y\sim\operatorname{Exp}(3)$： $$ P(Y\ge 9x)=e^{-3(9x)}=e^{-27x} $$ 因此：

Question 18

Suppose that the random variables $X1,X2,\ldots$ are independent of each other. Each of these random variables is binomially distributed with parameters 12, which is the number of Bernoulli trials, and 0.5, which is the successful probability per Bernoulli trial. Suppose that $$ Yn=\sum{i=1}^nXi,\qquad Zn=\frac{Yn-6n}{\sqrt{3n}}, \qquad Z\infty=\lim{n	o\infty}Zn. $$ Find the moment generating function of $Z\infty$. (A) $\frac{1}{2}e^t+\frac{1}{2}$ (B) $\left(\frac{1}{2}e^t+\frac{1}{2}ight)^{12}$ (C) $\exp[6(e^t-1)]$ (D) $e^{\frac{1}{2}t^2}$ (E) $\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{6}-t}$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查： 1. 二項分布的期望值與變異數。 2. 中央極限定理（Central Limit Theorem, CLT）。 3. 標準常態分布的 moment generating function（MGF）。 若 $X\sim\operatorname{Binomial}(m,p)$，則 $$ E(X)=mp,\qquad \operatorname{Var}(X)=mp(1-p). $$ 本題中 $$ Xi\sim\operatorname{Binomial}(12,0.5), $$ 因此 $$ E(Xi)=12(0.5)=6, $$ 以及 $$ \operatorname{Var}(Xi)=12(0.5)(0.5)=3. $$ 題目定義 $$ Yn=\sum{i=1}^nXi. $$ 由於 $X1,X2,\ldots$ 相互獨立， $$ E(Yn)=\sum{i=1}^nE(Xi)=6n, $$ $$ \operatorname{Var}(Yn)=\sum{i=1}^n\operatorname{Var}(Xi)=3n. $$ 所以題目中的標準化變數 $$ Zn=\frac{Yn-6n}{\sqrt{3n}} $$ 正是將 $Yn$ 減去期望值後，再除以標準差。 --- 解題方法 由中央極限定理，當 $n	o\infty$ 時， $$ \frac{Yn-nE(Xi)} {\sqrt{n\operatorname{Var}(Xi)}} \overset{d}{\longrightarrow}N(0,1). $$ 代入 $E(Xi)=6$ 與 $\operatorname{Var}(Xi)=3$，得到 $$ Zn=\frac{Yn-6n}{\sqrt{3n}} \overset{d}{\longrightarrow}N(0,1). $$ 因此依照題目及官方答案的命題意旨，$Z\infty$ 視為標準常態分布： $$ Z\infty\sim N(0,1). $$ 若 $Z\sim N(\mu,\sigma^2)$，其 moment generating function 為 $$ MZ(t)=E(e^{tZ}) =\exp\left(\mu t+\frac{1}{2}\sigma^2t^2ight). $$ 本題 $\mu=0$、$\sigma^2=1$，因此 $$ M{Z\infty}(t) =\exp\left(\frac{1}{2}t^2ight) =e^{\frac12t^2}. $$ 故正確答案為 $$ \boxed{	ext{(D)}\ e^{\frac12t^2}}. $$ --- 選項分析 (A) $\frac12e^t+\frac12$ 此式是只取一次成功機率為 $0.5$ 的 Bernoulli 隨機變數 $B$ 的…

Question 19

If $Y$ is uniformly distributed over $[0,5]$, what is the probability that the roots of the equation $$ 4x^2+4xY+Y+2=0 $$ are both real? (A) $\frac{1}{5}$ (B) $\frac{2}{5}$ (C) $\frac{1}{2}$ (D) $\frac{3}{5}$ (E) $\frac{4}{5}$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查一元二次方程式的判別式，以及連續型均勻分布的機率計算。 對一元二次方程式 $$ ax^2+bx+c=0 $$ 其判別式為 $$ \Delta=b^2-4ac $$ - $\Delta0$：有兩個相異實根 - $\Delta=0$：有兩個相等的實根 - $\Delta<0$：沒有實根 因此，題目所稱「根皆為實數」，條件是 $\Delta\ge 0$。 --- 解題方法 題目中的方程式為 $$ 4x^2+4xY+Y+2=0 $$ 將其視為變數 $x$ 的一元二次方程式： $$ a=4,\qquad b=4Y,\qquad c=Y+2 $$ 計算判別式： $$ \begin{aligned} \Delta &=(4Y)^2-4(4)(Y+2)\ &=16Y^2-16(Y+2)\ &=16Y^2-16Y-32\ &=16(Y^2-Y-2)\ &=16(Y-2)(Y+1) \end{aligned} $$ 要使兩根皆為實數，必須滿足 $$ 16(Y-2)(Y+1)\ge 0 $$ 因為 $160$，所以等價於 $$ (Y-2)(Y+1)\ge 0 $$ 解此不等式可得 $$ Y\le -1\quad	ext{或}\quad Y\ge 2 $$ 但題目已知 $$ Y\sim \operatorname{Uniform}[0,5] $$ 因此 $Y$ 的可能範圍為 $[0,5]$，只有 $$ Y\in[2,5] $$ 能使方程式的根皆為實數。 均勻分布下，機率等於符合條件區間的長度除以總區間長度： $$ P(	ext{兩根皆為實數}) =\frac{5-2}{5-0} =\frac{3}{5} $$ 端點 $Y=2$ 時，判別式為 $0$，方程式具有重根；由於重根仍屬於實根，因此 $Y=2$ 應納入條件。

Question 20

The moment generating function of $X$ is given by $$ MX(t)=e^{2e^t-2} $$ and that of $Y$ by $$ MY(t)=\left(\frac{3}{4}e^t+\frac{1}{4}\right)^{10}. $$ If $X$ and $Y$ are independent, what is $P(XY=0)$? (A) $1-e^{-2}-\left(\frac{1}{4}\right)^{10}$ (B) $e^{-2}+\left(\frac{1}{4}\right)^{10}$ (C) $e^{-2}+\left(\frac{1}{4}\right)^{10}-e^0$ (D) $e^{-2}+\left(\frac{1}{4}\right)^{10}+e^{-2}\left(\frac{1}{4}\right)^{10}$ (E) $e^{-2}+\left(\frac{1}{4}\right)^{10}-e^{-2}\left(\frac{1}{4}\right)^{10}$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查： 1. 由矩母函數（moment generating function, MGF）辨認機率分布。 2. 利用分布取得 $P(X=0)$ 與 $P(Y=0)$。 3. 使用獨立事件的聯集公式計算 $P(XY=0)$。 Poisson 分布參數為 $\lambda$ 時，其 MGF 為 $$ MX(t)=e^{\lambda(e^t-1)}. $$ Binomial 分布參數為 $n,p$ 時，其 MGF 為 $$ MY(t)=(1-p+pe^t)^n. $$ --- 解題方法 由 $$ MX(t)=e^{2e^t-2}=e^{2(e^t-1)} $$ 可知 $$ X\sim \operatorname{Poisson}(2). $$ 因此 $$ P(X=0)=\frac{e^{-2}2^0}{0!}=e^{-2}. $$ 再由 $$ MY(t)=\left(\frac34e^t+\frac14\right)^{10} $$ 與 $$ (1-p+pe^t)^n $$ 比較，可得 $$ Y\sim \operatorname{Binomial}\left(10,\frac34\right). $$ 因此 $$ P(Y=0) = \binom{10}{0}\left(\frac34\right)^0 \left(\frac14\right)^{10} = \left(\frac14\right)^{10}. $$ 事件 $XY=0$ 表示至少有一個變數等於 $0$，因此 $$ \{XY=0\}=\{X=0\}\cup\{Y=0\}. $$ 利用聯集機率公式： $$ P(XY=0) = P(X=0)+P(Y=0)-P(X=0,Y=0). $$ 因為 $X$ 與 $Y$ 獨立， $$ P(X=0,Y=0) = P(X=0)P(Y=0) = e^{-2}\left(\frac14\right)^{10}. $$ 所以

Question 21

A smooth-surface table is ruled with equidistance parallel lines, a distance $D$ apart. A needle of length $L$ , where $L\leq D$ , is randomly dropped onto the table with all rotational angles equally probable. What is the probability that the needle will intersect one of the lines?

Accepted Answer

核心觀念 本題是經典的 Buffon’s needle（蒲豐投針問題），考查「幾何機率」與「連續型隨機變數的平均」。 桌面上有彼此平行、間距為 $D$ 的直線，針長為 $L$，且 $L\leq D$。針隨機落下時，需要同時考慮： 1. 針的中心落在相鄰兩條平行線之間的位置。 2. 針與平行線的夾角。 3. 所有旋轉角度均勻分布。 由於針長不超過線距，針最多只會與一條線相交，不會同時跨越兩條線。 --- 解題方法 設針的中點到最近一條平行線的垂直距離為 $x$，設針與平行線的夾角為 $	heta$。 取 $	heta$ 為針與平行線的夾角，因為針沒有方向性，只需考慮： $$ 0\leq 	heta\leq \frac{\pi}{2} $$ 針的半長為 $\dfrac{L}{2}$。針從中點向一側伸出的部分，其垂直於平行線的投影長度為： $$ \frac{L}{2}\sin	heta $$ 因此，整根針在垂直方向上的總投影長度為： $$ L\sin	heta $$ 若針的中點距離最近的平行線為 $x$，則針會與直線相交的條件為： $$ x\leq L\sin	heta $$ 在兩條相鄰平行線之間，中點的位置均勻分布，總寬度為 $D$。固定角度 $	heta$ 時，符合相交條件的位置長度為 $L\sin	heta$，故條件機率為： $$ P(	ext{相交}\mid	heta)=\frac{L\sin	heta}{D} $$ 由於角度在 $0$ 到 $\dfrac{\pi}{2}$ 之間均勻分布，對所有角度取平均： $$ P = \frac{2}{\pi} \int0^{\pi/2} \frac{L\sin	heta}{D}\,d	heta $$ 提出常數： $$ P = \frac{2L}{\pi D} \int0^{\pi/2}\sin	heta\,d	heta $$ 而 $$ \int0^{\pi/2}\sin	heta\,d	heta = [-\cos	heta]0^{\pi/2} = 1 $$ 因此：

Question 22

Consider the set of all families with two children. Randomly select one family. Assume that in a two-child family all sex distributions are equally likely.

In addition, assume that there are $n$ distinct names for girls. Assume that in families with one girl, each name is equally likely to be assigned to the girl. Assume that in families with two girls, each pair of two distinct names is equally likely to be assigned to the two girls.

It is known that the randomly selected family has one child called Mary. What is the probability that the other child of the family is a girl?

Accepted Answer

核心觀念 本題考查條件機率，以及「觀察到某個特定名字」後，如何重新比較不同家庭性別組合的可能性。 關鍵不在於只列出「一女一男」與「兩女」兩種情況，而是要考慮： 1. 各種性別分布原本的機率。 2. 在該性別分布下，出現名為 Mary 的小孩之機率。 已知事件為： $$ M=	ext{家庭中至少有一位小孩名叫 Mary} $$ 要求： $$ P(	ext{另一位小孩是女孩}\mid M) $$ --- 解題方法 將兩名子女的性別視為有順序的分布： - 男男：$BB$ - 男女：$BG$ - 女男：$GB$ - 女女：$GG$ 題目說所有性別分布 equally likely，因此： $$ P(BB)=P(BG)=P(GB)=P(GG)=\frac14 $$ 其中「另一位小孩是女孩」代表家庭必須是： - $BG$ - $GB$ - $GG$ 但必須進一步納入「家庭中有一位叫 Mary」這項條件。 情況一：家庭為一男一女 對於 $BG$ 或 $GB$： - 每種性別排列的機率為 $\frac14$。 - 女孩名為 Mary 的機率為 $\frac1n$。 因此： $$ P(M\cap BG)=\frac14\cdot\frac1n=\frac{1}{4n} $$ $$ P(M\cap GB)=\frac14\cdot\frac1n=\frac{1}{4n} $$ 合計為： $$ P(M\cap 	ext{一男一女}) =\frac{1}{4n}+\frac{1}{4n} =\frac{1}{2n} $$ 情況二：家庭為兩位女孩 $GG$ 的機率為 $\frac14$。 兩位女孩使用兩個不同名字。所有兩名字組合等可能，總共有： $$ \binom{n}{2} $$ 其中包含 Mary 的組合數為 $n-1$，因此： $$ P(M\mid GG) =\frac{n-1}{\binom n2} =\frac{n-1}{\frac{n(n-1)}2} =\frac2n $$ 所以： $$ P(M\cap GG) =\frac14\cdot\frac2n =\frac{1}{2n} $$ 計算條件機率 已知家庭中至少有一位小孩名叫 Mary，因此事件 $M$ 的機率為： $$ P(M) =P(M\cap 	ext{一男一女})+P(M\cap GG) $$ $$ P(M)=\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}=\frac1n $$ 要求另一位小孩是女孩，也就是家庭屬於 $GG$： $$ P(GG\mid M) =\frac{P(M\cap GG)}{P(M)} =\frac{\frac{1}{2n}}{\frac1n} =\frac12 $$ 因此： $$ \boxed{\frac12} $$ --- 為什麼答案與 $n$ 無關？ 一男一女家庭中，只有…

Question 23

Recently, Larry taught his daughter Emily how to play a game. To encourage Emily to practice this game, Larry decides to play with her until she wins two of the recent three games.

Assume that either of the two players wins and the game cannot have a tie. If the probability that Emily wins a game is $\frac{1}{4}$ independently of all preceding and future games, find the expected number of games to be played.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查「馬可夫鏈（Markov chain）」與「期望值遞迴」。 每場比賽彼此獨立，Emily 勝率為 $$ p=\frac14,\qquad q=\frac34 $$ 停止條件是：最近三場中，Emily 至少贏兩場。 由於是否停止只與最近幾場的結果有關，可將比賽狀態分類，再建立期望值方程式。 --- 解題方法：狀態遞迴 定義各狀態的期望剩餘比賽場數： - $A$：尚未進行任何比賽。 - $B$：目前最後一場是 Emily 勝，且尚未達到停止條件。 - $C$：目前最後一場是 Emily 敗，且尚未達到停止條件。 - $D$：最近兩場一勝一敗，且尚未達到停止條件。 若下一場使 Emily 在最近三場中累積第二勝，便立即停止，因此該分支的剩餘場數為 $0$。 1. 建立方程式 由狀態 $B$ 出發： - Emily 以 $\frac14$ 勝，達成兩勝，停止。 - Emily 以 $\frac34$ 敗，進入狀態 $D$。 因此 $$ B=1+\frac34D $$ 由狀態 $C$ 出發： - Emily 以 $\frac14$ 勝，進入狀態 $B$。 - Emily 以 $\frac34$ 敗，仍為狀態 $C$。 因此 $$ C=1+\frac14B+\frac34C $$ 由狀態 $D$ 出發： - Emily 以 $\frac14$ 勝，達成最近三場兩勝，停止。 - Emily 以 $\frac34$ 敗，進入狀態 $C$。 因此 $$ D=1+\frac34C $$ 由第一式與第三式： $$ B=1+\frac34D $$ $$ D=1+\frac34C $$ 代入得 $$ B=1+\frac34\left(1+\frac34C\right) =\frac74+\frac9{16}C $$ 再由 $C$ 的方程式： $$ C=1+\frac14B+\frac34C $$ 移項： $$ \frac14C=1+\frac14B $$ 所以 $$ C=4+B $$ 代入 $B=\frac74+\frac9{16}C$： $$ C=4+\frac74+\frac9{16}C $$

Question 24

There are 2 exams in Statistics class. The midterm score ($X$) is approximately normal distributed with mean 60 and standard deviation 20. The final exam score ($Y$) is approximately normal distributed with mean 80 and standard deviation 10. The overall score is the weighted average of two scores: $$ Z=X\cdot40\%+Y\cdot60\%. $$ Suppose that $\operatorname{cor}(X,Y)=0.6$. Which of the following statement is FALSE? (A) The overall score has a mean 72. (B) The overall score has a standard deviation 14. (C) Emily got 60 in the midterm. The expected score for her final exam is 80. (D) $\operatorname{cor}(Z,X)0.6$. (E) The overall score is approximately normally distributed.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查下列統計觀念： 1. 線性組合的期望值： $$E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)$$ 2. 線性組合的變異數： $$ \operatorname{Var}(aX+bY) =a^2\operatorname{Var}(X)+b^2\operatorname{Var}(Y) +2ab\operatorname{Cov}(X,Y) $$ 3. 相關係數與共變異數的關係： $$\operatorname{Cov}(X,Y)=\operatorname{cor}(X,Y)\sigmaX\sigmaY$$ 4. 二元常態分布下的條件期望與線性組合分布。 題目給定： $$ E(X)=60,\quad \sigmaX=20 $$ $$ E(Y)=80,\quad \sigmaY=10 $$ $$ \operatorname{cor}(X,Y)=0.6 $$ 且 $$ Z=0.4X+0.6Y $$ --- 解題方法 先求 $X$ 與 $Y$ 的共變異數： $$ \operatorname{Cov}(X,Y) =\operatorname{cor}(X,Y)\sigmaX\sigmaY $$ $$ =0.6(20)(10)=120 $$ 接著分別檢驗各選項。 --- 選項分析 (A) The overall score has a mean 72. 利用期望值的線性性： $$ E(Z)=E(0.4X+0.6Y) $$ $$ =0.4E(X)+0.6E(Y) $$ $$ =0.4(60)+0.6(80) $$ $$ =24+48=72 $$ 因此整體成績的平均數為 $72$，此選項正確。 --- (B) The overall score has a standard deviation 14. 利用線性組合的變異數公式： $$ \operatorname{Var}(Z) =\operatorname{Var}(0.4X+0.6Y) $$ $$ =(0.4)^2\operatorname{Var}(X) +(0.6)^2\operatorname{Var}(Y) +2(0.4)(0.6)\operatorname{Cov}(X,Y) $$ 代入數值： $$ \operatorname{Var}(Z) =(0.4)^2(20)^2+(0.6)^2(10)^2 +2(0.4)(0.6)(120) $$ $$ =0.16(400)+0.36(100)+57.6 $$ $$ =64+36+57.6=157.6 $$ 所以 $$ \sigmaZ=\sqrt{157.6}\approx 12.55 $$ 整體成績的標準差約為 $12.55$，並非 $14$。 因此此選項錯誤，且為本題答案。 --- (C) Emily got 60 in the midterm. Th…

Question 25

Suppose we are interested in the rate ($p$) of Cancer A in rats that have been fed with a diet consisting of high saccharin（糖精）. We fed this diet to 20 rats and found that 1 rat developed cancer. The study goal is to claim that the cancer rate is higher than 5%. Which of the following statement is INCORRECT? (A) The claim can be statistically confirmed by performing the hypothesis testing: $$ H0:p\geq0.05\ 	ext{v.s.}\ H1:p<0.05. $$ (B) The sample proportion $\hat{p}$ follows a normal distribution approximately. (C) Based on the sample proportion $\hat{p}=\frac{1}{20}$, the hypothesis testing (with type I error 0.05) cannot conclude that the cancer rate is higher than 5%. (D) The estimation error of $\hat{p}$ for estimating $p$ is approximately $\operatorname{se}(\hat{p})\approx0.05$. (E)…

Accepted Answer

核心觀念 本題考查二項分布、樣本比例的近似分布、假設檢定、估計標準誤，以及稀有事件下的 Poisson 近似。 令 $X$ 表示 20 隻老鼠中罹患 Cancer A 的隻數，則 $$ X\sim\operatorname{Binomial}(n=20,p), $$ 其中 $p$ 為高糖精飲食下老鼠罹癌的真實比例。觀察結果為 $$ x=1,\qquad \hat p=\frac{x}{n}=\frac{1}{20}=0.05. $$ 題目真正想主張的是「癌症率高於 $5\%$」，即 $$ p0.05. $$ 因此，假設檢定應將「高於 $5\%$」放在對立假設 $H1$ 中。 --- 解題方法 判斷本題的關鍵有三點： 1. 先確認研究主張的方向：題目要證明 $p0.05$。 2. 檢查假設檢定的 $H0$ 與 $H1$ 是否符合主張方向。 3. 使用二項分布與樣本比例公式，判斷其餘敘述是否合理。 正確的單尾假設檢定應寫成 $$ H0:p\leq 0.05 \quad	ext{v.s.}\quad H1:p0.05. $$ 實務上也常將虛無假設寫成 $$ H0:p=0.05 \quad	ext{v.s.}\quad H1:p0.05, $$ 因為檢定臨界值通常在 $p=0.05$ 的邊界下計算。 --- 選項分析 （A）錯誤 選項給出的假設為 $$ H0:p\geq0.05 \quad	ext{v.s.}\quad H1:p<0.05. $$ 這是在檢定「癌症率是否低於 $5\%$」，因為 $H1$ 的方向是 $p<0.05$。 然而，本題研究目標是主張 $$ p0.05, $$ 所以應將 $p0.05$ 放在對立假設： $$ H0:p\leq0.05 \quad	ext{v.s.}\quad H1:p0.05. $$ 選項（A）的檢定方向與研究目的完全相反，因此是錯誤敘述。 --- （B）正確，但須注意近似品質 樣本比例為 $$ \hat p=\frac{X}{n}. $$ 若 $X\sim\operatorname{Binomial}(n,p)$，則樣本比例的平均數與變異數為 $$ E(\hat p)=p, $$ $$ \operatorname{Var}(\hat p)=\frac{p(1-p)}{n}. $$ 當樣本數夠大時，依中央極限定理，$\hat p$ 可近似服從常態分布： $$ \hat p\approx N\left(p,\frac{p(1-p)}{n}ight). $$ 因此，依一般統計近似觀念，選項（B）可視為正確。 不過，本題的 $n=20$ 且 $p=0.05$，有 $$ np=20(0.05)=1, $$ $$ n(1-p)=20(0.95)=19. $$ 通常常態近似二項分布會希望 $np$ 與 $n(1-p)$ 都不要…

Question 26

In a statistics exam, all problems are multiple-choice with 5 possible items（5 選項之單選題）, e.g., (A), (B), (C), (D), (E). Emily knew the answers to 60% of the problems, and randomly guessed the answers for the rest of the problems. What is the percentage of her score gained from guessing?

Accepted Answer

核心觀念 本題考查「條件機率」與「比例」的應用。 Emily 的答題情況分成兩部分： 1. 已知答案的題目：占全部題目的 $60\%$，全部答對。 2. 不知道答案而猜題的題目：占全部題目的 $40\%$。 每題有 5 個選項，且為隨機猜答，因此猜對一題的機率為 $$ P(	ext{猜對})=\frac{1}{5}=20\% $$ 題目問的是「她的得分中，有多少百分比來自猜題」，因此應計算： $$ \frac{	ext{猜題所得分數}}{	ext{總得分}}	imes 100\% $$ --- 解題方法 假設考試共有 $100$ 題，每題配分相同。 已知答案的題目： $$ 100	imes 60\%=60	ext{ 題} $$ 這 $60$ 題全部答對，因此得到 $60$ 分。 猜題的題目： $$ 100	imes 40\%=40	ext{ 題} $$ 每題猜對機率為 $1/5$，所以猜題預期答對題數為 $$ 40	imes \frac{1}{5}=8	ext{ 題} $$ 因此： - 猜題所得分數：$8$ 分 - 總得分：$60+8=68$ 分 猜題分數占總分的比例為 $$ \frac{8}{68}	imes 100\% =\frac{2}{17}	imes 100\% \approx 11.76\% $$ 四捨五入後為 $$ 12\% $$ 所以官方答案為 (B)。 --- 選項分析 (A) 8%：錯誤 $8\%$ 是猜題答對的題目占全部考試題目的比例： $$ 40\%	imes \frac{1}{5}=8\% $$ 這代表猜題對「滿分」的貢獻比例，不是猜題分數占 Emily「實際總得分」的比例。 --- (B) 12%：正確 猜題得到 $8$ 分，總得分為 $68$ 分，因此：

Question 27

Suppose $Xi$ independently follows a Poisson distribution with mean 3 for $i=1\sim1000$. What is the approximate distribution of the sample mean $\overline{X}$? (A) Exponential distribution (B) $t$-distribution (C) Gamma distribution (D) Normal distribution (E) $\chi^2$ distribution

Accepted Answer

核心觀念 本題考查中央極限定理（Central Limit Theorem, CLT）與 Poisson 分布的期望值、變異數。 若 $X\sim\operatorname{Poisson}(\lambda)$，則： $$ E(X)=\lambda,\qquad \operatorname{Var}(X)=\lambda $$ 題目給定： $$ Xi\sim\operatorname{Poisson}(3),\qquad i=1,\ldots,1000 $$ 且彼此獨立，因此： $$ E(Xi)=3,\qquad \operatorname{Var}(Xi)=3 $$ --- 解題方法 樣本平均為： $$ \overline{X}=\frac{1}{1000}\sum{i=1}^{1000}Xi $$ 由中央極限定理，當樣本數 $n$ 很大時，樣本平均近似服從常態分布： $$ \overline{X}\approx N\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right) $$ 其中： $$ \mu=3,\qquad \sigma^2=3,\qquad n=1000 $$ 代入可得： $$ \overline{X}\approx N\left(3,\frac{3}{1000}\right) $$ 因此，樣本平均的近似分布為平均數 $3$、變異數 $0.003$ 的常態分布；其標準差為： $$ \sqrt{\frac{3}{1000}}\approx 0.0548 $$ 所以正確選項為 (D) Normal distribution。 --- 選項分析 (A) Exponential distribution 錯誤。Exponential distribution 通常用於描述等待時間，其取值為連續且非負。樣本平均雖然也是非負，但在樣本數很大時，依中央極限定理應近似常態分布，而不是指數分布。 (B) $t$-distribution 錯誤。$t$-分布主要出現在母體為常態分布且母體變異數未知、以樣本標準差估計變異數的情況，例如： $$ \frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\sim t{n-1} $$

Question 28

Suppose we want to investigate the relationship between the heights of students and the sport teams they belong to. Suppose we are considering four different teams from the school: table tennis, basketball, baseball, and volleyball teams. Linear regression model can be used to analyze the data collected for this end with dummy variables. How many dummy variables should we create for this model?

Accepted Answer

核心觀念 本題考的是線性迴歸中的類別變數（categorical variable）與虛擬變數（dummy variables）。 「所屬運動隊伍」不是連續數值，而是具有四種類別的名目變數： 1. 桌球隊 2. 籃球隊 3. 棒球隊 4. 排球隊 在線性迴歸模型中，若模型包含截距項，具有 $k$ 個類別的類別變數，通常只需建立： $$ k-1 $$ 個虛擬變數，並將剩下的一類設定為參考組（reference group）。 --- 解題方法 四個運動隊伍可建立三個虛擬變數。例如以桌球隊作為參考組，定義： $$ D1 = \begin{cases} 1, & 	ext{屬於籃球隊}\ 0, & 	ext{否則} \end{cases} $$ $$ D2 = \begin{cases} 1, & 	ext{屬於棒球隊}\ 0, & 	ext{否則} \end{cases} $$ $$ D3 = \begin{cases} 1, & 	ext{屬於排球隊}\ 0, & 	ext{否則} \end{cases} $$ 以學生身高 $Y$ 為依變數，線性迴歸模型可寫成： $$ Y=\beta0+\beta1D1+\beta2D2+\beta3D3+\varepsilon $$ 其中： - $\beta0$：桌球隊學生的平均身高 - $\beta1$：籃球隊與桌球隊平均身高的差異 - $\beta2$：棒球隊與桌球隊平均身高的差異 - $\beta3$：排球隊與桌球隊平均身高的差異 因此需要建立： $$ 4-1=3 $$ 個虛擬變數。

Question 29

According to the following plots of three variables $X1$, $X2$, and $Y$ from the data set, please select the correct statement. 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 (A) $X1$ is a better linear predictor for predicting $Y$ than $X2$ since the slope is larger in (a) than in (b). (B) $X2$ is a better linear predictor for predicting $Y$ than $X1$ since the correlation is stronger in (b) than in (a). (C) $X1+X2$ should be a better predictor than either $X1$ or $X2$ since they are positively correlated in (c). (D) If we build a regression model with $X1$ and $X2$ to predict $Y$, there must be a strong interaction between $X1$ and $X2$ since they are positively correlated in (c). (E) If we fit a multiple regression model with both $X1$ and $X2$ to predict $Y$, the coefficients of $X1$ and $X2$ would both be negative…

Accepted Answer

核心觀念 本題考查散佈圖判讀、相關係數與線性迴歸預測能力。 在單一線性迴歸中： $$ Y=\beta0+\beta1X+\varepsilon $$ 線性預測能力主要看 $X$ 與 $Y$ 的相關係數 $r$ 強弱，而不是只看迴歸線斜率大小。簡單線性迴歸的決定係數為： $$ R^2=r^2 $$ $|r|$ 越大，代表資料點越集中在一條直線附近，使用該變數預測 $Y$ 的線性效果越好。 由圖可見： - 圖 (a)：$X1$ 與 $Y$ 呈負相關，但散布較分散。 - 圖 (b)：$X2$ 與 $Y$ 呈負相關，且資料點更集中於迴歸線附近。 - 圖 (c)：$X1$ 與 $X2$ 呈正相關。 因此，$X2$ 與 $Y$ 的線性相關較強，$X2$ 是較好的單一線性預測變數。 解題方法 比較圖 (a) 與圖 (b) 時，應觀察資料點與迴歸線的貼合程度： 1. 圖 (a) 的點分布較寬，表示 $Y$ 對 $X1$ 的線性關係較弱。 2. 圖 (b) 的點緊密分布在下降直線附近，表示 $Y$ 對 $X2$ 的線性關係較強。 3. 因此： $$ |r{X2,Y}||r{X1,Y}| $$ 進而有： $$ R^2{X2}R^2{X1} $$ 所以 $X2$ 比 $X1$ 更適合用來進行單一線性預測，正確選項為 B。 選項分析 (A) 錯誤 迴歸線斜率的大小不等於預測能力。斜率會受到變數尺度影響： $$ \hat{\beta}1=r{X,Y}\frac{sY}{sX} $$ 即使斜率較大，也可能只是因為 $X$ 的標準差較小，不能據此判斷預測效果較好。判斷線性預測能力應比較相關係數的絕對值、$R^2$ 或散佈程度。 (B) 正確

Question 30

The following is a joint probability table between two categorical variables, the education level and the exercise frequency. | Education level | 0–1 day per week | 2–4 days per week | 5–7 days per week | |---|---:|---:|---:| | High school degree | 0.1 | 0.05 | 0.05 | | Bachelor degree | 0.15 | 0.2 | 0.1 | | Graduate degree | 0.15 | 0.15 | 0.05 | Which of the following statements is correct? (A) If the table is from a large survey and can be treated as population data, we can say that the two variables are not independent. (B) If the table is derived from sample data, we can test the independence of the two variables using $\chi^2$ test. The alternative hypothesis for the test is the independence of the two variables. (C) If the table is derived from sample data, the degree of freedom of t…

Accepted Answer

核心觀念 本題考查兩個類別變數的獨立性，以及 Pearson $\chi^2$ 獨立性檢定。 若教育程度與運動頻率相互獨立，則必須滿足： $$ P(	ext{教育程度}=i,	ext{運動頻率}=j) = P(	ext{教育程度}=i) P(	ext{運動頻率}=j) $$ 列總和為： - High school degree：$0.1+0.05+0.05=0.2$ - Bachelor degree：$0.15+0.2+0.1=0.45$ - Graduate degree：$0.15+0.15+0.05=0.35$ 欄總和為： - $0$–$1$ day：$0.4$ - $2$–$4$ days：$0.4$ - $5$–$7$ days：$0.2$ 例如，若兩變數獨立，High school degree 且每週運動 $0$–$1$ 天的聯合機率應為： $$ P(	ext{High school})P(0	ext{–}1	ext{ day}) = 0.2	imes 0.4 = 0.08 $$ 但表中的實際聯合機率為 $0.1$，因此： $$ 0.1
eq 0.08 $$ 故兩變數不獨立。 --- 解題方法 本題首先要辨認表格中的數值是「聯合機率」。整張表的總和為 $1$，因此可直接利用邊際機率檢查獨立性。 只要找到一格不符合： $$ P(A\cap B)=P(A)P(B) $$ 即可判定不獨立。此題第一格便已足夠： $$ P(	ext{High school}\cap 0	ext{–}1	ext{ day})=0.1 $$ 而 $$ P(	ext{High school})P(0	ext{–}1	ext{ day}) = 0.2	imes0.4=0.08 $$ 兩者不相等，所以教育程度與運動頻率不獨立。 若表格來自樣本資料，才需要使用 $\chi^2$ 獨立性檢定。其假設為： $$ H0：	ext{兩變數相互獨立} $$ $$ H1：	ext{兩變數不相互獨立} $$ --- 選項分析 (A) 正確 題目指出表格來自大型調查，且可視為母體資料。此時表中數值可直接視為真實聯合機率，不需要進行抽樣推論。 由上述計算： $$ P(	ext{High school}\cap 0	ext{–}1	ext{ day})=0.1 $$ 但 $$ P(	ext{High school})P(0	ext{–}1	ext{ day}) = 0.2	imes0.4=0.08 $$ 兩者不相等，因此可直接說明兩變數不獨立。 所以 (A) 正確。 --- (B) 錯誤 樣本資料可以使用 $\chi^2$ 檢定兩個類別變數是否獨立，但假設設定寫反了。 正確的假設為： $$ H0：	ext{兩變數獨立} $$ $$ H1：	ext…

國立清華大學 111 年 《資訊科學》

第 1 題5 分

第 2 題5 分

第 3 題5 分

第 4 題5 分

第 5 題5 分

S1S_1S1​

S2S_2S2​

第 6 題5 分

核心觀念

解題方法

1. 求出 W⊥W^\perpW⊥

2. 將 ccc 投影到 W⊥W^\perpW⊥

第 7 題5 分

第 8 題5 分

第 9 題5 分

第 10 題5 分

第 11 題5 分

核心觀念

解題方法

選項分析

(A) a=1635, b=1, c=17a=\frac{16}{35},\ b=1,\ c=\frac17a=3516​, b=1, c=71​

第 12 題5 分

第 13 題5 分

核心觀念

解題方法

選項分析

(A) T(x,y,z)=(2x,y+z)T(x,y,z)=(2x,y+z)T(x,y,z)=(2x,y+z)

(B) T(x,y,z)=(2x−1,z)T(x,y,z)=(2x-1,z)T(x,y,z)=(2x−1,z)

(C) T(x,y,z)=(0,0)T(x,y,z)=(0,0)T(x,y,z)=(0,0)

第 14 題5 分

第 15 題5 分

第 16 題5 分

第 17 題5 分

情況一：X≥9YX\ge 9YX≥9Y

情況二：Y≥9XY\ge 9XY≥9X

第 18 題5 分

第 19 題5 分

第 20 題5 分

第 21 題5 分

第 22 題5 分

情況一：家庭為一男一女

情況二：家庭為兩位女孩

計算條件機率

第 23 題5 分

1. 建立方程式

第 24 題5 分

第 25 題5 分

（A）錯誤

（B）正確，但須注意近似品質

（C）正確

第 26 題5 分

第 27 題5 分

第 28 題5 分

第 29 題5 分

第 30 題5 分

核心觀念

解題方法

選項分析

(A) 正確

(B) 錯誤

其他考古題

111 年國立清華大學的其他科目

國立清華大學《資訊科學》其他年度

國立清華大學 111 年《資訊科學》

$S_1$

$S_2$

1. 求出 $W^\perp$

2. 將 $c$ 投影到 $W^\perp$

(A) $a=\frac{16}{35},\ b=1,\ c=\frac17$

(A) $T(x,y,z)=(2x,y+z)$

(B) $T(x,y,z)=(2x-1,z)$

(C) $T(x,y,z)=(0,0)$

情況一： $X\ge 9Y$

情況二： $Y\ge 9X$