國立清華大學 112 年《資訊科學》考古題與詳解

Question 1

Let $P2$ denote the collection of all real polynomials of degree less than or equal to $2$. Define the linear transformation $L:P2	o P2$ by $$ L(p(x))=p'(x)-p(1)x^2+p(-1) $$ for any polynomial $p(x)$ in $P2$. What is $\det(L)$? (A) $-3$ (B) $-2$ (C) $0$ (D) $1$ (E) $2$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查： - 線性轉換的矩陣表示法。 - 線性轉換行列式的計算。 - 多項式空間 $P2$ 的標準基底可取為 $$\mathcal{B}=\{1,x,x^2\}.$$ 對線性轉換 $L:P2	o P2$，先求出 $L(1)$、$L(x)$、$L(x^2)$，再以這些結果作為矩陣的各欄，即可求得 $\det(L)$。 --- 解題方法 令 $$ p(x)=a+bx+cx^2. $$ 則 $$ p'(x)=b+2cx, $$ 且 $$ p(1)=a+b+c, \qquad p(-1)=a-b+c. $$ 因此 $$ \begin{aligned} L(p(x)) &=p'(x)-p(1)x^2+p(-1)\ &=(b+2cx)-(a+b+c)x^2+(a-b+c)\ &=(a-b+c)+(b+2c)x-(a+b+c)x^2. \end{aligned} $$ 相對於基底 $\{1,x,x^2\}$，輸出多項式的係數為 $$ \begin{bmatrix} a-b+c\ b+2c\ -a-b-c \end{bmatrix}. $$ 所以 $L$ 的矩陣為 $$ [L]{\mathcal B} = \begin{bmatrix} 1&-1&1\ 0&1&2\ -1&-1&-1 \end{bmatrix}. $$ 計算其行列式： $$ \begin{aligned} \det(L) &= \begin{vmatrix} 1&-1&1\ 0&1&2\ -1&-1&-1 \end{vmatrix}\ &=1 \begin{vmatrix} 1&2\ -1&-1 \end{vmatrix} -(-1) \begin{vmatrix} 0&2\ -1&-1 \end{vmatrix} +1 \begin{vmatrix} 0&1\ -1&-1 \end{vmatrix}\ &=1(1)+1(2)+1(1)\ &=4. \end{aligned} $$ 因此，依照題目所列出的線性轉換公式，嚴格計算結果為 $$ \boxed{\det(L)=4}. $$ 然而 $4$ 不在選項中，且官方公布答案指定為 E（$2$）。因此本題題幹或官方答案存在不一致。 --- 另一種快速列矩陣方式 直接作用於標準基底： $$ L(1)=0-1\cdot x^2+1=1-x^2, $$ $$ L(x)=1-1\cdot x^2-1= x-x^2, $$ 注意：

Question 2

Let $\mathbb{R}^{2	imes2}$ denote the collection of all real $2	imes2$ matrices and $P$ denote the collection of all real polynomials. Which two of the following functions are linear operators? $$ T1:\mathbb{R}	o\mathbb{R},\quad T1(x)=2x-3 $$ $$ T2:\mathbb{R}^{2	imes2}	o\mathbb{R},\quad T2(A)=\det(A) $$ $$ T3:\mathbb{R}^{2	imes2}	o\mathbb{R}^{2	imes2},\quad T3(A)=A^T-A $$ $$ T4:P	o P,\quad T4(f(x))=f'(x)+f(0)x $$ for any polynomial $f(x)$. (A) $T1,T2$ (B) $T1,T3$ (C) $T2,T3$ (D) $T2,T4$ (E) $T3,T4$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查「線性算子（linear operator）」的定義。若函數 $T:V	o W$ 的定義域與陪域都是實向量空間，必須同時滿足： 1. 可加性： $$T(u+v)=T(u)+T(v)$$ 2. 齊次性： $$T(cu)=cT(u)$$ 兩者也可合併為： $$ T(au+bv)=aT(u)+bT(v) $$ 其中 $a,b\in\mathbb{R}$。 快速判斷時，若 $T$ 是線性算子，必定滿足： $$ T(0)=0 $$ 因此只要發現 $T(0)
eq 0$，即可判定不是線性算子。 --- 解題方法 逐一檢查 $T1,T2,T3,T4$ 是否符合線性條件。 一、判斷 $T1$ $$ T1(x)=2x-3 $$ 代入 $x=0$： $$ T1(0)=2(0)-3=-3
eq 0 $$ 線性算子必須滿足 $T(0)=0$，因此 $T1$ 不是線性算子。 其本質是「仿射函數」： $$ T1(x)=2x+(-3) $$ 其中常數項 $-3$ 破壞了線性性。 --- 二、判斷 $T2$ 對 $2	imes 2$ 矩陣 $$ A= \begin{pmatrix} a&b\ c&d \end{pmatrix} $$ 其行列式為 $$ \det(A)=ad-bc $$ 因此 $$ T2(A)=ad-bc $$ 含有兩個矩陣元素相乘的二次項，並非線性表達式。 可直接使用齊次性反例。取 $$ A= \begin{pmatrix} 1&0\ 0&1 \end{pmatrix} $$ 則 $$ \det(A)=1 $$ 但 $$ \det(2A)=\det \begin{pmatrix} 2&0\ 0&2 \end{pmatrix} =4 $$ 若 $T2$ 為線性算子，應有 $$ T2(2A)=2T2(A)=2 $$ 然而實際上 $$ T2(2A)=4
eq 2 $$ 所以 $T2$ 不是線性算子。 一般而言，對 $2	imes 2$ 矩陣有： $$ \det(cA)=c^2\det(A) $$ 而不是 $c\det(A)$。 --- 三、判斷 $T3$ $$ T3(A)=A^T-A $$ 其中轉置運算滿足： $$ (A+B)^T=A^T+B^T $$ 以及 $$ (cA)^T=cA^T $$ 檢查可加性： $$ \begin{aligned} T3(A+B) &=(A+B)^T-(A+B)\ &=A^T+B^T-A-B\ &=(A^T-A)+(B^T-B)\ &=T3(A)+T3(B) \end{aligned} $$ 檢查齊次性： $$ \begin{aligned} T3(cA) &=(cA)^T-cA\ &=cA^T-cA\ &=c(A^T-A)\ &=cT3(A) \end{aligned} $$ 因此 $T3$ 是線性算…

Question 3

Let $\beta=\{(1,1),(2,1)\}$ be an ordered basis of $\mathbb{R}^2$ . Suppose $P$ is the orthogonal projection onto $\operatorname{span}\{(0,1)\}$ . What is the matrix representation $[P]_\beta$ of $P$ in $\beta$ ?

(A)

\begin{bmatrix} 0&0\\ 0&1 \end{bmatrix}

(B)

\begin{bmatrix} 0&0\\ 1&1 \end{bmatrix}

(C)

\begin{bmatrix} 2&2\\ 1&1 \end{bmatrix}

(D)

\begin{bmatrix} 2&2\\ -1&-1 \end{bmatrix}

(E)

\begin{bmatrix} -1&-1\\ 1&1 \end{bmatrix}

Accepted Answer

核心觀念 本題考查兩個觀念： 1. 正交投影的作用 投影到 $\operatorname{span}\{(0,1)\}$，即 $y$ 軸。對任意向量 $(x,y)$，其正交投影為 $$P(x,y)=(0,y).$$ 2. 線性變換的基底表示矩陣 若 $\beta=\{b1,b2\}$，則矩陣 $[P]\beta$ 的第 $j$ 欄，是 $P(bj)$ 在基底 $\beta$ 下的座標。 --- 解題方法 已知 $$ b1=(1,1),\qquad b2=(2,1). $$ 因為投影到 $y$ 軸，所以 $$ P(x,y)=(0,y). $$ 因此 $$ P(b1)=P(1,1)=(0,1), $$ $$ P(b2)=P(2,1)=(0,1). $$ 接著將 $(0,1)$ 表示成基底 $\beta$ 的線性組合： $$ (0,1)=a(1,1)+b(2,1). $$ 比較兩個分量： $$ \begin{cases} a+2b=0,\ a+b=1. \end{cases} $$ 由第二式得 $a=1-b$，代入第一式： $$ 1-b+2b=0 \Rightarrow b=-1, $$ 因此 $$ a=1-(-1)=2. $$ 所以 $$ [(0,1)]\beta= \begin{bmatrix} 2\ -1 \end{bmatrix}. $$ 由於 $P(b1)$ 與 $P(b2)$ 都等於 $(0,1)$，故 $$ [P]\beta= \begin{bmatrix} 2&2\ -1&-1 \end{bmatrix}. $$ 因此選 (D)。 --- 選項分析 - (A) $$\begin{bmatrix}0&0\0&1\end{bmatrix}$$ 此矩陣是某些基底下的投影矩陣形式，但本題的 $\beta$ 並非由投影方向與其正交方向所組成，因此不能直接套用此形式。實際計算後，$P(b1)$ 與 $P(b2)$ 的 $\beta$-座標都是 $(2,-1)^T$，故錯誤。 - (B)

Question 4

Which statement below is correct? (A) Any determinant is a linear transform. (B) Similar matrices always have the same eigenvalues. (C) The zero vector space has no basis. (D) Every system of $n$ linear equations in $n$ unknowns can be solved by Cramer's rule. (E) Only square matrices have a conjugate-transpose.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查線性代數中的： - 行列式與線性映射 - 相似矩陣與特徵值 - 零向量空間的基底 - Cramer 法則的適用條件 - 共軛轉置矩陣的定義 逐一檢查各選項的定義與必要條件即可判斷。 --- 解題方法 關鍵在於辨認各敘述是否符合線性代數的基本定理： 1. 相似矩陣可表示為 $B=P^{-1}AP$，其特徵多項式不變。 2. 零向量空間的基底是空集合。 3. Cramer 法則必須滿足係數矩陣為方陣且行列式不為 $0$。 4. 共軛轉置可對任何矩形矩陣定義。 因此正確選項為 (B)。 --- 選項分析 (A) Any determinant is a linear transform. 錯誤。 對於 $n	imes n$ 矩陣，行列式是函數 $$ \det:Mn	o \mathbb{F}, $$ 其輸入是矩陣，輸出是純量。當 $n\geq 2$ 時，行列式不是線性轉換，因為它不滿足加法性與純量倍法性。 例如取 $2	imes 2$ 單位矩陣 $I$，則 $$ \det(I+I)=\det(2I)=4, $$ 但 $$ \det(I)+\det(I)=1+1=2. $$ 因此 $$ \det(I+I)
eq \det(I)+\det(I), $$ 不符合線性轉換的要求。 行列式對矩陣的每一列分別具有線性，但整體而言是多重線性函數，不是一般意義下的線性轉換。 --- (B) Similar matrices always have the same eigenvalues. 正確。 若矩陣 $A$ 與 $B$ 相似，則存在可逆矩陣 $P$，使得 $$ B=P^{-1}AP. $$ 考慮 $B$ 的特徵多項式： $$ \begin{aligned} \det(\lambda I-B) &=\det\left(\lambda I-P^{-1}APight)\ &=\det\left(P^{-1}(\lambda I-A)Pight)\ &=\det(P^{-1})\det(\lambda I-A)\det(P)\ &=\det(\lambda I-A). \end{aligned} $$ 所以 $A$ 與 $B$ 具有相同的特徵多項式，因而具有相同的特徵值，包含代數重數。 也可以直接從特徵向量說明。若 $$ Av=\lambda v,\qquad v
eq 0, $$ 令 $$ w=P^{-1}v, $$ 則 $w
eq 0$，且 $$ Bw=P^{-1}AP(P^{-1}v) =P^{-1}Av =P^{-1}(\lambda v) =\lambda w. $$ 因此 $\lambda$ 也是 $B$ 的特徵值。 所以本選項正確。 --- (C) The zero vector space has no basis. 錯誤。…

Question 5

Which of the following number $\beta$ can make the matrix $B$ positive definite? $$ B= \begin{pmatrix} \beta&1&1\ 1&\beta&1\ 1&1&\beta \end{pmatrix} $$ (A) $-1$ (B) $0$ (C) $1$ (D) $2$ (E) $i$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查實對稱矩陣的「正定性」（positive definite）。 對實對稱矩陣 $B$，正定的定義是：對所有非零實向量 $\mathbf{x}$，皆有 $$ \mathbf{x}^{T}B\mathbf{x}0. $$ 判斷實對稱矩陣正定性，常用兩種方法： 1. 檢查所有特徵值是否皆為正。 2. 使用 Sylvester 判準：所有左上角主子矩陣的行列式皆為正。 本題矩陣可寫成 $$ B= \begin{pmatrix} \beta&1&1\ 1&\beta&1\ 1&1&\beta \end{pmatrix}. $$ --- 解題方法：利用特徵值 考慮向量 $$ \mathbf{u}= \begin{pmatrix} 1\1\1 \end{pmatrix}. $$ 計算得 $$ B\mathbf{u} = \begin{pmatrix} \beta+2\ \beta+2\ \beta+2 \end{pmatrix} = (\beta+2)\mathbf{u}. $$ 因此，$\beta+2$ 是 $B$ 的一個特徵值。 再考慮所有分量和為 $0$ 的向量，例如 $$ \mathbf{v}= \begin{pmatrix} 1\-1\0 \end{pmatrix}. $$ 則 $$ B\mathbf{v} = \begin{pmatrix} \beta-1\ 1-\beta\ 0 \end{pmatrix} = (\beta-1) \begin{pmatrix} 1\-1\0 \end{pmatrix} = (\beta-1)\mathbf{v}. $$ 同理，另一個與 $\mathbf{u}$ 垂直且分量和為 $0$ 的獨立向量，也會對應特徵值 $\beta-1$。 所以 $B$ 的三個特徵值為 $$ \lambda1=\beta+2,\qquad \lambda2=\beta-1,\qquad \lambda3=\beta-1. $$ 矩陣正定必須所有特徵值皆大於 $0$，因此 $$ \beta+20,\qquad \beta-10. $$ 其中 $\beta1$ 已經保證 $\beta+20$，故正定條件為 $$ \boxed{\beta1}. $$ 選項中的實數只有 $\beta=2$ 符合。 --- 選項分析 (A) $-1$ 此時特徵值為 $$ \lambda1=-1+2=1,\qquad \lambda2=\lambda3=-1-1=-2. $$ 存在負特徵值，因此矩陣不是正定矩陣。 故 (A) 錯誤。 --- (B) $0$ 此時特徵值為 $$ \lambda1=2,\qquad \lambda2=\lambda3=-1. $$ 存在負特徵值，因此不是正定矩陣。 故 (B) 錯誤。 --- (C) $1…

Question 6

Determine $$ \lim{m	o\infty} \begin{pmatrix} -\frac{1}{2}-2i&4i&\frac{1}{2}+5i\ 1+2i&-3i&-1-4i\ -1-2i&4i&1+5i \end{pmatrix}^{m}. $$ (A) $1$ (B) $-1$ (C) $0$ (D) $i$ (E) Does not exist

Accepted Answer

核心觀念 本題考查矩陣冪次極限與特徵值的關係。若矩陣 $A$ 可對角化，且 $$ A=PDP^{-1}, $$ 則 $$ A^m=PD^mP^{-1}. $$ 因此，只要特徵值中存在模長為 $1$ 且不是 $1$ 的複數，例如 $i$、$-i$，其冪次會週期性振盪，矩陣極限便不存在。 --- 解題方法 令題目中的矩陣為 $A$。計算其特徵多項式。先求三個基本量： $$ \operatorname{tr}(A)=\frac12, $$ $$ \det(A)=\frac12. $$ 另外，由 $$ \operatorname{tr}(A^2) = \left(\operatorname{tr}Aight)^2-2s2, $$ 其中 $s2$ 為特徵值兩兩乘積之和。直接計算可得 $$ \operatorname{tr}(A^2)=-\frac74. $$ 因此 $$ s2 = \frac{\left(\frac12ight)^2-\left(-\frac74ight)}{2} =1. $$ 所以特徵多項式為 $$ p(\lambda) = \lambda^3-\frac12\lambda^2+\lambda-\frac12. $$ 因式分解得 $$ p(\lambda) = \left(\lambda-\frac12ight)(\lambda^2+1) = \left(\lambda-\frac12ight)(\lambda-i)(\lambda+i). $$ 故 $A$ 的三個相異特徵值為 $$ \lambda1=\frac12,\qquad \lambda2=i,\qquad \lambda3=-i. $$ 三個特徵值相異，因此 $A$ 可對角化。存在可逆矩陣 $P$，使得 $$ A=P \begin{pmatrix} \frac12&0&0\ 0&i&0\ 0&0&-i \end{pmatrix} P^{-1}. $$ 於是 $$ A^m = P \begin{pmatrix} \left(\frac12ight)^m&0&0\ 0&i^m&0\ 0&0&(-i)^m \end{pmatrix} P^{-1}. $$ 其中 $$ \left(\frac12ight)^m\longrightarrow 0, $$ 但

Question 7

Consider a regular transition matrix for a three-state Markov chain, with the initial probability vector

\begin{pmatrix} 0.3\\ 0.3\\ 0.4 \end{pmatrix},

and transition matrix

\begin{pmatrix} 0.6&0.1&0.1\\ 0.1&0.9&0.2\\ 0.3&0&0.7 \end{pmatrix}.

Find the proportions of objects eventually.

(A)

\begin{pmatrix} 0.3\\ 0.3\\ 0.4 \end{pmatrix}

(B)

\begin{pmatrix} 0.2\\ 0.4\\ 0.4 \end{pmatrix}

(C)

\begin{pmatrix} 0.2\\ 0.5\\ 0.3 \end{pmatrix}

(D)

\begin{pmatrix} 0.2\\ 0.6\\ 0.2 \end{pmatrix}

(E)

\begin{pmatrix} 0.3\\ 0.5\\ 0.2 \end{pmatrix}

Accepted Answer

核心觀念 本題考查「regular transition matrix（正則轉移矩陣）」的穩態分布。 若以欄向量表示各狀態機率，轉移關係為 $$ \mathbf{p}{n+1}=P\mathbf{p}n $$ 其中 $$ P= \begin{pmatrix} 0.6&0.1&0.1\ 0.1&0.9&0.2\ 0.3&0&0.7 \end{pmatrix}. $$ 因為每一欄的總和皆為 $1$： $$ 0.6+0.1+0.3=1,\quad 0.1+0.9+0=1,\quad 0.1+0.2+0.7=1, $$ 所以本題採用「欄隨機矩陣」的表示法。 正則馬可夫鏈經過足夠多次轉移後，會收斂至唯一穩態分布 $\boldsymbol{\pi}$，滿足 $$ P\boldsymbol{\pi}=\boldsymbol{\pi}, \qquad \pi1+\pi2+\pi3=1. $$ 初始向量只會影響前期分布，不會影響最終穩態比例。 --- 解題方法 令穩態分布為 $$ \boldsymbol{\pi}= \begin{pmatrix} x\y\z \end{pmatrix}. $$ 由 $P\boldsymbol{\pi}=\boldsymbol{\pi}$ 得 $$ \begin{pmatrix} 0.6&0.1&0.1\ 0.1&0.9&0.2\ 0.3&0&0.7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\y\z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\y\z \end{pmatrix}. $$ 因此三個方程式為 $$ 0.6x+0.1y+0.1z=x, $$ $$ 0.1x+0.9y+0.2z=y, $$ $$ 0.3x+0.7z=z. $$ 先由第三式整理： $$ 0.3x+0.7z=z $$ $$ 0.3x=0.3z $$ $$ x=z. $$ 第二式整理為 $$ 0.1x+0.9y+0.2z=y, $$ $$ 0.1x+0.2z=0.1y, $$ $$ y=x+2z. $$ 由 $x=z$ 可得 $$ y=x+2x=3x. $$ 再利用總機率為 $1$： $$ x+y+z=1, $$ $$ x+3x+x=1, $$ $$ 5x=1, $$ $$ x=0.2. $$ 所以 $$ y=3x=0.6,\qquad z=x=0.2. $$ 穩態分布為 $$ \boldsymbol{\pi} = \begin{pmatrix} 0.2\ 0.6\ 0.2 \end{pmatrix}. $$ 因此正確選項為 (D)。 --- 選項分析 - (A) $$ \begin{pmatrix} 0.3\0.3\0.4 \end{pmatrix} $$ 這是題目給定的初始機率向量，不是最終穩態分布…

Question 8

Which of the following vectors are linearly independent in the vector space $\mathbb{R}^3$? (A) $[1,1,3]^T$, $[0,2,1]^T$, $[2,0,5]^T$ (B) $[1,1,0]^T$, $[0,1,1]^T$, $[2,1,-1]^T$ (C) $[4,1,-3]^T$, $[1,0,-1]^T$, $[1,2,1]^T$ (D) $[1,-1,2]^T$, $[1,1,7]^T$, $[2,0,-1]^T$ (E) $[1,-1,2]^T$, $[1,0,7]^T$, $[2,-3,-1]^T$

Accepted Answer

核心觀念 向量組 $\mathbf{v}1,\mathbf{v}2,\mathbf{v}3\in\mathbb{R}^3$ 線性獨立的定義是： $$ c1\mathbf{v}1+c2\mathbf{v}2+c3\mathbf{v}3=\mathbf{0} $$ 只有在 $$ c1=c2=c3=0 $$ 時成立。 對於 $\mathbb{R}^3$ 中的三個向量，可將它們作為矩陣的三個欄向量。若矩陣行列式不為 $0$，則矩陣可逆，三個向量線性獨立；若行列式等於 $0$，則三個向量線性相依。 因此，本題只需逐一計算各選項所形成矩陣的行列式。 --- 解題方法 若三個向量為 $$ \mathbf{v}1= \begin{bmatrix} a1\a2\a3 \end{bmatrix},\quad \mathbf{v}2= \begin{bmatrix} b1\b2\b3 \end{bmatrix},\quad \mathbf{v}3= \begin{bmatrix} c1\c2\c3 \end{bmatrix}, $$ 則組成矩陣 $$ A= \begin{bmatrix} a1&b1&c1\ a2&b2&c2\ a3&b3&c3 \end{bmatrix}. $$ 判斷原則為： - $\det(A)
eq 0$：向量線性獨立。 - $\det(A)=0$：向量線性相依。 --- 選項分析 （A） 三個向量為 $$ \begin{bmatrix}1\1\3\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\2\1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}2\0\5\end{bmatrix}. $$ 形成矩陣 $$ A= \begin{bmatrix} 1&0&2\ 1&2&0\ 3&1&5 \end{bmatrix}. $$ 計算行列式： $$ \begin{aligned} \det(A) &=1 \begin{vmatrix} 2&0\ 1&5 \end{vmatrix} +2 \begin{vmatrix} 1&2\ 3&1 \end{vmatrix}\ &=1(10)+2(1-6)\ &=10-10\ &=0. \end{aligned} $$ 因此三個向量線性相依，選項（A）錯誤。 --- （B） 三個向量為 $$ \begin{bmatrix}1\1\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\1\1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}2\1\-1\end{bmatrix}. $$ 形成矩陣 $$ B= \begin{bmatrix} 1&0&2\ 1&1&1\ 0&1&-1 \end{bmatrix}. $$ 計算行列…

Question 9

Consider the system of linear equations: $$ \begin{aligned} x+2y+4z&=8,\ x+y+3z&=-2,\ x-3y-z&=0. \end{aligned} $$ Which of the following is NOT the least square solution of this system? (A) $[2,1,0]^T$ (B) $[-4,-2,3]^T$ (C) $[4,2,-1]^T$ (D) $[-2,-1,1]^T$ (E) $[-2,-1,2]^T$

Accepted Answer

核心觀念

本題考查「最小平方法（least squares method）」。

對線性方程組

A\mathbf{x}=\mathbf{b}

若方程組無精確解，則尋找一個 $\mathbf{x}$ ，使殘差平方和最小：

\|A\mathbf{x}-\mathbf{b}\|^2

此時最小平方法解必須滿足正規方程（normal equations）：

A^T A\mathbf{x}=A^T\mathbf{b}

本題中

A= \begin{bmatrix} 1&2&4\\ 1&1&3\\ 1&-3&-1 \end{bmatrix}, \qquad \mathbf{b}= \begin{bmatrix} 8\\ -2\\ 0 \end{bmatrix}.

解題方法

1. 建立正規方程

先計算 $A^T A$ ：

A^T A= \begin{bmatrix} 1&1&1\\ 2&1&-3\\ 4&3&-1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&2&4\\ 1&1&3\\ 1&-3&-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3&0&6\\ 0&14&14\\ 6&14&26 \end{bmatrix}.

再計算 $A^T\mathbf{b}$ ：

A^T\mathbf{b} = \begin{bmatrix} 1&1&1\\ 2&1&-3\\ 4&3&-1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 8\\ -2\\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6\\ 14\\ 26 \end{bmatrix}.

因此正規方程為

\begin{bmatrix} 3&0&6\\ 0&14&14\\ 6&14&26 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6\\14\\26 \end{bmatrix}.

整理三個方程式：

3x+6z=6,

14y+14z=14,

6x+14y+26z=26.

前兩式可化為

x+2z=2, \qquad y+z=1.

令 $z=t$ ，則

Question 10

Which of the following matrices is diagonalizable?

(A)

\begin{bmatrix} 3&0&0\\ 0&2&0\\ 0&1&2 \end{bmatrix}

(B)

\begin{bmatrix} -2&0&1\\ -6&-2&0\\ 19&5&-4 \end{bmatrix}

(C)

\begin{bmatrix} 0&0&3\\ 0&0&0\\ 0&0&1 \end{bmatrix}

(D)

\begin{bmatrix} 19&-9&-6\\ 25&-11&-9\\ 17&-9&-4 \end{bmatrix}

(E)

\begin{bmatrix} 1&0&0\\ 1&2&0\\ -3&5&2 \end{bmatrix}

Accepted Answer

核心觀念 矩陣 $A$ 可對角化，是指存在可逆矩陣 $P$，使得 $$ P^{-1}AP=D $$ 其中 $D$ 為對角矩陣。等價地，$A$ 必須具有一組由特徵向量組成的基底。 對於 $n	imes n$ 矩陣： - 若有 $n$ 個相異特徵值，必定可對角化。 - 若某特徵值的代數重數大於 $1$，則其特徵空間的維度必須等於代數重數。 - 特徵空間維度小於代數重數時，矩陣不可對角化。 本題各矩陣皆為實矩陣，採實數範圍討論對角化。 --- 解題方法 先利用三角矩陣的對角元素判斷特徵值，再針對重根求特徵空間維度。若特徵值皆相異，則可直接判定可對角化；若有重根，則比較代數重數與幾何重數。 --- 選項分析 (A) $$ A= \begin{bmatrix} 3&0&0\ 0&2&0\ 0&1&2 \end{bmatrix} $$ 此矩陣為下三角矩陣，因此特徵值為對角元素： $$ \lambda=3,2,2 $$ 特徵值 $2$ 的代數重數為 $2$。求其特徵空間： $$ A-2I= \begin{bmatrix} 1&0&0\ 0&0&0\ 0&1&0 \end{bmatrix} $$ 令 $x=(x1,x2,x3)^T$，則 $$ (A-2I)x=0 $$ 給出 $$ x1=0,\qquad x2=0 $$ 而 $x3$ 任意，因此 $$ E2=\left\{ \begin{bmatrix} 0\0\t \end{bmatrix}:t\in\mathbb R ight\} $$ 所以 $$ \dim E2=1 $$ 但 $\lambda=2$ 的代數重數為 $2$，幾何重數不足，故不可對角化。 因此 (A) 錯誤。 --- (B) $$ B= \begin{bmatrix} -2&0&1\ -6&-2&0\ 19&5&-4 \end{bmatrix} $$ 計算特徵多項式： $$ \det(\lambda I-B) = \begin{vmatrix} \lambda+2&0&-1\ 6&\lambda+2&0\ -19&-5&\lambda+4 \end{vmatrix} $$ 展開得 $$ \det(\lambda I-B) =(\lambda+2)^2(\lambda+4)-(19\lambda+8) $$ 整理為 $$ \det(\lambda I-B) =\lambda^3+8\lambda^2+\lambda+8 $$ 因式分解： $$ \lambda^3+8\lambda^2+\lambda+8 =(\lambda+8)(\lambda^2+1) $$ 因此特徵值為 $$ \lambda=-8,\quad \lambda=i,\quad \lambda=-i $$ 在實數範圍內，只有一個實特徵值 $-8$，不可能取得三個線性…

Question 11

Suppose that the characteristic polynomial of a matrix $A$ is $$ p(\lambda)=\lambda(\lambda-1)(\lambda-2)^2(\lambda+3)^3. $$ Which of the following statements about the matrix $A$ is correct? (A) The size of $A$ is $4	imes4$. (B) $A$ is invertible. (C) $\det(A)=-128$. (D) $(2I-A)x=0$ has nontrivial solutions. (E) $A$ has nullity $0$.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查特徵多項式與矩陣基本性質的關係： 1. 特徵多項式的次數等於矩陣的階數。 2. 若 $\lambda0$ 是特徵多項式的根，則 $\lambda0$ 是矩陣 $A$ 的特徵值。 3. 矩陣 $A$ 可逆的充分必要條件是 $0$ 不是特徵值。 4. 方程式 $(\lambda0 I-A)x=0$ 有非零解，等價於 $\lambda0$ 是 $A$ 的特徵值。 5. 矩陣的 nullity 為零，等價於矩陣可逆。 題目給定 $$ p(\lambda)=\lambda(\lambda-1)(\lambda-2)^2(\lambda+3)^3. $$ 其根及代數重數為： - $\lambda=0$，代數重數為 $1$ - $\lambda=1$，代數重數為 $1$ - $\lambda=2$，代數重數為 $2$ - $\lambda=-3$，代數重數為 $3$ --- 解題方法 先計算特徵多項式的總次數： $$ \deg p(\lambda)=1+1+2+3=7. $$ 因此 $A$ 是 $7	imes 7$ 矩陣。 接著觀察 $\lambda=2$ 是特徵多項式的根，因此 $2$ 是 $A$ 的特徵值。依照特徵值定義，存在非零向量 $x$ 滿足 $$ Ax=2x. $$ 移項可得 $$ (2I-A)x=0. $$ 因為存在非零解 $x
eq 0$，所以 $(2I-A)x=0$ 具有非平凡解。 因此正確選項為 (D)。 --- 選項分析 (A) The size of $A$ is $4	imes4. 錯誤。 $A$ 的特徵多項式次數等於矩陣階數，而 $$ \deg p(\lambda)=7. $$ 所以 $A$ 應為 $7	imes7$ 矩陣，不是 $4	imes4$ 矩陣。 --- (B) $A$ is invertible. 錯誤。 由特徵多項式可知 $\lambda=0$ 是 $A$ 的特徵值。也就是存在非零向量 $x$ 使得 $$ Ax=0. $$ 因此 $A$ 的零空間包含非零向量，$A$ 的零空間不只有零向量，故 $A

Question 12

Let $A$ be an $n$ by $n$ matrix. Which of the following statement is NOT identical to others? (A) $Ax=0$ has a nontrivial solution. (B) The rank of $A$ is less than $n$. (C) The dimension of $A$'s null space is positive. (D) $A$ is not diagonalizable. (E) The singular values of $A$ are not all positive.

Accepted Answer

核心觀念 本題比較兩類矩陣性質： 1. 可逆性與零空間（null space） - $Ax=0$ 是否有非平凡解 - $A$ 的 rank 是否小於 $n$ - $A$ 的 null space 維度是否大於 $0$ - $A$ 是否有零奇異值 對於 $n	imes n$ 矩陣，這些條件彼此等價，皆表示 $A$ 不可逆。 2. 對角化（diagonalizability） $A$ 是否可對角化，取決於是否具有足夠多的線性獨立特徵向量，與 $A$ 是否可逆不是同一件事。 --- 解題方法 先將選項 A、B、C、E 轉換成相同的線性代數條件。 對 $n	imes n$ 矩陣 $A$，秩－零度定理為 $$ \operatorname{rank}(A)+\operatorname{nullity}(A)=n. $$ 其中： - $\operatorname{rank}(A)$ 是 $A$ 的欄空間維度； - $\operatorname{nullity}(A)$ 是 $A$ 的零空間維度。 因此， $$ \operatorname{nullity}(A)0 \iff \operatorname{rank}(A)<n. $$ 而 $Ax=0$ 有非平凡解，正是表示存在某個 $x
eq 0$ 使得 $Ax=0$，也就是 $$ \operatorname{nullity}(A)0. $$ 對奇異值而言，$A$ 有零奇異值當且僅當 $A$ 不滿秩。因此「奇異值不全為正」也等價於 $A$ 不可逆。 所以 A、B、C、E 都描述同一件事；D 描述的是另一種性質。 --- 選項分析 (A) $Ax=0$ has a nontrivial solution. 「非平凡解」表示存在 $x
eq 0$，使得 $$ Ax=0. $$ 若存在這樣的非零向量，則 $A$ 的零空間包含非零向量，因此 $$ \dim(\operatorname{Null}(A))0. $$ 這也代表 $A$ 的欄向量線性相依，故 $$ \operatorname{rank}(A)<n. $$ 因此 A 與 B、C、E 等價。 --- (B) The rank of $A$ is less than $n$. 對一個 $n	imes n$ 矩陣而言， $$ \operatorname{rank}(A)<n $$ 表示 $A$ 不滿秩，因此其欄向量線性相依，存在非零向量 $x$ 滿足 $$ Ax=0. $$ 由秩－零度定理， $$ \operatorname{nullity}(A) =n-\operatorname{rank}(A)0. $$ 所以 B 與 A、C、E 等價。 --- (C) The dimension of $A$'s null space is positive. 此選項直接表示 $$…

Question 13

Let $v1,\ldots,vn$ be vectors in a vector space $V$ for $n0$. Which statement is NOT correct? (A) If the dimension of $V$ is $n$, and $v1,\ldots,vn$ span $V$, then $v1,\ldots,vn$ are linearly independent. (B) If the dimension of $V$ is $m$, and $mn$, then $v1,\ldots,vn$ can be extended to form a basis for $V$. (C) If the dimension of $V$ is $m$, and $m<n$, then $v1,\ldots,vn$ are linearly dependent. (D) If both $\{v1,\ldots,vn\}$ and $\{u1,\ldots,um\}$ are bases for a vector space $V$, then $n=m$. (E) A vector $v$ in $\operatorname{Span}(v1,\ldots,vn)$ can be written uniquely as a linear combination of $v1,\ldots,vn$ if and only if $v1,\ldots,vn$ are linearly independent.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查向量組的三個基本觀念： 1. 線性獨立與張成 - 向量組若線性獨立，表示線性組合的表示法唯一。 - 向量組若張成空間，表示空間中的每個向量都能由此向量組表示。 2. 維度與向量個數的關係 - 在 $m$ 維向量空間中，超過 $m$ 個向量必線性相依。 - $m$ 維空間的一組基底恰有 $m$ 個向量。 - 線性獨立向量組可以延伸成一組基底。 3. 基底的性質 - 基底同時具備「線性獨立」與「張成整個向量空間」兩項條件。 本題的關鍵在於：一組向量能否延伸成基底，前提是該向量組本身必須線性獨立。 --- 解題方法 逐一檢查各選項是否符合線性代數基本定理。 最重要的判斷原則如下： - 在 $n$ 維空間中，$n$ 個張成整個空間的向量必線性獨立。 - 在 $m$ 維空間中，若有 $nm$ 個向量，必線性相依。 - 一組向量可延伸成基底的必要條件是該組向量線性獨立。 - 同一向量空間的所有基底具有相同的向量個數。 - 向量表示唯一 $\Longleftrightarrow$ 產生該表示的向量組線性獨立。 --- 選項分析 (A) 正確 若 $\dim V=n$，且 $v1,\ldots,vn$ 張成 $V$，則這 $n$ 個向量構成 $V$ 的一組生成集。 在 $n$ 維空間中，任何包含恰好 $n$ 個向量的生成集必為基底，因此必線性獨立。 也可由反證法理解：假設 $v1,\ldots,vn$ 線性相依，則其中至少有一個向量可由其他向量表示。刪除該向量後，剩下至多 $n-1$ 個向量仍會張成 $V$，表示 $V$ 可由少於 $n$ 個向量張成，與 $\dim V=n$ 矛盾。 因此 (A) 正確。 --- (B) 不正確，為本題答案 選項只說 $\dim V=m$ 且 $mn$，就聲稱 $v1,\ldots,vn$ 可以延伸成 $V$ 的基底。 這個敘述缺少重要前提：$v1,\ldots,vn$ 必須線性獨立。 只有當向量組線性獨立時，才能加入其他向量，逐步延伸成一組基底。若原本的向量組已線性相依，加入更多向量後不可能變成線性獨立，因此無法成為基底。 例如令 $V=\mathbb{R}^3$，則 $\dim V=3$。取 $$ n=2,\qquad v1=(0,0,0),\qquad v2=(0,0,0). $$ 此時 $m=32=n$，但 $\{v1,v2\}$ 線性相依。無論加入多少向量，集合中仍包含零向量，必然線性相依，不可能延伸成 $\mathbb{R}^3$ 的基底。 因此 (B) 按照題目字面敘述是不正確的。 正確敘述應為： 若 $\dim V=m$、$mn$，且 $v1,\ldots,vn$ 線性獨立，則 $v1,\ldots,vn$ 可以延伸成 $V$ 的一組基底。 這也是官方答案判定為 B 的原因。 --- (C) 正確

Question 14

Which one is NOT an eigenvalue of $$ A= \begin{bmatrix} 4&0&7&3\ 1&3&1&2\ 0&0&2&0\ 1&0&5&2 \end{bmatrix}? $$ (A) $1$ (B) $2$ (C) $3$ (D) $4$ (E) $5$

Accepted Answer

核心觀念 若 $\lambda$ 是矩陣 $A$ 的 eigenvalue，則必須滿足 $$ \det(A-\lambda I)=0 $$ 其中 $I$ 為 $4	imes 4$ 單位矩陣。也就是說，特徵值是 characteristic polynomial 的根。 本題矩陣為 $$ A= \begin{bmatrix} 4&0&7&3\ 1&3&1&2\ 0&0&2&0\ 1&0&5&2 \end{bmatrix}. $$ --- 解題方法 計算 $$ A-\lambda I= \begin{bmatrix} 4-\lambda&0&7&3\ 1&3-\lambda&1&2\ 0&0&2-\lambda&0\ 1&0&5&2-\lambda \end{bmatrix}. $$ 第三列只有一個非零元素，因此沿第三列展開行列式： $$ \det(A-\lambda I) =(2-\lambda) \begin{vmatrix} 4-\lambda&0&3\ 1&3-\lambda&2\ 1&0&2-\lambda \end{vmatrix}. $$ 接著對上述 $3	imes 3$ 行列式沿第二欄展開。第二欄只有中間元素 $3-\lambda$ 非零，因此 $$ \begin{aligned} \det(A-\lambda I) &=(2-\lambda)(3-\lambda) \begin{vmatrix} 4-\lambda&3\ 1&2-\lambda \end{vmatrix}\ &=(2-\lambda)(3-\lambda) \left[(4-\lambda)(2-\lambda)-3ight]. \end{aligned} $$ 整理最後一項： $$ \begin{aligned} (4-\lambda)(2-\lambda)-3 &=8-6\lambda+\lambda^2-3\ &=\lambda^2-6\lambda+5\ &=(\lambda-1)(\lambda-5). \end{aligned} $$ 因此 characteristic polynomial 的根為 $$ \lambda=1,\;2,\;3,\;5. $$ 所以 $1,2,3,5$ 都是 eigenvalue，而 $4$ 不是 eigenvalue。 --- 選項分析 - (A) $1$：錯誤選項 代入特徵方程式：

Question 15

Let $$ A= \begin{bmatrix} 4&6&-2\ -1&-1&1\ 0&0&\alpha \end{bmatrix}. $$ Which value of $\alpha$ can make $A$ defective? (A) No value of $\alpha$ can make $A$ defective. (B) $-2$ (C) $2$ (D) $0$ (E) $1$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查矩陣的特徵值、特徵空間，以及 defective matrix 的定義。 若矩陣 $A$ 的某個特徵值，其「幾何重數」小於「代數重數」，則矩陣無法找到足夠多的線性獨立特徵向量，稱為 defective，也就是不可對角化。 判斷原則為： $$ 	ext{幾何重數}<	ext{代數重數} \quad\Longrightarrow\quad A	ext{ defective} $$ 矩陣為上三角區塊形式，因此其特徵值可由對角區塊直接求得。 --- 解題方法 令 $$ A= \begin{bmatrix} 4&6&-2\ -1&-1&1\ 0&0&\alpha \end{bmatrix}. $$ 其特徵多項式為 $$ \det(A-\lambda I) = \det \begin{bmatrix} 4-\lambda&6&-2\ -1&-1-\lambda&1\ 0&0&\alpha-\lambda \end{bmatrix}. $$ 由於第三列前兩項為 $0$，可得 $$ \det(A-\lambda I) = (\alpha-\lambda) \det \begin{bmatrix} 4-\lambda&6\ -1&-1-\lambda \end{bmatrix}. $$ 計算 $2	imes 2$ 行列式： $$ \begin{aligned} \det \begin{bmatrix} 4-\lambda&6\ -1&-1-\lambda \end{bmatrix} &=(4-\lambda)(-1-\lambda)+6\ &=\lambda^2-3\lambda+2\ &=(\lambda-1)(\lambda-2). \end{aligned} $$ 因此 $A$ 的特徵值為 $$ 1,\quad 2,\quad \alpha. $$ 只有當 $\alpha=1$ 或 $\alpha=2$ 時，才會產生重根，才有機會 defective。因此只需詳細檢查這兩個值。 --- 檢查 $\alpha=1$ 此時特徵值 $1$ 的代數重數為 $2$。計算 $$ A-I= \begin{bmatrix} 3&6&-2\ -1&-2&1\ 0&0&0 \end{bmatrix}. $$ 令特徵向量為 $$ \begin{bmatrix}x\y\z\end{bmatrix}, $$ 則 $$ (A-I) \begin{bmatrix}x\y\z\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0\0\0\end{bmatrix} $$ 給出方程組 $$ \begin{cases} 3x+6y-2z=0,\ -x-2y+z=0. \end{cases} $$ 第二式乘以 $-3$ 得 $$ 3x+6y…

Question 16

Kim is at a train station, waiting to make a phone call. Two public telephone booths, next to each other, are occupied by two callers, and 11 persons are waiting in a single line ahead of Kim to call. If the duration of each telephone call is an independent exponential random variable with $\lambda=1/3$ , what is the variance of Kim’s waiting time? Kim’s waiting time is defined as the time interval from now to the moment that a phone is available for Kim to make his call.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查： - 指數分布的無記憶性 - 多個獨立指數分布取最小值 - 等待時間為多段獨立指數等待時間的總和 - 總和的變異數計算 每通電話時間服從指數分布： $$ X\sim \operatorname{Exp}(\lambda),\qquad \lambda=\frac13 $$ 其中 $\lambda$ 為服務率，單一通電話的平均時間為： $$ E[X]=\frac{1}{\lambda}=3 $$ --- 解題方法 兩個電話亭目前都有人使用。每一位通話者的剩餘通話時間仍服從參數 $\lambda$ 的指數分布，且彼此獨立。 當兩個電話亭都有人使用時，下一個電話亭空出的時間是兩個指數隨機變數的最小值。若 $$ X1,X2\sim \operatorname{Exp}(\lambda) $$ 則 $$ \min(X1,X2)\sim \operatorname{Exp}(2\lambda) $$ 因此，每一次「有一個電話亭空出」的等待時間，其服務率為： $$ 2\lambda=2\cdot \frac13=\frac23 $$ 所以每段等待時間 $Y$ 的變異數為： $$ \operatorname{Var}(Y)=\frac{1}{(2\lambda)^2} =\frac{1}{(2/3)^2} =\frac94 $$ --- 為什麼需要等待 12 次電話結束？ Kim 前面有 11 人排隊： 1. 第 1 次電話結束：第 1 位等待者進入電話亭。 2. 第 2 次電話結束：第 2 位等待者進入電話亭。 3. $\cdots$ 4. 第 11 次電話結束：第 11 位等待者進入電話亭。 5. 第 12 次電話結束：此時才有電話亭真正空出給 Kim 使用。 因此，Kim 的等待時間是 12 段相鄰電話結束間隔的總和： $$ T=Y1+Y2+\cdots+Y{12} $$ 由指數分布的無記憶性，每一段等待時間都服從 $\operatorname{Exp}(2\lambda)$，且各段相互獨立。因此：

Question 17

Let $X$ and $Y$ be independent random points from the interval $(-1,1)$. Find $$ E(\max(X,Y)). $$ (A) $\frac{2}{3}$ (B) $\frac{1}{2}$ (C) $\frac{1}{3}$ (D) $\frac{1}{4}$ (E) $0$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查： - 均勻分布（uniform distribution） - 最大值的期望值 - 次序統計量（order statistic） 依本題標準題意，$X$ 與 $Y$ 是從區間 $(-1,1)$ 中獨立且均勻隨機抽取的點，因此 $$ X,Y\sim \operatorname{Uniform}(-1,1). $$ 令 $$ M=\max(X,Y). $$ 要求的是 $E(M)$。 解題方法：利用累積分布函數 對 $-1<m<1$，有 $$ P(M\le m) = P(\max(X,Y)\le m). $$ 事件 $\max(X,Y)\le m$ 等價於 $X\le m$ 且 $Y\le m$，因此 $$ P(M\le m)=P(X\le m,\;Y\le m). $$ 由於 $X$、$Y$ 相互獨立， $$ P(M\le m)=P(X\le m)P(Y\le m). $$ 對於均勻分布 $X\sim\operatorname{Uniform}(-1,1)$， $$ P(X\le m)=\frac{m-(-1)}{1-(-1)} =\frac{m+1}{2}. $$ 所以 $$ FM(m)=P(M\le m) =\left(\frac{m+1}{2}ight)^2. $$ 對其微分，得到 $M$ 的機率密度函數： $$ fM(m)=\frac{d}{dm}FM(m) =\frac{m+1}{2}, \qquad -1<m<1. $$ 因此 $$ E(M) = \int{-1}^{1}m fM(m)\,dm = \int{-1}^{1}m\frac{m+1}{2}\,dm. $$ 計算如下： $$ \begin{aligned} E(M) &=\frac12\int{-1}^{1}(m^2+m)\,dm\ &=\frac12\left[\frac{m^3}{3}+\frac{m^2}{2}ight]{-1}^{1}\ &=\frac12\left[\left(\frac13+\frac12ight) -\left(-\frac13+\frac12ight)ight]\ &=\frac12\cdot\frac23\ &=\frac13. \end{aligned} $$ 所以 $$ E(\max(X,Y))=\frac13. $$ 另一種快速推導 令 $$ U=\frac{X+1}{2},\qquad V=\frac{Y+1}{2}, $$ 則 $U,V$ 為 $\operatorname{Uniform}(0,1)$，且

Question 18

A stick of length $1$ is broken into two pieces at a random point. Find the correlation coefficient and the covariance of these pieces. (A) $\frac{1}{2}$ (B) $-\frac{1}{2}$ (C) $\frac{1}{12}$ (D) $-\frac{1}{12}$ (E) $0$

Accepted Answer

核心觀念

本題考查隨機變數的期望值、變異數、共變異數（covariance）與相關係數（correlation coefficient）。

將切點到左端的長度定義為 $X$ ，則

X\sim U(0,1)

另一段長度為

Y=1-X

因為切點在長度 $1$ 的棒上等可能出現，所以 $X$ 在 $(0,1)$ 上均勻分布。

解題方法

1. 求兩段長度的關係

由

Y=1-X

可知 $X$ 增加時， $Y$ 必定等量減少，兩者呈完全負線性關係。

因此相關係數為

\rho_{X,Y}=-1

不過題目選項中沒有 $-1$ ，表示官方答案所對應的是「共變異數」。

2. 計算共變異數

共變異數定義為

\operatorname{Cov}(X,Y) =E(XY)-E(X)E(Y)

利用 $Y=1-X$ ，也可直接寫成

\operatorname{Cov}(X,Y) =\operatorname{Cov}(X,1-X)

由共變異數的線性性質：

\operatorname{Cov}(X,1-X) =\operatorname{Cov}(X,1)-\operatorname{Cov}(X,X)

常數與任何隨機變數的共變異數為 $0$ ，且

\operatorname{Cov}(X,X)=\operatorname{Var}(X)

所以

\operatorname{Cov}(X,Y)=-\operatorname{Var}(X)

對於 $X\sim U(0,1)$ ，

\operatorname{Var}(X) =\frac{(1-0)^2}{12} =\frac{1}{12}

因此

\boxed{\operatorname{Cov}(X,Y)=-\frac{1}{12}}

故依官方公布答案，選擇：

\boxed{\text{(D)}\ -\frac{1}{12}}

選項分析

(A) $\frac{1}{2}$

錯誤。兩段長度具有反向變動關係，共變異數應為負值，不可能是正的 $\frac{1}{2}$ 。

Question 19

A traffic light can be in one of the three states: Green (G), Red (R), and Yellow (Y). The light changes in a random fashion. At any one time, the light can be in only one state. The experiment consists of observing the state of the light.

Let a random variable $X(\cdot)$ be defined as follows:

X(G)=-1,\quad X(R)=0,\quad X(Y)=\pi.

Assume that $P(G)=P(Y)=0.5P(R)$ . What is $P(X\leq3)$ ?

Accepted Answer

核心觀念 本題考查： 1. 隨機變數的定義。 2. 事件 $X\leq 3$ 所對應的樣本結果。 3. 離散型機率的加法原理。 4. 機率總和必須等於 $1$。 隨機變數定義為： $$ X(G)=-1,\qquad X(R)=0,\qquad X(Y)=\pi $$ 且 $$ \pi\approx 3.141593 $$ 因此，$X\leq 3$ 時，只有 $G$ 與 $R$ 兩種狀態符合。 --- 解題方法 先判斷各狀態是否滿足 $X\leq 3$： - $G$ 狀態：$X(G)=-1\leq 3$，符合。 - $R$ 狀態：$X(R)=0\leq 3$，符合。 - $Y$ 狀態：$X(Y)=\pi3$，不符合。 因此： $$ \{X\leq 3\}=\{G,R\} $$ 所以： $$ P(X\leq 3)=P(G)+P(R) $$ 題目給定： $$ P(G)=P(Y)=0.5P(R) $$ 令： $$ P(R)=r $$ 則： $$ P(G)=P(Y)=\frac{1}{2}r $$ 由於三種狀態的機率總和為 $1$： $$ P(G)+P(R)+P(Y)=1 $$ 代入後： $$ \frac{1}{2}r+r+\frac{1}{2}r=1 $$ $$ 2r=1 $$ $$ r=\frac{1}{2} $$ 因此： $$ P(R)=\frac{1}{2} $$ 且： $$ P(G)=P(Y)=\frac{1}{4} $$ 最後： $$ P(X\leq 3)=P(G)+P(R) =\frac{1}{4}+\frac{1}{2} =\frac{3}{4} $$ --- 選項分析 (A) $\frac{1}{4}$：錯誤

Question 20

Let $X1,X2,\ldots,Xn$ be $n$ identical and independently distributed exponential random variables with $$ f{Xi}(x)=e^{-x}u(x), $$ where $$ u(x)= \begin{cases} 1,&x\geq0,\ 0,&	ext{otherwise}. \end{cases} $$ The maximum value for the probability density function, $f{Zn}(z)$, of the random variable $$ Zn=\max(X1,X2,\ldots,Xn) $$ occurs at $z=?$ (A) $\ln(n)$ (B) $\ln(-1)$ (C) $\ln\left(\frac{1}{n}ight)$ (D) $(1-e^{-1})^n$ (E) $n(1-e^{-1})^n$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查「最大值的機率密度函數」以及連續型隨機變數的最大值分布。 已知每個 $Xi$ 皆服從參數 $\lambda=1$ 的 exponential distribution： $$ f{Xi}(x)=e^{-x}u(x) $$ 因此其累積分布函數為 $$ FX(x)= \begin{cases} 1-e^{-x},&x\geq 0,\ 0,&x<0. \end{cases} $$ 令 $$ Zn=\max(X1,X2,\ldots,Xn) $$ 要求的是 $f{Zn}(z)$ 取得最大值時的 $z$，也就是此機率密度函數的 mode。 --- 解題方法 先求最大值的累積分布函數： $$ F{Zn}(z) =P(Zn\leq z) $$ 因為 $Zn$ 是所有 $Xi$ 的最大值，$Zn\leq z$ 等價於每一個 $Xi$ 都不超過 $z$，所以 $$ F{Zn}(z) =P(X1\leq z,\ldots,Xn\leq z) $$ 由於 $X1,\ldots,Xn$ 相互獨立， $$ F{Zn}(z) =\prod{i=1}^nP(Xi\leq z) =[FX(z)]^n $$ 當 $z\geq 0$ 時， $$ F{Zn}(z)=(1-e^{-z})^n $$ 對 $z$ 微分，得到 $Zn$ 的機率密度函數： $$ f{Zn}(z) =\frac{d}{dz}(1-e^{-z})^n $$ $$ f{Zn}(z) =n(1-e^{-z})^{n-1}e^{-z},\qquad z\geq 0 $$ 要找其最大值，可對函數取對數： $$ \ln f{Zn}(z) =\ln n-z+(n-1)\ln(1-e^{-z}) $$ 微分得 $$ \frac{d}{dz}\ln f{Zn}(z) =-1+(n-1)\frac{e^{-z}}{1-e^{-z}} $$ 令導數等於 $0$： $$ -1+(n-1)\frac{e^{-z}}{1-e^{-z}}=0 $$ 移項： $$ (n-1)e^{-z}=1-e^{-z} $$ $$ ne^{-z}=1 $$ 因此 $$ e^{-z}=\frac{1}{n} $$ 兩邊取自然對數： $$ -z=\ln\left(\frac1night) $$ 所以 $$ z=\ln n $$ 因此機率密度函數的最大值發生在 $$ \boxed{z=\ln n} $$ --- 為何此處確實是最大值 當 $z=0$ 時， $$ f{Zn}(0)=0 $$ 當 $z	o\infty$ 時，$e^{-z}	o 0$，因此 $$ f{Zn}(z)	o 0 $$

Question 21

$Y1,Y2,\ldots$ are independent and identically distributed random variables; the moment generating function of each of them is $$ M(t)=\left(\frac{1}{3}+\frac{2}{3}e^t\right)^{10}. $$ Let $$ X=\sum{n=1}^{3}Yn. $$ Find the probability mass function of $X$, $pX(x)$. (A) $pX(x)=e^{-10}\frac{10^x}{x!}$, $x=0,1,2,\ldots$ (B) $pX(x)=e^{-20}\frac{20^x}{x!}$, $x=0,1,2,\ldots$ (C) $pX(x)=\binom{20}{x}\left(\frac{2}{3}\right)^x\left(\frac{1}{3}\right)^{20-x}$, $x=0,1,\ldots,20$ (D) $pX(x)=\binom{30}{x}\left(\frac{2}{3}\right)^x\left(\frac{1}{3}\right)^{30-x}$, $x=0,1,\ldots,30$ (E) $pX(x)=\binom{x-1}{20-1}p^{20}(1-p)^{x-20}$, $x=20,21,22,\ldots$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查： 1. 由動差生成函數（moment generating function, MGF）辨認機率分布。 2. 獨立隨機變數和的動差生成函數： $$M{Y1+\cdots+Yn}(t)=\prod{i=1}^{n}M{Yi}(t)$$ 3. 二項分布的動差生成函數： 若 $Y\sim\operatorname{Binomial}(n,p)$，則 $$MY(t)=(1-p+pe^t)^n$$ 題目給定 $$ M(t)=\left(\frac{1}{3}+\frac{2}{3}e^tight)^{10} $$ 與二項分布公式比較可得 $$ Yn\sim\operatorname{Binomial}\left(10,\frac{2}{3}ight) $$ 因此，每個 $Yn$ 可視為進行 $10$ 次獨立試驗，每次成功機率為 $\frac{2}{3}$，而 $Yn$ 表示成功次數。 --- 解題方法 由 $$ X=Y1+Y2+Y3 $$ 且 $Y1,Y2,Y3$ 相互獨立，因此 $X$ 的動差生成函數為 $$ MX(t) =M{Y1}(t)M{Y2}(t)M{Y3}(t) $$ 由於三個隨機變數同分布， $$ MX(t)=\left[M(t)ight]^3 $$ 代入題目給定的 $M(t)$： $$ \begin{aligned} MX(t) &=\left[\left(\frac{1}{3}+\frac{2}{3}e^tight)^{10}ight]^3\ &=\left(\frac{1}{3}+\frac{2}{3}e^tight)^{30} \end{aligned} $$ 這正是二項分布 $\operatorname{Binomial}\left(30,\frac{2}{3}ight)$ 的動差生成函數，因此 $$ X\sim\operatorname{Binomial}\left(30,\frac{2}{3}ight) $$ 二項分布的機率質量函數為 $$ pX(x)=P(X=x) =\binom{30}{x} \left(\frac{2}{3}ight)^x \left(1-\frac{2}{3}ight)^{30-x} $$ 所以 $$ \boxed{ pX(x)=\binom{30}{x} \left(\frac{2}{3}ight)^x \left(\frac{1}{3}ight)^{30-x}, \quad x=0,1,\ldots,30 } $$ --- 選項分析 (A) $$ pX(x)=e^{-10}\frac{10^x}{x!} $$ 這是 Poisson 分布 $\operatorname{Poisson}(10)$ 的機率質量函數，其動差生成函數為 $$ M(t)=…

Question 22

A newly married couple decides to continue having children until they have one of each sex. If the probability of a child being a boy is $1/4$ and the probability of a child being a girl is $3/4$ , how many children should this couple expect?

Accepted Answer

核心觀念 本題考查： - 幾何分布（Geometric Distribution）的期望值 - 條件期望值 - 「直到出現一男一女」的停止條件 假設每個孩子的性別彼此獨立，且： $$ P(	ext{男})=\frac14,\qquad P(	ext{女})=\frac34 $$ 幾何分布的重點是：若每次成功機率為 $p$，則直到第一次成功所需的試驗次數期望值為： $$ E(N)=\frac1p $$ 解題方法 第一個孩子出生後，夫妻必定已經擁有其中一種性別，因此只需等待另一種性別出生。 分成兩種情況討論。 情況一：第一個孩子是男孩 其機率為： $$ P(	ext{第一個是男孩})=\frac14 $$ 此時還需要等待女孩。每次出生為女孩的機率是 $\frac34$，所以等待第一個女孩所需的孩子數期望為： $$ \frac{1}{3/4}=\frac43 $$ 加上已出生的第一個男孩，總孩子數期望為： $$ E(N\mid 	ext{第一個是男孩})=1+\frac43=\frac73 $$ 情況二：第一個孩子是女孩 其機率為： $$ P(	ext{第一個是女孩})=\frac34 $$ 此時還需要等待男孩。每次出生為男孩的機率是 $\frac14$，所以等待第一個男孩所需的孩子數期望為： $$ \frac{1}{1/4}=4 $$ 加上已出生的第一個女孩，總孩子數期望為： $$ E(N\mid 	ext{第一個是女孩})=1+4=5 $$ 依條件期望公式： $$ E(N) = P(	ext{第一個是男孩})E(N\mid 	ext{第一個是男孩}) + P(	ext{第一個是女孩})E(N\mid 	ext{第一個是女孩}) $$ 代入： $$ E(N) = \frac14\cdot\frac73+\frac34\cdot5 $$ $$ = \frac7{12}+\frac{15}{4} = \frac7{12}+\frac{45}{12} = \frac{52}{12} = \frac{13}{3} $$ 因此夫妻預期會生： $$ \boxed{\frac{13}{3}} $$ 個孩子。 選項分析

Question 23

The two random variables, $X$ and $Y$, are independent and exponentially distributed, each with mean $1/\lambda$. Let $$ Z=\frac{X}{X+2Y}. $$ Find $FZ(z)$, which is the cumulative distribution function of $Z$. (A) $$ FZ(z)=\frac{2}{\pi}\int0^z\frac{1}{1+x^2}\,dx= \begin{cases} \frac{2}{\pi}	an^{-1}z,&z\geq0,\ 0,&	ext{otherwise} \end{cases} $$ (B) $$ FZ(z)= \begin{cases} \frac{3z}{3z+1},&z\geq0,\ 0,&	ext{otherwise} \end{cases} $$ (C) $$ FZ(z)= \begin{cases} \frac{z}{z+1},&z\geq0,\ 0,&	ext{otherwise} \end{cases} $$ (D) $$ FZ(z)= \begin{cases} 0,&z<0,\ z,&0\leq z\leq1,\ 1,&z1 \end{cases} $$ (E) $$ FZ(z)= \begin{cases} 0,&z<0,\ \frac{2z}{1+z},&0\leq z\leq1,\ 1,&z1 \end{cases} $$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查： 1. 指數分布的機率密度函數： $$fX(x)=fY(y)=\lambda e^{-\lambda x},\qquad x,y\ge 0.$$ 2. 累積分布函數的定義： $$FZ(z)=P(Z\le z).$$ 3. 將含有兩個隨機變數的不等式，轉換成便於積分的形式。 4. $X,Y$ 相互獨立，因此聯合密度可寫成邊際密度的乘積。 由於 $X,Y\ge 0$，且 $$ Z=\frac{X}{X+2Y}, $$ 所以必有 $$ 0\le Z\le 1. $$ --- 解題方法 依照累積分布函數定義，計算 $$ FZ(z)=P\left(\frac{X}{X+2Y}\le zight). $$ 情況一：$z<0$ 因為 $Z\ge 0$，不可能有 $Z\le z$，因此 $$ FZ(z)=0. $$ 情況二：$0\le z\le 1$ 由於 $X+2Y0$，可直接交叉相乘： $$ \frac{X}{X+2Y}\le z $$ $$ X\le z(X+2Y) $$ $$ X\le zX+2zY $$ $$ (1-z)X\le 2zY. $$ 當 $0\le z<1$ 時，$1-z0$，因此 $$ X\le \frac{2z}{1-z}Y. $$ 令 $$ a=\frac{2z}{1-z}, $$ 則 $$ FZ(z)=P(X\le aY). $$ 固定 $Y=y$，由 $X$ 的條件分布可得 $$ P(X\le ay\mid Y=y) =1-e^{-\lambda ay}. $$ 再對 $Y$ 積分： $$ \begin{aligned} FZ(z) &=\int0^\infty P(X\le ay\mid Y=y)fY(y)\,dy\ &=\int0^\infty \left(1-e^{-\lambda ay}ight)\lambda e^{-\lambda y}\,dy. \end{aligned} $$ 拆開積分： $$ \begin{aligned} FZ(z) &=\int0^\infty \lambda e^{-\lambda y}\,dy -\int0^\infty \lambda e^{-\lambda(a+1)y}\,dy\ &=1-\frac{1}{a+1}\ &=\frac{a}{a+1}. \end{aligned} $$ 代回 $$ a=\frac{2z}{1-z}, $$ $$ \begin{aligned} FZ(z) &=\frac{\frac{2z}{1-z}}{1+\frac{2z}{1-z}}\ &=\frac{2z}{1-z+2z}\ &=\frac{2z}{1+z}. \end{aligned} $$ 因此對 $0\le z\le 1$， $$ FZ(z)=\frac{2z}{1+…

Question 24

We have some earthquake data that occurred in a region over years, summarized in the following table:

🖼️【此處有附表，請對照原卷】

Magnitude	Frequency (times/year)
$M<3$	$150$
$3\leq M<4$	$40$
$4\leq M<5$	$15$
$5\leq M<6$	$6$
$6\leq M$	$2$

Assume that earthquakes are independent rare events and their occurrences are homogeneous over time. Under these assumptions, the number of earthquake events follows Poisson distribution. Estimate the probability of having earthquakes with magnitude $M\geq5$ in the next month.

本題附圖正在準備中，以下為原卷對應頁面：

Accepted Answer

核心觀念 本題考查 Poisson distribution（卜瓦松分布）在稀有事件計數上的應用。 對於平均發生率為 $\lambda$ 的事件，某段期間內至少發生一次的機率為： $$ P(N\geq 1)=1-P(N=0)=1-e^{-\lambda} $$ 表中震度 $M\geq 5$ 的地震包括： - $5\leq M<6$：每年 $6$ 次 - $6\leq M$：每年 $2$ 次 因此每年平均發生次數為： $$ 6+2=8 $$ 解題方法 題目要求計算「下一個月發生震度 $M\geq 5$ 地震」的機率。 年平均發生率為 $8$ 次，因此一個月的 Poisson 平均值為： $$ \lambda{	ext{month}}=8	imes \frac{1}{12}=\frac{2}{3} $$ 令 $N$ 表示下一個月發生震度 $M\geq 5$ 的地震次數，則： $$ N\sim \operatorname{Poisson}\left(\frac{2}{3}ight) $$ 「有地震」表示至少發生一次，因此： $$ \begin{aligned} P(N\geq 1) &=1-P(N=0)\ &=1-\frac{e^{-2/3}(2/3)^0}{0!}\ &=1-e^{-2/3}\ &\approx 1-0.5134\ &=0.4866 \end{aligned} $$ 換算為百分比： $$ 0.4866\approx 48.7\% $$ 所以正確答案為 (C)。

Question 25

Which of the following statements are correct?

(1) Statistical independence implies no correlation.

(2) No correlation implies statistical independence.

(3) Statistical independence and no correlation are equivalent.

(4) In a simple linear regression problem, a large value of the least square estimate for the slope coefficient implies a strong association between the response and the explanatory variables.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查三個觀念： 1. 統計獨立（statistical independence） 2. 相關係數為零（no correlation） 3. 簡單線性迴歸的斜率估計值與關聯強度 1. 統計獨立 若隨機變數 $X$ 與 $Y$ 統計獨立，表示知道 $X$ 的資訊不會改變 $Y$ 的機率分布。連續型變數可表示為： $$ f{X,Y}(x,y)=fX(x)fY(y) $$ 在變異數有限的情況下，獨立會推出共變異數為零： $$ \operatorname{Cov}(X,Y) =E[XY]-E[X]E[Y] =0 $$ 因此相關係數也為零： $$ ho{X,Y} = \frac{\operatorname{Cov}(X,Y)} {\sigmaX\sigmaY} =0 $$ 所以： $$ 	ext{統計獨立} \Longrightarrow 	ext{無相關} $$ 但反方向通常不成立。 2. 無相關不代表獨立 「無相關」通常只表示線性關係不存在，也就是： $$ \operatorname{Cov}(X,Y)=0 $$ 這並不排除 $X$ 與 $Y$ 之間存在非線性關係。 例如令 $X$ 為平均數為 $0$ 的對稱分布，並令： $$ Y=X^2 $$ 此時 $Y$ 完全由 $X$ 決定，因此 $X$ 與 $Y$ 不獨立；但： $$ \operatorname{Cov}(X,Y) = \operatorname{Cov}(X,X^2) = E[X^3]-E[X]E[X^2] =0 $$ 其中 $E[X]=0$，且對稱分布使 $E[X^3]=0$。因此 $X$ 與 $Y$ 無相關，但並不獨立。 3. 迴歸斜率與關聯強度 在簡單線性迴歸中： $$ Y=\beta0+\beta1X+\varepsilon $$ 最小平方法所得的斜率估計值為： $$ \hat{\beta}1 = \frac{\sum{i=1}^{n}(xi-\bar{x})(yi-\bar{y})} {\sum{i=1}^{n}(xi-\bar{x})^2} $$ 也可以寫成： $$ \hat{\beta}1 = r{XY}\frac{sY}{sX} $$ 其中： - $r{XY}$：樣本相關係數 - $sX$：$X$ 的樣本標準差 - $sY$：$Y$ 的樣本標準差 可見斜率大小不只由相關係數決定，還受到 $X$、$Y$ 的測量單位與尺度影響。因此，大的 $\hat{\beta}1$ 不一定代表 $X$ 與 $Y$ 有強烈關聯。 判斷關聯強度通常應觀察： - $|r{XY}|$ 是否接近 $1$ - $R^2$ 是否較大 - 散佈圖中的點是否緊密分布在迴歸線附近 解題方法 逐一判斷四個敘述： - 獨立是否能推出無相關？ - 無相關是否能推出獨立？ - 兩者是否互相等價？ - 迴歸斜率的絕…

Question 26

Hospital A is experimenting with an AI-assisted system for judging the status ( $+$ or $-$ ) of a certain disease. A pilot study is conducted to compare the results assessed by the AI system and a trained doctor. Fifty patients are recruited, and the results are reported in the following table:

🖼️【此處有附表，請對照原卷】

Patient	AI-assisted System	Trained Doctor
$1$	$-$	$-$
$2$	$-$	$-$
$3$	$+$	$-$
$4$	$+$	$+$
$5$	$-$	$-$
$6$	$+$	$+$
$7$	$+$	$-$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
$50$	$-$	$-$

The goal of the study is to verify if the assessment from the AI System is consistent with that from a trained doctor. Which of the following statistical test can be used to answer the question?

本題附圖正在準備中，以下為原卷對應頁面：

Accepted Answer

核心觀念 本題比較的是同一批 50 位病人，分別接受： - AI-assisted System 判定 - Trained Doctor 判定 因此，每位病人的兩筆資料彼此配對，並非來自兩組不同病人。這是「配對樣本」的設計。 可將疾病狀態數值化： - $+$ 記為 $1$ - $-$ 記為 $0$ 對第 $i$ 位病人定義差值： $$ Di=X{i,	ext{AI}}-X{i,	ext{Doctor}} $$ 若 AI 與醫師的整體判定沒有系統性差異，則平均差值應接近 $0$： $$ H0:\muD=0 $$ 因此依本題官方命題意旨，採用 paired 2 sample $t$-test。 解題方法 判斷統計檢定可依序看三件事： 1. 兩種評估是否來自同一批受試者：是，同一位病人同時由 AI 與醫師判定。 2. 資料是否成對：是，每位病人的 AI 結果都與該病人的醫師結果配對。 3. 比較兩種判定結果的平均差異：將 $+$、$-$ 分別編碼為 $1$、$0$ 後，可分析每位病人的配對差值。 配對 $t$ 檢定的統計量為： $$ t=\frac{\overline{D}-0}{sD/\sqrt{n}} $$ 其中： - $\overline{D}$：50 位病人的平均配對差值 - $sD$：配對差值的樣本標準差 - $n=50$ 重點是先對每位病人計算差值，再檢定差值的平均數，而不是把 AI 與醫師的結果視為兩組獨立資料。 【答案】$ \boxed{	ext{(B) paired 2 sample }t	ext{-test}} $ 選項分析 (A) 5 independent 2 sample $t$-test：錯誤 此選項有兩個問題： 1. AI 與醫師評估的是同一批病人，資料具有配對關係，不是 independent samples。 2. 題目也沒有要進行「5 次獨立的兩樣本 $t$ 檢定」。 獨立兩樣本 $t$ 檢定適用於兩組彼此獨立的數值資料，例如比較兩組不同病人的平均血壓。 (B) paired 2 sample $t$-test：正確

Question 27

Based on the playing history of Team A and Team B, Team A has a $60\%$ chance of winning basketball in one game. Assume that the outcomes of their games are independent. Which of the following statements is correct? (A) Team A has a better chance of winning in 2-out-of-3 gameplay（$2$-out-of-$3$）rather than in 3-out-of-5 gameplay（$3$-out-of-$5$）. (B) Team A has a more than $70\%$ chance of winning in 2-out-of-3 gameplay. (C) For 2-out-of-3 gameplay, the chance of playing the third game is more than $40\%$. (D) Given that the third game takes place in 2-out-of-3 gameplay, Team B has a less than $40\%$ chance of winning the game. (E) None of the above

Accepted Answer

核心觀念 本題考「獨立重複試驗」與二項分布。 設 Team A 單場勝率為 $$ p=0.6 $$ Team B 單場勝率為 $$ q=1-p=0.4 $$ 各場結果彼此獨立，因此： - 「2-out-of-3」：先取得 2 勝者獲勝，最多進行 3 場。 - 「3-out-of-5」：先取得 3 勝者獲勝，最多進行 5 場。 - 第三場會進行，表示前兩場一勝一敗。 --- 解題方法 1. 第三場會進行的機率 前兩場必須一勝一敗，因此： $$ P(	ext{第三場進行}) =P(AB)+P(BA) $$ 其中 $A$ 表示 Team A 勝、$B$ 表示 Team A 敗。 $$ P(	ext{第三場進行}) =(0.6)(0.4)+(0.4)(0.6) =2(0.6)(0.4) =0.48 $$ 因為 $$ 0.480.40 $$ 所以選項 (C) 正確。 --- 選項分析 (A) Team A has a better chance of winning in 2-out-of-3 rather than in 3-out-of-5 gameplay. 2-out-of-3 中，Team A 至少取得 2 勝： $$ P{2/3} =P(	ext{2 勝})+P(	ext{3 勝}) $$ $$ =\binom{3}{2}(0.6)^2(0.4)+(0.6)^3 $$ $$ =3(0.36)(0.4)+0.216 =0.432+0.216 =0.648 $$ 3-out-of-5 中，Team A 至少取得 3 勝： $$ P{3/5} =\binom{5}{3}(0.6)^3(0.4)^2 +\binom{5}{4}(0.6)^4(0.4) +(0.6)^5 $$ $$ =10(0.216)(0.16)+5(0.1296)(0.4)+0.07776 $$ $$ =0.3456+0.2592+0.07776 =0.68256 $$ 因此： $$ P{2/3}=0.648<0.68256=P{3/5} $$ Team A 在 2-out-of-3 的勝率反而較低，所以 (A) 錯誤。 ---

Question 28

From the general knowledge, the population occurrence rate of asthma is $0.1$ for children who visit hospitals. A pediatrician moved his clinic to a new place and he found $9$ children with asthma among $50$ appointments in his first day at the new place. If the $50$ appointments are considered as Bernoulli random variables with $0$ and $1$ outcomes, the total number of asthma children, indicated as $X$ , should follow a Binomial distribution with probability $0.1$ under the general condition. He then makes the following guesses. Which one is a correct inference for the occurrence rate at the new place?

Accepted Answer

核心觀念 本題考查： 1. Bernoulli 與 Binomial 分布的關係。 2. 二項分布的期望值與標準差。 3. 統計假設檢定中的「右尾機率」與 $p$-value。 4. 「樣本比例較大」不等於「母體發生率確定增加」。 令每位兒童是否患有氣喘為 Bernoulli 隨機變數： $$ Yi= \begin{cases} 1, & 	ext{患有氣喘}\ 0, & 	ext{未患有氣喘} \end{cases} $$ 在一般情況下，氣喘發生率為 $p0=0.1$，且共有 $n=50$ 位兒童，因此氣喘兒童總數 $$ X=\sum{i=1}^{50}Yi $$ 服從二項分布： $$ X\sim \operatorname{Binomial}(50,0.1) $$ 觀察到的結果為 $X=9$，樣本比例為 $$ \hat p=\frac{9}{50}=0.18 $$ 題目要判斷的是：這個 $0.18$ 是否已經足以支持「新地點的氣喘發生率高於 $0.1$」。 可建立假設： $$ H0:p=0.1 $$ $$ H1:p0.1 $$ 這是右尾檢定。 --- 解題方法 在虛無假設 $H0:p=0.1$ 成立時，若觀察到 $X=9$，真正關心的不是只有剛好出現 $9$ 位，而是出現「至少同樣極端」結果的機率： $$ P(X\geq 9) $$ 因此： $$ P(X\geq9) = \sum{k=9}^{50} \binom{50}{k}(0.1)^k(0.9)^{50-k} \approx 0.058 $$ 這個右尾機率就是本題的 $p$-value。 以顯著水準 $\alpha=0.05$ 判斷： - 若 $p	ext{-value}<0.05$，拒絕 $H0$，認為有足夠證據支持發生率增加。 - 若 $p	ext{-value}\geq0.05$，不拒絕 $H0$，表示證據不足以認定發生率增加。 本題： $$ 0.0580.05 $$ 所以不能拒絕 $H0$。目前的 $9/50=0.18$ 仍可能只是隨機波動，尚不足以認定新地點的發生率確實增加。 --- 選項分析 (A) 錯誤 單一 Bernoulli 隨機變數的標準差為： $$ \sqrt{p(1-p)} = \sqrt{0.1(1-0.1)} = \sqrt{0.09} = 0.3 $$ 但 $X$ 是 $50$ 個獨立 Bernoulli 隨機變數的總和，其變異數為： $$ \operatorname{Var}(X)=np(1-p) $$ 因此標準差應為： $$ \sigmaX=\sqrt{np(1-p)} = \sqrt{50(0.1)(0.9)} = \sqrt{4.5} \approx 2.121 $$ 不能把單一變數的標準差直接乘以 $50$。正確關係是： $$ \sigma{	ex…

Question 29

A histogram of a dataset $X$ is plotted in Figure (i). The first quartile, median and the third quartile of the data are $10$ , $25$ , and $50$ . Which of the following statements is correct?

Figure (i):

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Figure (ii):

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

(A) The truncated mean of the central $50\%$ data should be

\frac{10+50}{2}=30.

(B) If another variable $Y$ is positively correlated with $X$ , the distribution of $Y$ must be skewed to the right as the distribution of $X$ .

(C) The mode is greater than $25$ .

(D) Since it is a skewed distribution, we can model the data with a $\chi^2$ distribution.

(E) Suppose we randomly draw $30$ samples with replacement from this dataset and take average to get $\bar{X}$ . The distribution of $\bar{X}$ is more likely to be the function $f_3(x)$ in Figure (ii) rather than the function $f_1(x)$ or $f_2(x)$ .

Accepted Answer

核心觀念 本題考查： 1. 四分位數、中位數與截尾平均數的關係。 2. 相關係數與分布偏態之間沒有必然關係。 3. 直方圖判斷眾數。 4. 偏態分布與 $\chi^2$ 分布的區別。 5. 中央極限定理（Central Limit Theorem, CLT）對樣本平均數分布的影響。 由圖可見，資料 $X$ 呈現「右偏分布」：左側資料較集中，右側拖著較長的尾巴。因此通常有 $$ 	ext{平均數}	ext{中位數}=25. $$ --- 解題方法 令母體平均數為 $\mu$、變異數為 $\sigma^2$。從此資料集中以「有放回」方式抽取 $n=30$ 個樣本，計算樣本平均數 $\bar X$。 根據中央極限定理，當樣本數夠大時， $$ \bar X \approx N\left(\mu,\frac{\sigma^2}{30}ight). $$ 因此，$\bar X$ 的分布具有兩個重要特徵： - 中心位於母體平均數 $\mu$； - 標準差為 $\displaystyle \frac{\sigma}{\sqrt{30}}$，比原始資料的分散程度小； - 即使原始資料右偏，樣本平均數的分布也會因平均化作用而趨近鐘形分布。 由於原始資料右偏，且中位數為 $25$，母體平均數應位於 $25$ 的右側。圖（二）中，$f3(x)$ 的中心位於較右側，符合樣本平均數分布中心位於 $\mu25$ 的特徵。因此官方答案為 E。 --- 選項分析 (A) 錯誤 中央 $50\%$ 的資料介於第一四分位數 $Q1=10$ 與第三四分位數 $Q3=50$ 之間。截尾平均數是這一段資料實際數值的平均，不是區間端點的中點。 $$ \frac{Q1+Q3}{2} = \frac{10+50}{2} = 30 $$ 只是四分位距區間的中點，不能直接視為中央 $50\%$ 資料的平均數。 只有在中央區間內的資料呈現適當對稱等特殊條件下，才可能等於 $30$。題目沒有提供足夠資訊保證這件事。 --- (B) 錯誤 $Y$ 與 $X$ 正相關，只表示當 $X$ 增加時，$Y$ 傾向增加。相關性主要描述兩變數之間的線性關係，不會決定 $Y$ 的分布形狀。 即使 $X$ 右偏，$Y$ 仍可能是： - 左偏分布； - 對稱分布； - 近似常態分布； - 另一種不同形狀的右偏分布。 因此，正相關不代表 $Y$ 必須具有與 $X$ 相同的右偏程度或右偏方向。 --- (C) 錯誤

Question 30

Which of the following is NOT a reason for conducting the paired-sample $T$-test? (A) The sample size is too small. (B) The treatments can be compared with homogeneous subjects. (C) The variation of measurements is too large compared to the variation related to the treatment. (D) The data collected are paired with positive correlations. (E) The subjects differ a lot in terms of their age, gender and ethnic groups.

Accepted Answer

核心觀念

本題考察「配對樣本 $T$ 檢定」（paired-sample $T$ -test）的適用情境，以及配對設計如何降低個體差異對實驗結果的干擾。

配對樣本 $T$ 檢定適用於兩組資料彼此相關，例如：

同一批受試者接受治療前、後的測量；
同一受試者接受兩種不同治療；
將特徵相近的受試者配成一對，再比較兩種處理；
左右眼、左右手等具有自然配對關係的資料。

其核心不是分別分析兩組平均數，而是先對每一對資料計算差值：

d_i=X_i-Y_i

再檢定差值的平均數 $\mu_d$ 是否為 $0$ ：

H_0:\mu_d=0

t=\frac{\bar d-0}{s_d/\sqrt{n}}

其中：

$\bar d$ ：配對差值的平均數；
$s_d$ ：配對差值的樣本標準差；
$n$ ：配對數，而非兩組資料總數。

配對的主要目的，是控制受試者之間的差異，使分析集中在「治療造成的差異」。

解題方法

判斷各選項是否為進行 paired-sample $T$ -test 的理由時，應先掌握配對設計的三項主要功能：

控制個體差異：例如年齡、性別、種族、健康狀況不同，會造成測量值本身差異。
降低誤差變異：若同一受試者接受兩種處理，個體間變異會被差值抵消。
利用配對資料的正相關：兩次測量高度相關時，計算差值可降低差值的變異，使治療效果較容易被偵測。

因此，配對樣本 $T$ 檢定的重點在於「資料是否具有配對或相關結構」，以及「配對是否能降低非治療因素造成的變異」，而不是單純看樣本數大小。

選項分析

(A) The sample size is too small.

正確答案，因為這不是採用 paired-sample $T$ -test 的根本理由。

樣本數很小時，確實可能使用 $T$ 檢定，但「樣本數小」只能說明可能需要使用 $T$ 分布，而不能決定資料應採用「配對」或「獨立」的分析方法。

判斷 paired-sample $T$ -test 的關鍵，是兩組觀測值是否具有一一對應或相關性。例如：

同一人治療前後的數值；
同一個案使用藥物甲與藥物乙後的結果；
年齡、性別相近的受試者配對比較。

若兩組資料彼此獨立，即使樣本數很小，也應考慮 independent-sample $T$ -test，而不是 paired-sample $T$ -test。

因此，「樣本數太小」不是進行配對樣本 $T$ 檢定的主要理由。

(B) The treatments can be compared with homogeneous subjects.

錯誤，這是採用配對設計的合理理由。

若受試者相對同質，或能將特徵相近的受試者配成一對，則比較兩種治療時，可以減少受試者本身差異造成的干擾。

例如，將年齡、性別及疾病嚴重程度相近的受試者配成一對，其中一人接受治療甲，另一人接受治療乙。此時比較的是每一對內的差異：

d_i=X_i-Y_i

由於同一對受試者的背景條件相近，差值較能反映治療本身的效果。

因此，讓治療能在同質受試者之間進行比較，是配對樣本分析的理由之一。

(C) The variation of measurements is too large compared to the variation related to the treatment.

錯誤，這是採用配對設計的重要理由。

國立清華大學 112 年 《資訊科學》

第 1 題5 分

第 2 題5 分

一、判斷 T1T_1T1​

二、判斷 T2T_2T2​

三、判斷 T3T_3T3​

第 3 題5 分

第 4 題5 分

第 5 題5 分

第 6 題5 分

第 7 題5 分

第 8 題5 分

核心觀念

解題方法

選項分析

（A）

（B）

（C）

第 9 題5 分

核心觀念

解題方法

1. 建立正規方程

第 10 題5 分

(A)

(B)

(C)

第 11 題5 分

第 12 題5 分

第 13 題5 分

第 14 題5 分

第 15 題5 分

第 16 題5 分

第 17 題5 分

第 18 題5 分

核心觀念

解題方法

1. 求兩段長度的關係

2. 計算共變異數

選項分析

(A) 12\frac{1}{2}21​

第 19 題5 分

第 20 題5 分

第 21 題5 分

第 22 題5 分

第 23 題5 分

情況一：z<0z<0z<0

情況二：0≤z≤10\le z\le 10≤z≤1

情況三：z>1z>1z>1

第 24 題5 分

第 25 題5 分

核心觀念

1. 統計獨立

2. 無相關不代表獨立

3. 迴歸斜率與關聯強度

解題方法

第 26 題5 分

第 27 題5 分

1. 第三場會進行的機率

(A) Team A has a better chance of winning in 2-out-of-3 rather than in 3-out-of-5 gameplay.

第 28 題5 分

第 29 題5 分

第 30 題5 分

核心觀念

解題方法

選項分析

(A) The sample size is too small.

(B) The treatments can be compared with homogeneous subjects.

(C) The variation of measurements is too large compared to the variation related to the treatment.

其他考古題

112 年國立清華大學的其他科目

國立清華大學《資訊科學》其他年度

國立清華大學 112 年《資訊科學》

一、判斷 $T_1$

二、判斷 $T_2$

三、判斷 $T_3$

(A) $\frac{1}{2}$

情況一： $z<0$

情況二： $0\le z\le 1$

情況三： $z>1$