國立清華大學 113 年《資訊科學》考古題與詳解

Question 1

A uniform disk of mass $m$ and radius $R$ (so the moment of inertia $I_{\mathrm{CM}}=\frac{1}{2}mR^2$ ) is rotating about its symmetric axis at an angular velocity $\omega_0$ . A ring of the same mass $m$ and radius $R$ originally at rest suddenly drops on the disk. The coefficient of kinetic friction between the disk and the ring is $\mu$ . How long does it take for the ring to reach a final angular velocity $\omega$ and rotate together with the disk as shown in the right figure? The gravitational acceleration is $g$ .

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Accepted Answer

核心觀念 本題考查： - 角動量守恆：摩擦力是系統內力，外力對轉軸的力矩為零。 - 動摩擦力：$fk=\mu N=\mu mg$。 - 轉動定律：$	au=I\alpha$。 - 圓盤與圓環在相對滑動期間，各自受到大小相等、方向相反的摩擦力矩。 圓盤的轉動慣量為 $$ Id=\frac{1}{2}mR^2 $$ 圓環視為薄環，其轉動慣量為 $$ Ir=mR^2 $$ 解題方法 設圓盤初始角速度為 $\omega0$，圓環初始靜止。 摩擦力大小為 $$ fk=\mu mg $$ 因此摩擦力矩大小為 $$ 	au=fkR=\mu mgR $$ 對圓環而言，摩擦力矩使其加速轉動： $$ \alphar=\frac{	au}{Ir} =\frac{\mu mgR}{mR^2} =\frac{\mu g}{R} $$ 所以經過時間 $t$ 後，圓環角速度為 $$ \omegar=\alphart=\frac{\mu g}{R}t $$ 對圓盤而言，摩擦力矩使其減速： $$ \alphad=-\frac{	au}{Id} =-\frac{\mu mgR}{\frac12mR^2} =-\frac{2\mu g}{R} $$ 因此圓盤角速度為 $$ \omegad=\omega0-\frac{2\mu g}{R}t $$ 當圓環與圓盤一起轉動時，兩者角速度相同，因此 $$ \omega0-\frac{2\mu g}{R}t = \frac{\mu g}{R}t $$ 整理得 $$ \omega0=\frac{3\mu g}{R}t $$ 故所需時間為 $$ \boxed{t=\frac{\omega0R}{3\mu g}} $$ 因此正確選項為 (B)。 共同轉動的最終角速度也可由角動量守恆求得： $$ \frac12mR^2\omega0 = \left(\frac12mR^2+mR^2ight)\omega $$ $$ \frac12\omega0=\frac32\omega $$

Question 2

Determine the height of the center of mass of a solid uniform pyramid that has four triangular faces and a square base with equal sides all of length $S$ as shown in the figure. The height is measured from the bottom of the pyramid.

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Accepted Answer

核心觀念 本題考查均勻實心金字塔的質心位置，以及正四角錐的幾何高度。 由題意及官方答案可知，此金字塔的底面為邊長 $S$ 的正方形，四個側面皆為邊長 $S$ 的正三角形。因此頂點在正方形底面的中心正上方，形成正四角錐。 均勻實心金字塔的質心位於「底面至頂點連線」上，且距離底面的高度為整個金字塔高度的 $\frac14$。 --- 解題方法 先求金字塔的實際高度 $h$。 正方形底面的中心到任一頂點的距離，是底面對角線的一半： $$ \frac{S\sqrt{2}}{2}=\frac{S}{\sqrt{2}} $$ 由於側面為邊長 $S$ 的正三角形，頂點至底面任一頂點的側稜長為 $S$。取「金字塔頂點、底面中心、底面頂點」形成直角三角形，利用畢氏定理： $$ h^2+\left(\frac{S}{\sqrt{2}}ight)^2=S^2 $$ 因此 $$ h^2=S^2-\frac{S^2}{2} =\frac{S^2}{2} $$ $$ h=\frac{S}{\sqrt{2}} =\frac{\sqrt{2}S}{2} $$ 均勻實心金字塔的質心高度為 $$ y{m CM}=\frac{h}{4} $$ 代入 $h=\frac{S}{\sqrt{2}}$： $$ y{m CM} =\frac{1}{4}\cdot\frac{S}{\sqrt{2}} =\frac{S}{4\sqrt{2}} $$ 所以選擇： $$ \boxed{	ext{(E)}\ \frac{S}{4\sqrt{2}}} $$ --- 選項分析 - (A) $\frac{S}{3}$：錯誤。 $\frac{h}{3}$ 是三角形面積或某些薄片幾何質心問題中常見的比例，但均勻實心金字塔的質心距離底面為 $\frac{h}{4}$，不是 $\frac{h}{3}$。 - (B) $\frac{\sqrt{3}S}{8}$：錯誤。

Question 3

Two speakers both produce sound wave of power $=400\pi$ Watt, frequency $=170$ Hz, and sound velocity $=340$ m/s. They act as point sources and propagate in all directions. The output of the two speakers are synchronized and have the same phase. They are placed at different locations and the distances between the speakers and the observer $P$ are $d_1=10$ m and $d_2=5$ m, respectively. What is the intensity of the sound wave detected by the observer? (The effect of interference should be considered.)

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Accepted Answer

核心觀念 本題考查： 1. 點聲源的聲強隨距離平方反比： $$I=\frac{P}{4\pi r^2}$$ 2. 聲波干涉時，必須考慮兩波到達觀察者 $P$ 的相位差。 3. 即使兩聲源「同相」發射，因傳播距離不同，到達 $P$ 時仍可能產生相位差。 --- 解題方法 聲源功率為 $$P=400\pi\ \mathrm{W}$$ 聲速與頻率分別為 $$v=340\ \mathrm{m/s},\qquad f=170\ \mathrm{Hz}$$ 因此波長為 $$\lambda=\frac{v}{f}=\frac{340}{170}=2\ \mathrm{m}$$ 兩聲源到觀察者的距離差為 $$\Delta d=|d1-d2|=|10-5|=5\ \mathrm{m}$$ 因此 $$\frac{\Delta d}{\lambda}=\frac{5}{2}=2.5$$ 相位差為 $$ \Delta\phi=2\pi\frac{\Delta d}{\lambda} =2\pi(2.5)=5\pi $$ 由於 $5\pi$ 與 $\pi$ 同相位，因此兩聲波到達 $P$ 時反相，產生部分抵消。 先分別計算兩聲波在 $P$ 點的聲強： 距離 $10\ \mathrm{m}$ 的聲源： $$I1=\frac{400\pi}{4\pi(10)^2}=1\ \mathrm{W/m^2}$$ 距離 $5\ \mathrm{m}$ 的聲源： $$I2=\frac{400\pi}{4\pi(5)^2}=4\ \mathrm{W/m^2}$$ 聲波振幅與聲強平方根成正比，因此可令兩波的振幅比例為 $$A1=\sqrt{I1}=1,\qquad A2=\sqrt{I2}=2$$ 由於兩波反相，合成振幅為 $$A{	ext{合}}=A2-A1=2-1=1$$ 合成聲強為 $$ I{	ext{合}}=A{	ext{合}}^2=1^2 =1\ \mathrm{W/m^2} $$

Question 4

Two thin lenses form a compound lens system. The front focal length (FFL) of this compound lens system is defined as the distance between a point source and the front lens so that the light passing this system will become parallel. In the figure, the two lenses have focal length $f_1=10$ cm and $f_2=-10$ cm, respectively, and are separated by a distance $d=5$ cm. What is the FFL of this compound lens system?

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Accepted Answer

核心觀念 本題考查： 1. 薄透鏡成像公式 $$\frac{1}{f}=\frac{1}{u}+\frac{1}{v}$$ 2. 平行光的條件：出射光平行時，等效於透鏡形成的像在無限遠。 3. 凹透鏡 $f2=-10	ext{ cm}$ 若要使出射光平行，入射光必須是「朝向凹透鏡右方 $10	ext{ cm}$ 處會聚」的光線。 設點光源到第一片透鏡的距離為 $x$，求其前焦距 FFL。 --- 解題方法 第二片透鏡為凹透鏡，焦距為 $$f2=-10	ext{ cm}$$ 要使光線通過第二片透鏡後變成平行光，依薄透鏡公式，第二片透鏡的物距必須為 $$u2=f2=-10	ext{ cm}$$ 負號表示這是虛物：入射光線必須朝向第二片透鏡右方 $10	ext{ cm}$ 處會聚。 兩片透鏡相距 $$d=5	ext{ cm}$$ 因此，第一片透鏡形成的像必須位於第二片透鏡右方 $10	ext{ cm}$ 處，也就是位於第一片透鏡右方 $$v1=d+10=5+10=15	ext{ cm}$$ 第一片透鏡為凸透鏡，焦距 $$f1=10	ext{ cm}$$ 由薄透鏡公式： $$\frac{1}{10}=\frac{1}{x}+\frac{1}{15}$$ 因此 $$ \frac{1}{x}=\frac{1}{10}-\frac{1}{15} =\frac{3-2}{30} =\frac{1}{30} $$ 所以 $$x=30	ext{ cm}$$ 故前焦距為 $$\boxed{\mathrm{FFL}=30	ext{ cm}}$$ --- 選項分析 - (A) $5	ext{ cm}$：錯誤 $5	ext{ cm}$ 是兩片透鏡之間的距離 $d$，不是點光源到第一片透鏡的距離。

Question 5

Which of the following statements is correct? (A) The surface charge density of a perfect conductor must be uniform. (B) The electric field line is the trajectory of a charged particle under electric field. (C) The conductor can be thought of as a dielectric material with dielectric constant $\kappa=0$. (D) If the electric potential at some position is zero, the electric field at that position must also be zero. (E) The surface of a perfect conductor is an equipotential surface.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查靜電平衡下理想導體（perfect conductor）的性質，以及電位 $V$、電場 $\mathbf{E}$、電場線與表面電荷密度之間的關係。 重要公式如下： $$ \mathbf{E}=-
abla V $$ 表示電場由電位的「空間變化率」決定，而非由某一點的電位數值單獨決定。 理想導體在靜電平衡時具有以下性質： 1. 導體內部電場為零。 2. 導體表面沒有切向電場。 3. 導體表面為等電位面。 4. 多餘電荷分布在導體表面。 5. 表面電荷密度通常與導體形狀及外部電場有關，不必均勻。 --- 解題方法 判斷本題的關鍵，是辨認各選項是否符合「靜電平衡下導體表面」的基本性質。 若導體表面存在切向電場 $\mathbf{E}{\parallel}$，表面上的自由電荷會受到 $$ \mathbf{F}=q\mathbf{E}{\parallel} $$ 的作用而沿著表面移動。因此在靜電平衡時必須有 $$ \mathbf{E}{\parallel}=0 $$ 由於電場是電位下降最快的方向，表面切向電場為零代表沿著導體表面移動時電位不變，所以導體表面為等電位面。 因此正確選項為 (E)。 --- 選項分析 (A) The surface charge density of a perfect conductor must be uniform. 錯誤。 理想導體表面的電荷密度不一定均勻，會受到導體幾何形狀與外部電場影響。 導體表面電荷密度與表面外側的法向電場關係為 $$ \sigma=\varepsilon0 E{\perp} $$ 在尖端、曲率半徑較小的區域，電場通常較強，因此表面電荷密度較大；在平坦或曲率較大的區域，電荷密度可能較小。 例如帶電的球形導體在完全對稱的情況下，表面電荷密度可以均勻；但不規則導體、尖端導體，或置於外部電場中的導體，表面電荷密度通常不均勻。 所以「必定均勻」的說法錯誤。 --- (B) The electric field line is the trajectory of a charged particle under electric field. 錯誤。 電場線表示空間中各點的電場方向，其切線方向與電場 $\mathbf{E}$ 相同。對正電荷而言，受力方向為電場方向；對負電荷而言，受力方向則與電場相反。 但是，電場線不必是帶電粒子的實際運動軌跡。粒子的運動由牛頓第二定律決定： $$ m\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2}=q\mathbf{E} $$ 電場決定的是加速度方向，粒子的速度還受到初速度與慣性的影響。因此粒子可能斜向進入電場，沿拋物線或其他曲線運動，而不會沿著單一條電場線前進。 只有在特殊條件下，例如粒子由靜止開始，且運動過程中速度方向始終與電場方向一致，粒子軌跡才可能與電場線…

Question 6

In the circuit, if the switch $S$ is closed for a long time, and is then opened. Just after the switch is opened, what is the potential difference across the inductor $L$ ?

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Accepted Answer

圖形資訊與合理假設 附上的原卷頁面僅看得到第 4、5 題，未包含第 6 題電路圖。以下依官方答案 C 所對應的電路關係作答：開關 $S$ 閉合時，$R1$ 被短路；開關打開後，電感 $L$、$R1$、$R2$ 串聯形成放電迴路。 核心觀念 本題考查： 1. 電感在直流穩態下相當於短路。 2. 電感中的電流不能瞬間改變： $$iL(0^+)=iL(0^-).$$ 3. 電感兩端電壓遵守 $$VL=L\frac{diL}{dt}.$$ 開關剛打開的瞬間，電感電流仍維持開關打開前的穩態電流，但電路總電阻已經改變，因此電感會產生電壓，使電流能繼續流動。 解題方法 開關閉合很久時，電路已達直流穩態，電感視為短路，且 $R1$ 被開關短路。因此穩態電流為 $$ I0=\frac{\mathcal{E}}{R2}. $$ 開關剛打開後，電感電流不能突變，所以 $$ iL(0^+)=I0=\frac{\mathcal{E}}{R2}. $$ 此時電流通過 $R1$ 與 $R2$，兩者串聯。根據克希荷夫電壓定律，電感兩端的電壓大小為 $$ |VL|=I0(R1+R2). $$ 代入 $I0$： $$ |VL| =\frac{\mathcal{E}}{R2}(R1+R2) =\frac{\mathcal{E}(R1+R2)}{R2}. $$ 因此選項為 $$ \boxed{\frac{\mathcal{E}(R1+R2)}{R2}}. $$ 電感電壓的正負號取決於題圖所定義的電壓極性；本題選項比較的是電位差大小。 選項分析

Question 7

What is the root-mean-square value of a triangular wave with its maximum voltage at $\pm V_{\max}$ and a period of $T$ ?

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Accepted Answer

核心觀念 本題考查週期波形的均方根值（root-mean-square value, RMS）： $$ V{\mathrm{rms}} =\sqrt{\frac{1}{T}\int0^T v^2(t)\,dt} $$ 三角波的電壓在 $-V{\max}$ 與 $+V{\max}$ 之間線性變化。由於 RMS 計算的是電壓平方的週期平均值，因此正、負半週的貢獻相同。 附圖掃描頁顯示的是第 4、5 題，未見本題三角波圖形；以下依題幹所述「最大電壓為 $\pm V{\max}$、週期為 $T$」的標準對稱三角波作答。 解題方法 利用三角波的四分之一週期。取其中由 $0$ 線性上升至 $V{\max}$ 的區段： $$ v(t)=\frac{4V{\max}}{T}t, \qquad 0\leq t\leq \frac{T}{4} $$ 因為四個四分之一週期在平方後具有相同貢獻，因此 $$ V{\mathrm{rms}}^2 = \frac{4}{T} \int0^{T/4} \left(\frac{4V{\max}}{T}t\right)^2dt $$ 計算得 $$ V{\mathrm{rms}}^2 = \frac{4}{T}\cdot \frac{16V{\max}^2}{T^2} \cdot \frac{(T/4)^3}{3} = \frac{V{\max}^2}{3} $$ 所以 $$ V{\mathrm{rms}} = \frac{V{\max}}{\sqrt{3}} $$ 選項分析

Question 8

A solid rod with length $L$, resistance $R$ and mass $M$ initially rotates with angular velocity $\omega$ in a uniform magnetic field $B$. The two ends of the rod are connected by a conducting wire without resistance. According to Lenz’s Law, the induced current will oppose the change of magnetic flux. In this case, the induced current will produce a torque to slow down the rotation speed. What is the torque? Take the pivot point as the origin. 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 (A) $\frac{\omega B^2L^4}{R}$ (B) $\frac{\omega BL^2}{R}$ (C) $\frac{\omega BL^2}{2R}$ (D) $\frac{\omega B^2L^4}{4R}$ (E) $0$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查旋轉導體中的動生電動勢、歐姆定律，以及載流導體在磁場中的安培力矩。 原卷附圖頁面未顯示第 8 題圖形；以下依題幹的標準配置，假設長度為 $L$ 的導棒以一端為樞軸，在垂直於旋轉平面的均勻磁場 $B$ 中旋轉。 解題方法 取距離樞軸 $r$ 的微小棒段 $dr$。 該處的線速度為 $$ v=\omega r $$ 微小棒段產生的動生電動勢為 $$ d\varepsilon=Bv\,dr=B\omega r\,dr $$ 整根導棒兩端的感應電動勢： $$ \varepsilon=\int0^L B\omega r\,dr =\frac{1}{2}B\omega L^2 $$ 由於兩端以無電阻導線相接，電路中的感應電流為 $$ I=\frac{\varepsilon}{R} =\frac{B\omega L^2}{2R} $$ 電流方向依 Lenz’s Law 產生反向力矩，以阻礙導棒旋轉。 導棒微小段 $dr$ 所受的磁力大小為 $$ dF=IB\,dr $$ 此力對樞軸的微小力矩為 $$ d	au=r\,dF=IBr\,dr $$ 因此總力矩大小為 $$ 	au=\int0^L IBr\,dr =IB\frac{L^2}{2} $$ 代入感應電流： $$ 	au= \frac{B\omega L^2}{2R} \cdot B\frac{L^2}{2} = \frac{\omega B^2L^4}{4R} $$ 所以感應力矩的方向與原本旋轉方向相反，大小為

Question 9

Which quantity cannot be measured by Hall effect? (A) The external magnetic field (B) The sign of the charge carriers (C) Electron’s charge to mass ratio (D) The type (N- or P-type) of semiconductor (E) The density of free electrons inside metal

Accepted Answer

核心觀念 Hall effect（霍爾效應）是導體或半導體中有電流通過時，若外加磁場垂直於電流方向，載子會受到 Lorentz force 而偏向導體側面，造成側向電位差，稱為 Hall voltage（霍爾電壓）。 載子受力為 $$ \vec{F}=q\left(\vec{E}+\vec{v}d	imes\vec{B}ight) $$ 在穩態下，載子受到的磁力與橫向電場力平衡： $$ qEH=qvdB $$ 因此 $$ EH=vdB $$ 對厚度為 $t$、電流為 $I$ 的試片，Hall voltage 可寫為 $$ VH=RH\frac{IB}{t} $$ 其中 $RH$ 為 Hall coefficient。單一載子模型下： $$ RH=\frac{1}{nq} $$ 式中： - $n$：自由載子密度 - $q$：載子電荷，包含大小與正負號 - $B$：外加磁場大小 Hall effect 的重要特徵是：公式中直接涉及載子電荷、載子密度、電流、磁場與試片幾何尺寸，但沒有出現載子質量 $m$。 解題方法 逐一檢查各選項是否能由 Hall voltage 或 Hall coefficient 得到。 Hall voltage 為 $$ VH=RH\frac{IB}{t} $$ 因此： - 已知電流、試片厚度與 Hall coefficient，可求外加磁場 $B$。 - Hall voltage 的正負可判斷載子電荷的正負。 - 由 Hall coefficient 可求自由載子密度 $n$。 - 由載子電荷的正負，可判斷半導體屬於 N-type 或 P-type。 - 電子電荷質量比 $e/m$ 需要同時涉及質量造成的動力學效應；Hall effect 的基本關係式沒有載子質量，因此不能直接測量。 所以官方答案為 (C)。 選項分析 (A) The external magnetic field 正確敘述。由 $$ VH=RH\frac{IB}{t} $$ 可整理為 $$ B=\frac{VHt}{RHI} $$ 因此在已知試片厚度 $t$、電流 $I$ 與 Hall coefficient $RH$ 的情況下，可由測得的 Hall voltage 求出外加磁場大小。Hall sensor 即是利用此原理測量磁場。 因此 (A) 不是答案。 (B) The sign of the charge carriers 正確敘述。載子偏轉方向取決於電荷的正負： - 電子帶負電，偏轉方向與正電荷載子相反。 - 電洞可視為帶正電載子，其 Hall voltage 極性與電子不同。 因此由 Hall voltage 的正負極性，可以判斷主要載子是正電荷或負電荷。 因此 (B) 不是答案。

Question 10

A cord is wrapped on a pulley (treated as a uniform solid disk) of mass $M$ and radius $R$ as shown in the figure. To one end of the cord, a block of mass $M$ is connected and to other end in (A) a force of $2Mg$ and in (B) a block of mass $2M$ . The cord does not slip relative to the pulley as the block falls. Let angular acceleration of the disk in A and B be $\alpha_A$ and $\alpha_B$ , respectively. So,

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Accepted Answer

核心觀念 本題考查「繩輪系統的牛頓第二定律」與「轉動定律」： 1. 繩子與滑輪間不打滑，因此 $$a=\alpha R$$ 2. 滑輪視為均勻實心圓盤，轉動慣量為 $$I=\frac{1}{2}MR^2$$ 3. 滑輪的轉動由兩側張力差造成： $$	au=I\alpha$$ 以下依圖示假設：外力 $2Mg$ 及質量 $2M$ 的物體皆位於另一端，且向下拉動繩子。 --- 解題方法：情況（A） 左側為質量 $M$ 的物體，右側施加向下外力 $2Mg$。設質量 $M$ 的物體向上加速度為 $aA$，則滑輪角加速度為 $$\alphaA=\frac{aA}{R}$$ 左側物體受力： $$T1-Mg=MaA$$ 因此 $$T1=M(g+aA)$$ 滑輪兩側的力矩差為 $$\left(2Mg-T1ight)R=I\alphaA$$ 代入 $I=\frac12MR^2$ 及 $\alphaA=aA/R$： $$ \left[2Mg-M(g+aA)ight]R =\frac12MR^2\frac{aA}{R} $$ 整理得 $$M(g-aA)R=\frac12MRaA$$ $$g-aA=\frac12aA$$ $$aA=\frac{2g}{3}$$ 所以 $$\alphaA=\frac{2g}{3R}$$ --- 解題方法：情況（B） 右側改接質量 $2M$ 的物體。設質量 $2M$ 向下、質量 $M$ 向上，兩者加速度大小皆為 $aB$： $$\alphaB=\frac{aB}{R}$$ 對左側質量 $M$： $$T1-Mg=MaB$$ 因此 $$T1=M(g+aB)$$ 對右側質量 $2M$： $$2Mg-T2=2MaB$$ 因此 $$T2=2M(g-aB)$$ 對滑輪使用轉動定律： $$\left(T2-T1ight)R=I\alphaB$$ 代入各式：

Question 11

The average power transferring along the string can be written as

$P=\frac{\mu v^a\omega^bA^c}{2},$

where $\mu$ is the mass density of the string, $\omega$ the angular frequency of the string wave, $A$ the amplitude, $v$ the speed. What is the value of $a+b+c$ ?

Accepted Answer

核心觀念 本題考查弦上正弦波的平均功率。弦波傳遞能量時，平均功率為 $$ P{	ext{avg}}=\frac{1}{2}\mu v\omega^2 A^2 $$ 其中： - $\mu$：弦的線密度 - $v$：波速 - $\omega$：角頻率 - $A$：振幅 與題目形式比較： $$ P=\frac{\mu v^a\omega^bA^c}{2} $$ 可直接得到： $$ a=1,\qquad b=2,\qquad c=2 $$ 因此 $$ a+b+c=1+2+2=5 $$ --- 解題方法與公式推導 設弦上的橫波為 $$ y(x,t)=A\sin(kx-\omega t) $$ 質點的橫向速度為 $$ \frac{\partial y}{\partial t} =-A\omega\cos(kx-\omega t) $$ 其最大速度為 $A\omega$。 弦上張力為 $T$，波速滿足 $$ v=\sqrt{\frac{T}{\mu}} $$ 因此 $$ T=\mu v^2 $$ 弦上某點傳遞的瞬時功率可表示為 $$ P(x,t)=-T\frac{\partial y}{\partial x}\frac{\partial y}{\partial t} $$ 由 $$ \frac{\partial y}{\partial x} =kA\cos(kx-\omega t) $$ 以及 $$ \frac{\partial y}{\partial t} =-A\omega\cos(kx-\omega t) $$ 得 $$ P(x,t) =T kA^2\omega\cos^2(kx-\omega t) $$ 對一個週期取平均，利用 $$ \left\langle \cos^2(kx-\omega t)ightangle=\frac{1}{2} $$ 可得 $$ P{	ext{avg}}=\frac{1}{2}TkA^2\omega $$ 又因為 $$ k=\frac{\omega}{v} $$ 所以 $$ P{	ext{avg}} =\frac{1}{2}T\frac{\omega}{v}A^2\omega =\frac{1}{2}\frac{T}{v}\omega^2A^2 $$

Question 12

A shear force of $600$ N is applied to one face of an alloy cube with sides of $20$ cm while the opposite face is held fixed in place. What is the resulting displacement of the face? (The shear modulus for this alloy is $2.50	imes10^{10}\ \mathrm{N/m^2}$.) (A) $12	imes10^{-8}$ m (B) $9.0	imes10^{-8}$ m (C) $6.0	imes10^{-8}$ m (D) $3.0	imes10^{-8}$ m (E) None of the above

Accepted Answer

核心觀念 本題考查材料的剪切變形與剪切模數（shear modulus）$G$ 的定義： $$ G=\frac{	ext{剪切應力}}{	ext{剪切應變}} $$ 其中： - 剪切應力：$\displaystyle 	au=\frac{F}{A}$ - 剪切應變：$\displaystyle \gamma=\frac{\Delta x}{L}$ 因此： $$ G=\frac{F/A}{\Delta x/L} =\frac{FL}{A\Delta x} $$ 整理得受力面的位移： $$ \Delta x=\frac{FL}{AG} $$ 其中 $F$ 為剪力、$L$ 為立方體厚度、$A$ 為受力面的面積。 --- 解題方法 立方體邊長為 $20\ \mathrm{cm}$，先換算成公尺： $$ L=20\ \mathrm{cm}=0.20\ \mathrm{m} $$ 受力面的面積為： $$ A=(0.20\ \mathrm{m})^2=0.040\ \mathrm{m^2} $$ 已知： $$ F=600\ \mathrm{N} $$ $$ G=2.50	imes10^{10}\ \mathrm{N/m^2} $$ 代入位移公式： $$ \Delta x=\frac{FL}{AG} $$ $$ \Delta x =\frac{(600)(0.20)} {(0.040)(2.50	imes10^{10})} $$ 分子為： $$ 600	imes0.20=120 $$ 分母為： $$ 0.040	imes2.50	imes10^{10} =1.00	imes10^9 $$ 所以： $$ \Delta x =\frac{120}{1.00	imes10^9} =1.20	imes10^{-7}\ \mathrm{m} $$ 改寫成選項的形式： $$ 1.20	imes10^{-7}\ \mathrm{m} =12	imes10^{-8}\ \mathrm{m} $$ 因此受力面的位移為 $12	imes10^{-8}\ \mathrm{m}$。

Question 13

Consider two different diatomic ideal gases ($N1$ and $N2$) kept in two separate volumes ($V1$ and $V2$) at the same temperature $T$ and both volumes thermally isolated to the environment. What is the change of entropy in the mixing process? (A) $\frac{\Delta S{\mathrm{total}}}{kB}=N1\ln\left(\frac{V1+V2}{V2}\right)+N2\ln\left(\frac{V1+V2}{V1}\right)$ (B) $\frac{\Delta S{\mathrm{total}}}{kB}=N1\ln\left(\frac{V1+V2}{V1}\right)+N2\ln\left(\frac{V1+V2}{V2}\right)$ (C) $\frac{\Delta S{\mathrm{total}}}{kB}=\frac{N1+N2}{2}\left[\ln\left(\frac{V1+V2}{V1}\right)+\ln\left(\frac{V1+V2}{V2}\right)\right]$ (D) $\frac{\Delta S{\mathrm{total}}}{kB}=\sqrt{N1N2}\ln\left(\frac{(V1+V2)^2}{V1V2}\right)$ (E) None of the above.

Accepted Answer

核心觀念

本題考查理想氣體混合時的熵變。兩種不同的雙原子理想氣體分別占據體積 $V_1$ 、 $V_2$ ，移除隔板後：

氣體 $N_1$ 由 $V_1$ 自由膨脹至 $V_1+V_2$ 。
氣體 $N_2$ 由 $V_2$ 自由膨脹至 $V_1+V_2$ 。

對理想氣體而言，熵是狀態函數，因此可用同溫下的可逆膨脹路徑計算：

\Delta S=Nk_B\ln\left(\frac{V_f}{V_i}\right)

其中 $N$ 為分子數。題目中的「雙原子」不影響本題結果，因為初、末溫度相同，與內能及自由度相關的項目相互抵消。

解題方法

兩個容器與外界熱隔離，混合過程屬於孤立系統內部的自發過程。對理想氣體而言，內能只與溫度有關；混合前後溫度皆為 $T$ ，所以可將每種氣體視為在固定溫度下膨脹。

氣體 $N_1$ 的熵變

氣體 $N_1$ 的初始體積為 $V_1$ ，混合後可使用的總體積為 $V_1+V_2$ ：

\Delta S_1 = N_1k_B\ln\left(\frac{V_1+V_2}{V_1}\right)

氣體 $N_2$ 的熵變

氣體 $N_2$ 的初始體積為 $V_2$ ，混合後同樣占據總體積 $V_1+V_2$ ：

\Delta S_2 = N_2k_B\ln\left(\frac{V_1+V_2}{V_2}\right)

總熵變

\Delta S_{\mathrm{total}} = \Delta S_1+\Delta S_2

因此：

\frac{\Delta S_{\mathrm{total}}}{k_B} = N_1\ln\left(\frac{V_1+V_2}{V_1}\right) + N_2\ln\left(\frac{V_1+V_2}{V_2}\right)

這正是選項 (B)。

選項分析

(A) 錯誤

選項為：

\frac{\Delta S_{\mathrm{total}}}{k_B} = N_1\ln\left(\frac{V_1+V_2}{V_2}\right) + N_2\ln\left(\frac{V_1+V_2}{V_1}\right)

此式將 $N_1$ 與 $V_2$ 、 $N_2$ 與 $V_1$ 配對，與實際初始狀態不符。

$N_1$ 原本在 $V_1$ 中，因此分母應為 $V_1$ 。
$N_2$ 原本在 $V_2$ 中，因此分母應為 $V_2$ 。

因此選項 (A) 對應錯誤的體積配對。

(B) 正確

Question 14

There is an electric dipole in an external uniform $\vec{E}$-field, as shown below. 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 Examine the following expression for the work done on the dipole: $$W=\int{\pi/2}^{	heta}\vec{	au}\cdot d\vec{	heta}=-\int{\pi/2}^{	heta}	au\,d	heta=pE\cos	heta=\vec{p}\cdot\vec{E}=-U(	heta),$$ where $U(	heta)=0$ as $	heta=\pi/2$. (A) This expression is correct (B) The negative sign after the second equal sign is wrong (C) The negative sign after the last equal sign is wrong (D) Both negative signs should be removed (E) The dipole has a maximum potential energy when it is parallel to $\vec{E}$ (namely, $	heta=0$)

Accepted Answer

核心觀念 本題考查電偶極矩在均勻電場中的力矩、力矩所做的功，以及位能的關係： - 電偶極矩：$\vec p$ - 均勻電場：$\vec E$ - 電場對偶極的力矩大小： $$ 	au=pE\sin	heta $$ 其中 $	heta$ 為 $\vec p$ 與 $\vec E$ 的夾角。此力矩具有「使偶極矩轉向與電場平行」的恢復作用。 電場力矩所做的功與位能變化的關係為： $$ W{	ext{field}}=-\Delta U $$ 電偶極在電場中的位能為： $$ U(	heta)=-\vec p\cdot\vec E=-pE\cos	heta+C $$ 題目設定 $	heta=\pi/2$ 時 $U=0$，因此 $C=0$，得到： $$ U(	heta)=-pE\cos	heta $$ --- 解題方法 當偶極由 $	heta=\pi/2$ 轉到 $	heta$ 時，電場力矩阻礙 $	heta$ 增大的方向，因此力矩在角位移方向的分量為 $-	au$： $$ W=\int{\pi/2}^{	heta}\vec	au\cdot d\vec	heta =-\int{\pi/2}^{	heta}	au\,d	heta $$ 代入 $	au=pE\sin	heta$： $$ \begin{aligned} W &=-\int{\pi/2}^{	heta}pE\sin	heta\,d	heta\ &=pE\cos	heta-pE\cos\frac{\pi}{2}\ &=pE\cos	heta \end{aligned} $$ 由於 $\vec p$ 與 $\vec E$ 的內積為： $$ \vec p\cdot\vec E=pE\cos	heta $$ 所以： $$ W=pE\cos	heta=\vec p\cdot\vec E $$ 另一方面，因為 $U(	heta)=-pE\cos	heta$，故： $$ W=-U(	heta) $$ 因此題目所列的完整表達式是正確的。 --- 選項分析

Question 15

Referring to the DC circuit shown below with the capacitor $C$ been fully charged, the switch $S$ is connected “ON” at $t=0$ so that the current $I2$ starts to flow through the resistor $R2$. How does the current function $I2(t)$ depend on time? 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 (A) $i2(t)=\frac{\mathcal{E}}{R1}\left(1+e^{-t/	au}ight)$, where $	au=R2C$ (B) $i2(t)=\frac{\mathcal{E}}{R1+R2}\left(1+e^{-t/	au}ight)$, where $	au=R2C$ (C) $i2(t)=\frac{\mathcal{E}}{R1+R2}\left(1+\frac{R1}{R2}e^{-t/	au}ight)$, where $	au=\frac{R1R2}{R1+R2}C$ (D) $i2(t)=\frac{\mathcal{E}}{R1+R2}\left(1+\frac{R2}{R1}e^{-t/	au}ight)$, where $	au=\frac{R1R2}{R1+R2}C$ (E) $i2(t)=\frac{\mathcal{E}}{R1+R2}\left(1+\frac{R2}{R1}e^{-t/	au}ight)$, where $	au=(R1+R2)C$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查一階 $RC$ 電路的暫態響應，重點包括： - 電容電壓不能瞬間改變，因此 $vC(0^+)=vC(0^-)$。 - 電容完全充電後，初始電壓為 $vC(0)=\mathcal{E}$。 - 電路達穩態時，電容視為開路。 - 時間常數為電容看到的戴維寧等效電阻乘以電容： $$	au=R{\mathrm{th}}C$$ 題目附圖在目前頁面中未顯示第 15 題的電路圖；依官方答案及選項形式，電路應為開關接通後，電容與 $R2$ 並聯，並由電源經 $R1$ 供電。 --- 解題方法 令電容兩端電壓為 $vC(t)$。開關接通後，節點電壓同時為電容電壓與 $R2$ 兩端電壓，因此 $$ i2(t)=\frac{vC(t)}{R2} $$ 開關接通瞬間，電容原本已完全充電，所以 $$ vC(0^+)=\mathcal{E} $$ 因此初始電流為 $$ i2(0^+)=\frac{\mathcal{E}}{R2} $$ 在 $t	o\infty$ 時，電容視為開路，電路只剩 $\mathcal{E}$、$R1$ 與 $R2$ 串聯，因此穩態電流為 $$ i2(\infty)=\frac{\mathcal{E}}{R1+R2} $$ 時間常數方面，將獨立電壓源短路後，電容所看到的等效電阻為 $$ R{\mathrm{th}}=R1\parallel R2 =\frac{R1R2}{R1+R2} $$ 所以 $$ 	au=R{\mathrm{th}}C =\frac{R1R2}{R1+R2}C $$ 一階 $RC$ 電路的電壓響應為 $$ vC(t)=vC(\infty)+\big[vC(0^+)-vC(\infty)\big]e^{-t/	au} $$ 代入各項： $$ vC(t) = \frac{\mathcal{E}R2}{R1+R2} + \left( \mathcal{E} -\frac{\mathcal{E}R2}{R1+R2} ight)e^{-t/	au} $$ 整理得 $$ vC(t) = \frac{\mathcal{E}R2}{R1+R2} + \frac{\mathcal{E}R1}{R1+R2}e^{-t/	au} $$ 因此 $$ \begin{aligned} i2(t) &=\frac{vC(t)}{R2}\ &=\frac{\mathcal{E}}{R1+R2} +\frac{\mathcal{E}R1}{R2(R1+R2)}e^{-t/	au}\ &=\frac{\mathcal{E}}{R1+R2} \left( 1+\frac{R1}{R2}e^{-t/	au} ight) \end{aligned} $$ 其中 $$ 	au=\frac{R1R2}{R1+R2}C $$ 故符合選項 (…

Question 16

Two short uniform cylindrical-shaped magnetic bars, with identical length $L$ and radius $R$ , are lined up through their cylindrical axis and separated by a distance $x$ with respect to the center of mass of each one. Considering the pure dipole approximation, $x\gg L>R$ , the magnetic force between two magnetic dipoles are proportional to the $p$ -th power of the distance $x$ . What is the value of $p$ ?

Accepted Answer

核心觀念 本題考查「磁偶極子在外部磁場中的受力」以及磁偶極場隨距離的衰減關係。 在純磁偶極近似下，磁偶極矩大小固定，且兩磁棒的中心距離 $x$ 遠大於其長度與半徑： $$ x\gg LR $$ 因此，每根磁棒都可視為點磁偶極子。磁偶極子在距離 $x$ 處產生的磁場大小與距離的三次方成反比： $$ B\propto \frac{1}{x^3} $$ 另一個磁偶極子受到的力，來自磁場的不均勻性，因此與磁場的空間梯度成正比： $$ F\propto \left|
abla Bight| $$ 由於 $$ B\propto x^{-3} $$ 所以 $$ \frac{dB}{dx}\propto \frac{d}{dx}\left(x^{-3}ight) \propto x^{-4} $$ 故磁力與距離的關係為 $$ F\propto x^{-4} $$ 因此 $$ p=-4 $$ --- 解題方法 兩個磁偶極矩分別為 $\boldsymbol{\mu}1$ 與 $\boldsymbol{\mu}2$，且沿同一圓柱軸排列。磁偶極子在軸線上產生的磁場為 $$ B{	ext{axis}} = \frac{\mu0}{4\pi}\frac{2\mu1}{x^3} $$ 其中 $\mu0$ 為真空磁導率。題目只詢問距離的冪次，因此常數與磁偶極矩大小不影響判斷。 磁偶極子置於外部磁場中，其位能為 $$ U=-\boldsymbol{\mu}2\cdot\mathbf{B}1 $$ 兩磁偶極矩方向固定且共線時，可視為 $$ U\propto -x^{-3} $$ 磁力由位能對距離的負梯度給出： $$ F=-\frac{dU}{dx} $$ 因此 $$ F\propto -\frac{d}{dx}\left(-x^{-3}ight) \propto x^{-4} $$ 所以

Question 17

The double-slit experiment also exhibits diffraction effects, as the slits have a finite width $D$ . According to the calculated intensity $I_\theta=I(\theta)$ of interference pattern, as shown below, with the parameters $d=pD=q\lambda$ , where $d$ is the distance between slits and $\lambda$ is the wavelength of light. Determine what the value of $p/q$ is.

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

本題附圖正在準備中，以下為原卷對應頁面：

Accepted Answer

核心觀念 本題考查雙狹縫干涉與單狹縫繞射的合成強度。 雙狹縫間距為 $d$，每條狹縫寬度為 $D$，波長為 $\lambda$。干涉條紋的相鄰亮紋間距，與 $d$ 成反比；繞射包絡線的第一暗紋位置，則由 $D$ 決定。 相關條件為： - 干涉亮紋： $$d\sin	heta=m\lambda$$ - 單狹縫繞射暗紋： $$D\sin	heta=n\lambda$$ 題目給定： $$d=pD=q\lambda$$ 要求： $$\frac{p}{q}$$ --- 解題方法 由題目圖形判讀，中央繞射包絡線由中央亮紋至第一個繞射暗紋之間，包含 $10$ 個干涉條紋間隔。 干涉亮紋的相鄰間隔，在 $\sin	heta$ 軸上為： $$\Delta(\sin	heta)=\frac{\lambda}{d}$$ 中央亮紋至第一繞射暗紋的位置為： $$\sin	heta=\frac{\lambda}{D}$$ 因此圖形所表示的比例為： $$\frac{\lambda/D}{\lambda/d}=\frac{d}{D}=10$$ 所以： $$d=10D$$ 又因為題目給定： $$d=pD$$ 可得： $$p=10$$ 同時由 $d=q\lambda$ 可知： $$\frac{d}{D}=q\frac{\lambda}{D}=10$$ 因此： $$\frac{\lambda}{D}=\frac{1}{10}$$ 由 $d=pD=q\lambda$ 直接整理： $$pD=q\lambda$$ $$\frac{p}{q}=\frac{\lambda}{D}$$ 所以： $$\boxed{\frac{p}{q}=\frac{1}{10}}$$ --- 選項分析 - (A) $\frac{1}{12}$：錯誤 此值代表： $$\frac{\lambda}{D}=\frac{1}{12}$$

Question 18

A particle of mass $1$ kg is confined to move in the one-dimensional region $x0$. It is subject to a potential energy function $$U(x)=\frac{1}{x}+\frac{x^2}{2}\quad	ext{(Joules)}.$$ If the particle is initially placed at its mechanical equilibrium position and then given a small displacement, what is the period of its subsequent oscillations? (A) $2\pi\sqrt{\frac{1}{3}}\ \mathrm{s}$ (B) $2\pi\sqrt{\frac{1}{2}}\ \mathrm{s}$ (C) $2\pi\sqrt{2}\ \mathrm{s}$ (D) $2\pi\sqrt{3}\ \mathrm{s}$ (E) None of the above

Accepted Answer

核心觀念 本題考查「位能曲線附近的小振動」。粒子在機械平衡位置附近受到小位移時，可將位能以泰勒展開近似為簡諧運動： $$ U(x)\approx U(x0)+\frac{1}{2}U''(x0)(x-x0)^2 $$ 其中： - 機械平衡位置滿足 $U'(x0)=0$ - 有效彈力常數為 $k{	ext{eff}}=U''(x0)$ - 角頻率為 $$ \omega=\sqrt{\frac{k{	ext{eff}}}{m}} $$ - 週期為 $$ T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{m}{k{	ext{eff}}}} $$ --- 解題方法 已知 $$ U(x)=\frac{1}{x}+\frac{x^2}{2} $$ 先求一階導數： $$ U'(x)=-\frac{1}{x^2}+x $$ 機械平衡位置 $x0$ 滿足 $$ -\frac{1}{x0^2}+x0=0 $$ 因此 $$ x0^3=1 $$ 由題目限制 $x0$，得到 $$ x0=1 $$ 接著求二階導數： $$ U''(x)=\frac{2}{x^3}+1 $$ 代入平衡位置 $x0=1$： $$ k{	ext{eff}}=U''(1)=2+1=3\ 	ext{N/m} $$ 題目給定質量 $m=1\ 	ext{kg}$，因此角頻率為 $$ \omega=\sqrt{\frac{3}{1}}=\sqrt{3}\ 	ext{rad/s} $$ 週期為 $$ T=\frac{2\pi}{\sqrt{3}} =2\pi\sqrt{\frac{1}{3}}\ 	ext{s} $$ 所以正確選項為 (A)。 此外，由於 $$ U''(1)=30 $$ 表示 $x=1$ 是位能的局部極小值，確實是穩定平衡位置，小位移後會產生振盪。 --- 選項分析 (A) $2\pi\sqrt{\frac{1}{3}}\ \mathrm{s}$ 正確。由

Question 19

Consider a uniform metal bar with both ends in contact with thermal reservoirs, one at a fixed high temperature ($Th$) and the other at a fixed low temperature ($Tc$). After reaching thermal equilibrium, which of the following statements is false? (A) The temperature gradient is a constant across the metal bar. (B) The change in entropy of the high-temperature reservoir is negative. (C) If the length of the metal bar increases, the heat flux does not change. (D) The heat flux is uniform throughout the metal bar. (E) None of the above is false.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查「穩態熱傳導」與熱力學第二定律。 均勻金屬棒兩端分別維持在高溫 $Th$ 與低溫 $Tc$，且達到熱平衡後，棒內為一維穩態熱傳導。依傅立葉熱傳導定律： $$ \dot Q=-kA\frac{dT}{dx} $$ 其中： - $\dot Q$：熱流率，即單位時間傳遞的熱量 - $q=\dot Q/A$：熱通量，即單位面積、單位時間傳遞的熱量 - $k$：金屬的熱導率 - $A$：金屬棒截面積 - $dT/dx$：溫度梯度 假設金屬棒均勻、熱導率 $k$ 為常數，且忽略側面散熱，穩態溫度分布為線性。 --- 解題方法 設金屬棒長度為 $L$，兩端溫度分別為 $Th$ 與 $Tc$。由於溫度沿長度方向呈線性變化： $$ \frac{dT}{dx}=\frac{Tc-Th}{L} $$ 因此熱通量大小為： $$ q=k\frac{Th-Tc}{L} $$ 若考慮熱流率，則： $$ \dot Q=qA=kA\frac{Th-Tc}{L} $$ 由此可知，在 $k$、$A$、$Th$、$Tc$ 固定時，熱流率與熱通量皆與金屬棒長度 $L$ 成反比： $$ \dot Q\propto \frac{1}{L},\qquad q\propto \frac{1}{L} $$ 金屬棒越長，熱傳導的距離越大，熱阻越大，熱流就越小。 --- 選項分析 (A) The temperature gradient is a constant across the metal bar. 正確。 在均勻金屬棒中，$k$ 為常數，且達到穩態、沒有內部熱源時，熱通量在各位置相同。由傅立葉定律： $$ q=-k\frac{dT}{dx} $$ 因為 $q$ 與 $k$ 都是常數，所以溫度梯度 $\frac{dT}{dx}$ 也是常數。因此棒內溫度呈線性分布。 --- (B) The change in entropy of the high-temperature reservoir is negative. 正確。 熱量由高溫熱庫流向低溫熱庫。若高溫熱庫放出熱量 $Q$，則其熵變為： $$ \Delta Sh=\frac{Qh}{Th} $$ 由於高溫熱庫失去熱量，$Qh=-Q$，所以： $$ \Delta Sh=-\frac{Q}{Th}<0 $$

Question 20

Beat is an interference phenomenon when two waves of slightly different frequencies are superposed. How does the beat frequency change when both sound sources (of slightly different frequencies) move relative to the stationary listener? (A) It does not change if both sound sources approach the listener at the same speed. (B) It increases if both sound sources approach the listener at the same speed. (C) It decreases if one sound source approaches and the other moves away from the listener at the same speed. (D) It increases if one sound source approaches and the other moves away from the listener at the same speed. (E) None of the above is false.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查兩個觀念： 1. 拍頻（beat frequency） 兩個頻率接近的聲波疊加時，拍頻為兩者頻率差的絕對值： $$f{	ext{beat}}=\left|f1-f2ight|$$ 2. 都卜勒效應（Doppler effect） 聲源相對於靜止聽者移動時，聽者接收到的頻率會改變。設聲速為 $v$，聲源速度大小為 $u$： - 聲源朝向聽者： $$f' = f\frac{v}{v-u}$$ - 聲源遠離聽者： $$f' = f\frac{v}{v+u}$$ 其中 $f$ 為聲源原本頻率，$f'$ 為聽者接收到的頻率。 --- 解題方法 設兩個聲源的原始頻率分別為 $f1$、$f2$，且 $f1f2$。原本的拍頻為： $$f{	ext{beat}}=\left|f1-f2ight|=f1-f2$$ 當兩個聲源以相同速度 $u$ 同時朝向靜止聽者移動時，兩個頻率都受到相同的都卜勒放大： $$f1'=f1\frac{v}{v-u}$$ $$f2'=f2\frac{v}{v-u}$$ 因此新的拍頻為： $$ \begin{aligned} f{	ext{beat}}' &=\left|f1'-f2'ight|\ &=\left|f1\frac{v}{v-u}-f2\frac{v}{v-u}ight|\ &=\frac{v}{v-u}\left|f1-f2ight| \end{aligned} $$ 因為 $u0$，所以： $$\frac{v}{v-u}1$$ 因此： $$f{	ext{beat}}'f{	ext{beat}}$$ 也就是說，兩個聲源雖然以相同速度移動，但兩個頻率的「差值」也會按照相同倍率放大，故拍頻增加。 --- 選項分析 (A) It does not change if both sound sources approach the listener at the same speed. 錯誤。 兩個頻率雖然受到相同倍率的放大，但拍頻是頻率的差，而不是頻率比值。若原本頻率為 $f1$、$f2$，則： $$f{	ext{beat}}'=\frac{v}{v-u}(f1-f2)$$ 由於 $\frac{v}{v-u}1$，拍頻會增加，不會維持不變。 ---

Question 21

John skates on the ground subject to a friction force. For a stationary observer $A$ relative to the ground, he observes that John has an initial velocity $+5$ m/s in the $x$-direction and finally stops after traveling a distance of $12.5$ m. This phenomenon is observed by the other observer $B$, who is riding a bus that moves at a constant speed of $+2$ m/s in the $x$-direction relative to the stationary ground. Therefore, observer $B$ sees that John’s velocity changes from $+3$ m/s to $-2$ m/s in the $x$-direction. Consider the kinematic equation $vf^2=vi^2+2a\Delta x$, where $\Delta x$ is the distance travelled; which of the following statements is true? (A) From observer $B$’s point of view, since $vf^2-vi^2
e5^2-0^2$, $B$ would measure a different deceleration than what $A$ would hav…

Accepted Answer

核心觀念 本題考查兩個觀念： 1. 牛頓力學中的伽利略座標轉換。 2. 運動學公式 $$ vf^2=vi^2+2a\Delta x $$ 其中 $\Delta x$ 必須是「位移 displacement」，不是不分方向累加的「路程 distance」。 在兩個彼此做等速直線運動的參考系中，皆屬於慣性座標系，因此加速度相同；速度與位移則會因參考系不同而改變。 --- 解題方法 一、由觀察者 $A$ 求加速度 對地面靜止的觀察者 $A$ 而言： - 初速度：$vi=+5\ 	ext{m/s}$ - 末速度：$vf=0$ - 位移：$\Delta x=12.5\ 	ext{m}$ 代入運動學公式： $$ 0^2=5^2+2a(12.5) $$ $$ 0=25+25a $$ $$ a=-1\ 	ext{m/s}^2 $$ 因此 John 的減速度大小為 $1\ 	ext{m/s}^2$。 停止所需時間為： $$ vf=vi+at $$ $$ 0=5-t $$ $$ t=5\ 	ext{s} $$ --- 二、由觀察者 $B$ 分析 公車相對地面速度為 $+2\ 	ext{m/s}$，所以依伽利略速度轉換： $$ vB=vA-v{	ext{bus}} $$ 初始時： $$ v{i,B}=5-2=+3\ 	ext{m/s} $$ 最終時： $$ v{f,B}=0-2=-2\ 	ext{m/s} $$ 因此題目所述的速度變化正確。 由於公車為等速直線運動，其加速度為零，所以： $$ aB=aA=-1\ 	ext{m/s}^2 $$ 關鍵在於 $B$ 所見的位移不能直接當成 $12.5\ 	ext{m}$，也不能把路程代入公式。 公車在 $5$ 秒內前進： $$ \Delta x{	ext{bus}}=2(5)=10\ 	ext{m} $$ 因此 John 相對公車的位移為： $$ \Delta xB=\Delta xA-\Delta x{	ext{bus}} $$ $$ \Delta xB=12.5-10=2.5\ 	ext{m} $$ 代入 $B$ 參考系的運動學公式： $$ (-2)^2=(3)^2+2(-1)(2.5) $$ $$ 4=9-5=4 $$ 公式完全成立，且 $B$ 測得的加速度與 $A$ 相同，皆為 $-1\ 	ext{m/s}^2$。 --- 題目敘述中的爭議點 題目將 $\Delta x$ 說成「distance travelled」，但公式中的 $\Delta x$ 應是帶方向的位移。 在 $A$ 的參考系中，John 始終向 $+x$ 方向前進，因此路程與位移數值相同，都是 $12.5\ 	ext{m}$。

Question 22

For a 2D monatomic ideal gas, which of the following statements is true? (A) The probability density function of finding particles of the velocity of $\vec{v}=v\hat{x}$ is not only linearly proportional to the Boltzmann factor $e^{-mv^2/(2kBT)}$ but also linearly proportional to $v^2$. (B) The probability density function of finding particles of the speed of $v$ is only linearly proportional to the Boltzmann factor $e^{-mv^2/(2kBT)}$. (C) The probability density function of finding particles of the speed $v$ is not only linearly proportional to the Boltzmann factor $e^{-mv^2/(2kBT)}$ but also linearly proportional to $v$. (D) The probability density function of finding particles of the speed of $v$ is not only linearly proportional to the Boltzmann factor $e^{-mv^2/(2kBT)}$ but also linear…

Accepted Answer

核心觀念 本題考查 Maxwell–Boltzmann 速度分布，以及「速度向量」與「速率」的區別。 - 速度向量：$\vec v=(vx,vy)$，包含方向與大小。 - 速率：$v=|\vec v|=\sqrt{vx^2+vy^2}$，只表示大小。 對理想氣體而言，單一粒子的 Boltzmann 因子為 $$ e^{-E/(kBT)} = e^{-m(vx^2+vy^2)/(2kBT)} = e^{-mv^2/(2kBT)}. $$ 但求「速率為 $v$」的機率時，除了 Boltzmann 因子外，還必須考慮在速度空間中、速率介於 $v$ 與 $v+dv$ 的狀態數量。 --- 解題方法 一、速度向量的分布 在二維速度空間 $(vx,vy)$ 中，速度向量 $\vec v$ 的機率密度為 $$ f(vx,vy)\propto e^{-m(vx^2+vy^2)/(2kBT)}. $$ 若指定速度向量為 $\vec v=v\hat{x}$，代表 $$ vx=v,\qquad vy=0. $$ 此時其機率密度只與 Boltzmann 因子成正比： $$ f(\vec v)\propto e^{-mv^2/(2kBT)}. $$ 不會額外乘上 $v^2$。 二、速率的分布 將二維速度空間改用極座標： $$ vx=v\cos	heta,\qquad vy=v\sin	heta. $$ 速度空間面積元素為 $$ dvx\,dvy=v\,dv\,d	heta. $$ 其中的 $v$ 是極座標 Jacobian，代表速率介於 $v$ 與 $v+dv$ 時，對應到一圈環帶的狀態數量。 因此，速率的機率密度為 $$ P(v)\,dv \propto e^{-mv^2/(2kBT)}\cdot v\,dv \int0^{2\pi}d	heta. $$ 角度積分只是常數，所以 $$ P(v)\propto v\,e^{-mv^2/(2kBT)}. $$ 故在二維單原子理想氣體中，速率分布除了與 Boltzmann 因子成正比，也與 $v$ 成正比。 --- 選項分析 (A) 錯誤 選項討論的是速度向量 $\vec v=v\hat{x}$ 的機率密度。速度向量的分布為

Question 23

For two inductors connected in parallel, see the figure below; which of the following statements is true? 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 (A) The effective inductance of the two inductors is smaller than that of both $L1$ and $L2$. (B) The effective inductance of the two inductors is larger than that of both $L1$ and $L2$. (C) After a sufficiently long time, the voltage across the parallel inductors reaches a maximum steady value. (D) After a sufficiently long time, the voltage across $L2$ is larger than that across $L1$. (E) None of the above.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查兩個電感並聯時的等效電感，以及電感在直流穩態下的端電壓特性。 對於彼此沒有磁耦合的電感，並聯時兩端電壓相同： $$ v{L1}=v{L2}=v $$ 電感的伏安關係為： $$ v=L\frac{di}{dt} $$ 因此： $$ i=i1+i2 $$ $$ \frac{di}{dt} =\frac{v}{L1}+\frac{v}{L2} =v\left(\frac{1}{L1}+\frac{1}{L2}ight) $$ 若以等效電感 $L{	ext{eq}}$ 表示： $$ v=L{	ext{eq}}\frac{di}{dt} $$ 可得： $$ \frac{1}{L{	ext{eq}}} =\frac{1}{L1}+\frac{1}{L2} $$ 所以： $$ L{	ext{eq}} =\frac{L1L2}{L1+L2} $$ 由於 $L1,L20$，因此： $$ L{	ext{eq}}<L1,\qquad L{	ext{eq}}<L2 $$ 故正確答案為 A。 選項分析 (A) The effective inductance of the two inductors is smaller than that of both $L1$ and $L2$. 正確。並聯電感的等效值為： $$ L{	ext{eq}}=\frac{L1L2}{L1+L2} $$ 分母 $L1+L2$ 大於任一單獨電感的數值，因此等效電感小於 $L1$ 與 $L2$。 (B) The effective inductance of the two inductors is larger than that of both $L1$ and $L2$.

Question 24

For a classical electromagnetic plane wave travelling in a vacuum, which of the following statements is true? (A) The magnetic and electric fields are perpendicular to each other, and there is a phase difference of $\pi/2$ between them. (B) The average power delivered by the EM wave increases with the frequency of the EM wave. (C) The traveling direction of the EM wave can be in either the direction of $\hat{E}	imes\hat{B}$ or $-\hat{E}	imes\hat{B}$, where $\hat{E}$ and $\hat{B}$ are the direction of the electric field and the magnetic field, respectively. (D) The power of the EM wave decays as it propagates away from its source. (E) None of the above.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查真空中「經典電磁平面波」的基本性質： 1. 電場 $\vec{E}$、磁場 $\vec{B}$、傳播方向彼此互相垂直。 2. 電場與磁場同相振盪，沒有 $\pi/2$ 的相位差。 3. 電磁波的傳播方向由坡印亭向量 $\vec{S}$ 決定： $$\vec{S}=\frac{1}{\mu0}\vec{E}	imes\vec{B}$$ 4. 真空中理想平面波不因傳播距離增加而衰減。 5. 平均功率密度與場振幅的平方有關，不直接由頻率決定。 --- 解題方法 可直接逐項套用真空平面波的基本關係式。 假設電磁波沿 $+\hat{z}$ 方向傳播，例如： $$ \vec{E}(\vec{r},t)=E0\cos(kz-\omega t)\hat{x} $$ 則磁場為： $$ \vec{B}(\vec{r},t)=B0\cos(kz-\omega t)\hat{y} $$ 其中： $$ B0=\frac{E0}{c} $$ 由此可知： - $\vec{E}\perp\vec{B}$； - $\vec{E}$ 與 $\vec{B}$ 的相位相同； - $\vec{E}	imes\vec{B}=\hat{x}	imes\hat{y}=\hat{z}$，即為傳播方向； - 理想平面波的振幅與平均功率密度不隨傳播距離改變。 平均坡印亭向量為： $$ \langle Sangle =\frac{1}{2}\epsilon0 cE0^2 =\frac{1}{2\mu0}cB0^2 $$ 此式顯示，在場振幅固定時，平均功率密度不會因頻率增加而必然增加。 --- 選項分析 (A) The magnetic and electric fields are perpendicular to each other, and there is a phase difference of $\pi/2$ between them. 此選項錯誤。 真空平面波中，電場與磁場確實互相垂直： $$ \vec{E}\perp\vec{B} $$ 但兩者具有相同的空間與時間振盪因子。例如： $$ \vec{E}=E0\cos(kz-\omega t)\hat{x} $$ $$ \vec{B}=B0\cos(kz-\omega t)\hat{y} $$ 兩者相位相同，因此相位差為 $0$，不是 $\pi/2$。 相位差 $\pi/2$ 常見於某些相互垂直的振動分量，例如圓偏振的兩個電場分量，不能套用到真空平面波的 $\vec{E}$ 與 $\vec{B}$ 之間。 --- (B) The average power delivered by the EM wave increases with the frequency of the EM wave. 此選項錯誤。 電磁波的平均…

Question 25

Which statement correctly describes the Bohr model of the hydrogen atom? (A) It assumes that electrons surround the hydrogen nucleus as continuous waves. (B) It successfully explains the fine structure of the hydrogen spectrum. (C) It assumes that the electron moves in a circular path, radiating the electromagnetic wave. (D) It assumes that the angular momentum of the electron is quantized. (E) None of the above.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查 Bohr model（波耳模型）對氫原子電子運動與能階的基本假設。 波耳模型的核心假設包括： 1. 電子在原子核外沿特定的圓形軌道運動。 2. 電子只能存在於某些特定的穩定軌道，這些軌道具有離散能量。 3. 電子在穩定軌道上運動時不會持續輻射電磁波，因此不會因能量損失而墜入原子核。 4. 電子的角動量必須量子化： $$ L=mvr=n\hbar=n\frac{h}{2\pi},\qquad n=1,2,3,\ldots $$ 其中 $m$ 為電子質量、$v$ 為電子速率、$r$ 為軌道半徑，$h$ 為普朗克常數，$\hbar=h/(2\pi)$。 電子由高能階躍遷至低能階時，才會放出特定能量的光子： $$ \Delta E=Ei-Ef=h
u $$ 因此氫原子光譜呈現離散的譜線。 --- 解題方法 判斷各選項是否符合 Bohr model 的「原始基本假設」即可。最具代表性的判斷式是： $$ mvr=n\frac{h}{2\pi} $$ 這表示電子角動量不是任意連續值，而只能取某些離散值。因此，選項 D 直接描述了波耳模型最重要的量子化條件。 --- 選項分析 (A) It assumes that electrons surround the hydrogen nucleus as continuous waves. 錯誤。 Bohr model 將電子視為沿特定圓形軌道運動的粒子，並非把電子描述成圍繞原子核的連續波。 電子具有波動性是後來 de Broglie matter wave 與量子力學的觀點。雖然後來可用駐波條件重新解釋波耳的角動量量子化，但「連續波」不是 Bohr model 的原始假設。 --- (B) It successfully explains the fine structure of the hydrogen spectrum. 錯誤。 Bohr model 能成功解釋氫原子的主要能階與光譜線，例如 Balmer series，也能說明能量量子化造成的離散光譜。 但是，氫光譜的 fine structure（精細結構）涉及更細微的能階分裂，主要與下列因素有關： - 電子的自旋 - 電子自旋與軌道角動量的耦合 - 相對論修正 - Darwin term 等量子力學效應

Question 26

Suppose $A$ is a $4	imes4$ real matrix and $v1,v2,v3,v4$ are four linearly independent vectors in $\mathbb{R}^4$. If $$Av1=v1+v2,\quad Av2=v2+v3,\quad Av3=v3+v4,\quad Av4=v1+v4,$$ then how many real eigenvalues does $A$ have? (A) $0$ (B) $1$ (C) $2$ (D) $3$ (E) $4$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查： - 以線性獨立向量組建立基底。 - 將線性轉換寫成基底下的矩陣表示。 - 特徵值與特徵方程式。 - 相似矩陣具有相同特徵值。 因為 $v1,v2,v3,v4$ 在 $\mathbb{R}^4$ 中線性獨立，所以它們構成 $\mathbb{R}^4$ 的一組基底。可直接在基底 $\{v1,v2,v3,v4\}$ 下表示矩陣 $A$。 --- 解題方法 令基底為 $$ \mathcal{B}=\{v1,v2,v3,v4\}. $$ 根據題目給出的作用： $$ Av1=v1+v2, $$ 所以矩陣的第一欄為 $(1,1,0,0)^T$；同理可得 $$ [A]{\mathcal B} = \begin{pmatrix} 1&0&0&1\ 1&1&0&0\ 0&1&1&0\ 0&0&1&1 \end{pmatrix}. $$ 將其寫成 $$ [A]{\mathcal B}=I+P, $$ 其中 $$ P= \begin{pmatrix} 0&0&0&1\ 1&0&0&0\ 0&1&0&0\ 0&0&1&0 \end{pmatrix}. $$ 矩陣 $P$ 的作用為 $$ Pv1=v2,\quad Pv2=v3,\quad Pv3=v4,\quad Pv4=v1. $$ 因此連續作用四次會回到原向量： $$ P^4=I. $$ 若 $\mu$ 是 $P$ 的特徵值，則 $$ P^4x=x $$ 推出 $$ \mu^4=1. $$ 所以 $P$ 的特徵值為 $1,-1,i,-i$。 由於 $A=I+P$，若 $P$ 的特徵值為 $\mu$，則 $A$ 的對應特徵值為 $$ \lambda=1+\mu. $$ 因此 $A$ 的特徵值為 $$ 2,\quad 0,\quad 1+i,\quad 1-i. $$ 其中屬於實數的特徵值只有 $$ 2,\quad 0. $$ 所以共有 $2$ 個實特徵值。 --- 特徵方程式驗算 也可以直接計算特徵多項式。令

Question 27

Suppose $A$ is a $2	imes3$ real matrix and $B$ is a $3	imes2$ real matrix. If $$AB=\begin{bmatrix}1&0\0&1\end{bmatrix},$$ then which of the following matrices can be the product of $BA$? (A) $\begin{bmatrix}0&0&0\0&0&0\0&0&0\end{bmatrix}$ (B) $\begin{bmatrix}1&0&0\0&0&0\0&0&0\end{bmatrix}$ (C) $\begin{bmatrix}0&1&0\0&0&1\0&0&0\end{bmatrix}$ (D) $\begin{bmatrix}1&0&0\0&0&0\0&0&1\end{bmatrix}$ (E) $\begin{bmatrix}1&0&0\0&1&0\0&0&1\end{bmatrix}$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查矩陣乘法的維度、單位矩陣與冪等矩陣。 已知 $$ A\in\mathbb{R}^{2	imes 3},\qquad B\in\mathbb{R}^{3	imes 2}, $$ 且 $$ AB=I2. $$ 因此 $BA$ 為 $3	imes 3$ 矩陣。由結合律可得 $$ (BA)^2=(BA)(BA)=B(AB)A=B I2 A=BA. $$ 所以 $BA$ 必須是冪等矩陣，即滿足 $$ (BA)^2=BA. $$ 此外，因為 $AB=I2$，可知 $A$ 的秩為 $2$，而 $B$ 為單射，因此 $$ \operatorname{rank}(BA)=2. $$ 所以 $BA$ 必須同時符合： 1. 是 $3	imes 3$ 矩陣； 2. 滿足 $(BA)^2=BA$； 3. 秩為 $2$。 --- 解題方法 逐一檢查各選項是否為秩 $2$ 的冪等矩陣。 對角矩陣的平方可直接將對角元素平方；非對角矩陣則直接計算平方矩陣判斷。 --- 選項分析 (A) $$ M= \begin{bmatrix} 0&0&0\ 0&0&0\ 0&0&0 \end{bmatrix} $$ 雖然 $M^2=M$，但 $$ \operatorname{rank}(M)=0
eq 2. $$ 不符合 $BA$ 必須具有秩 $2$ 的條件，因此錯誤。 --- (B) $$ M= \begin{bmatrix} 1&0&0\ 0&0&0\ 0&0&0 \end{bmatrix} $$ 此矩陣確實滿足 $$ M^2=M, $$ 但其秩為 $1$： $$ \operatorname{rank}(M)=1
eq 2. $$ 因此不可能等於 $BA$，錯誤。 --- (C) $$ M= \begin{bmatrix} 0&1&0\ 0&0&1\ 0&0&0 \end{bmatrix}. $$ 計算平方： $$ M^2= \begin{bmatrix} 0&0&1\ 0&0&0\ 0&0&0 \end{bmatrix} 
eq \begin{bmatrix} 0&1&0\ 0&0&1\ 0&0&0 \end{bmatrix} =M. $$ 因此 $M$ 不是冪等矩陣，錯誤。 --- (D) $$ M= \begin{bmatrix} 1&0&0\ 0&0&0\ 0&0&1 \end{bmatrix}. $$

Question 28

Suppose $$A=\begin{bmatrix}3&2\2&3\2&-2\end{bmatrix}$$ and $$x=\begin{bmatrix}x1\x2\end{bmatrix},\qquad x1,x2\in\mathbb{R}.$$ Let $\|\cdot\|$ denote the standard vector norm in $\mathbb{R}^2$ and $\mathbb{R}^3$. What is the smallest possible value for $\|Ax\|$ if $\|x\|=1$? (A) $\sqrt{6}$ (B) $2\sqrt{2}$ (C) $3$ (D) $4$ (E) $\sqrt{17}$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查矩陣作用後的向量長度，以及矩陣的最小奇異值。要求 $$\min{\|x\|=1}\|Ax\|$$ 可利用公式 $$\|Ax\|^2=x^{T}A^{T}Ax$$ 因此問題等價於求矩陣 $A^{T}A$ 的最小特徵值，再開平方： $$\min{\|x\|=1}\|Ax\|=\sqrt{\lambda{\min}(A^{T}A)}.$$ --- 解題方法 矩陣 $A$ 的兩個欄向量為 $$ \mathbf{a}1= \begin{bmatrix} 3\2\2 \end{bmatrix}, \qquad \mathbf{a}2= \begin{bmatrix} 2\3\-2 \end{bmatrix}. $$ 因此 $$ A^{T}A= \begin{bmatrix} \mathbf{a}1\cdot\mathbf{a}1& \mathbf{a}1\cdot\mathbf{a}2\ \mathbf{a}2\cdot\mathbf{a}1& \mathbf{a}2\cdot\mathbf{a}2 \end{bmatrix}. $$ 逐項計算： $$ \mathbf{a}1\cdot\mathbf{a}1=3^2+2^2+2^2=17, $$ $$ \mathbf{a}2\cdot\mathbf{a}2=2^2+3^2+(-2)^2=17, $$ $$ \mathbf{a}1\cdot\mathbf{a}2 =3(2)+2(3)+2(-2)=8. $$ 所以 $$ A^{T}A= \begin{bmatrix} 17&8\ 8&17 \end{bmatrix}. $$ 其特徵值可由 $$ \det \begin{bmatrix} 17-\lambda&8\ 8&17-\lambda \end{bmatrix} =0 $$ 求得： $$ (17-\lambda)^2-64=0, $$ $$ 17-\lambda=\pm 8. $$ 因此 $$ \lambda1=25,\qquad \lambda2=9. $$ 最小特徵值為 $9$，故 $$ \min{\|x\|=1}\|Ax\| =\sqrt{9}=3. $$ 取對應於特徵值 $9$ 的單位特徵向量： $$ x=\frac{1}{\sqrt2} \begin{bmatrix} 1\-1 \end{bmatrix}, $$ 即可達到此最小值。直接驗算：

Question 29

Suppose $$A=\begin{bmatrix}1&-1&2\1&1&0\end{bmatrix},\qquad b=\begin{bmatrix}3\-1\end{bmatrix}.$$ Let $\|\cdot\|$ denote the standard vector norm in $\mathbb{R}^3$. What is the smallest possible value for $\|x\|$ if $Ax=b$? (A) $1$ (B) $\sqrt{2}$ (C) $\sqrt{3}$ (D) $2$ (E) $\sqrt{5}$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查「欠定線性方程組的最小範數解」。矩陣 $A$ 有 $2$ 個方程式、$3$ 個未知數，因此通常有無限多組解；題目要求其中歐幾里得範數 $$ \|x\|=\sqrt{x1^2+x2^2+x3^2} $$ 最小的解。 --- 解題方法 令 $$ x=\begin{bmatrix}x1\x2\x3\end{bmatrix}. $$ 由 $Ax=b$ 得 $$ \begin{cases} x1-x2+2x3=3,\ x1+x2=-1. \end{cases} $$ 將兩式相加： $$ 2x1+2x3=2, $$ 因此 $$ x1+x3=1. $$ 令自由變數 $x3=t$，則 $$ x1=1-t. $$ 再由 $x1+x2=-1$： $$ x2=-1-x1=-1-(1-t)=t-2. $$ 所以所有解可表示為 $$ x=\begin{bmatrix}1-t\t-2\t\end{bmatrix}. $$ 要求範數最小，等價於使範數平方最小： $$ \|x\|^2=(1-t)^2+(t-2)^2+t^2. $$ 展開得 $$ \begin{aligned} \|x\|^2 &=1-2t+t^2+t^2-4t+4+t^2\ &=3t^2-6t+5\ &=3(t-1)^2+2. \end{aligned} $$ 因為 $(t-1)^2\ge 0$，故最小值在 $t=1$ 時取得： $$ \|x\|^2{\min}=2. $$ 此時 $$ x1=0,\qquad x2=-1,\qquad x3=1, $$ 即 $$ x{\min}= \begin{bmatrix} 0\-1\1 \end{bmatrix}. $$ 其範數為 $$ \|x{\min}\|=\sqrt{0^2+(-1)^2+1^2}=\sqrt{2}. $$ 驗算：

Question 30

Suppose $A$ is a $3	imes3$ invertible matrix and $I3$ is the $3	imes3$ identity matrix. The following are 5 statements about $A$ that may or may not be true. (1) If $p(x)$ is the characteristic polynomial of $A$, then the constant term of $p(x)$ cannot be $0$. (2) If a $3	imes3$ matrix $B$ satisfies $AB+BA=0$, then $B$ is singular. (3) For any $3	imes5$ matrix $C$, $\operatorname{rank}(AC)=\operatorname{rank}(C)$. (4) If a $3	imes3$ matrix $D$ is diagonalizable, then $AD$ is also diagonalizable. (5) If $E$ is a $3	imes3$ matrix and $AE$ is singular, then $E$ is also singular. Which of the above statements about $A$ is False? (A) (1) (B) (2) (C) (3) (D) (4) (E) (5)

Accepted Answer

核心觀念 本題綜合考查下列線性代數觀念： - 可逆矩陣與行列式：$A$ 可逆等價於 $\det(A)
eq 0$。 - 特徵多項式的常數項與 $\det(A)$ 的關係。 - 矩陣乘法的行列式公式：$\det(XY)=\det(X)\det(Y)$。 - 可逆線性變換不改變矩陣的秩。 - 相似對角化與反例判斷。 - 奇異矩陣：矩陣行列式為 $0$，亦即不可逆。 題目中的敘述是對一般可逆 $3	imes 3$ 矩陣 $A$ 是否必然成立的判斷；只要找出一個符合條件的反例，即可判定該敘述為假。 --- 解題方法 逐一檢查五個敘述： 1. 利用特徵多項式常數項與 $\det(A)$ 的關係。 2. 對 $AB+BA=0$ 取行列式，利用 $3$ 為奇數。 3. 利用左乘可逆矩陣不改變秩。 4. 建立 $D$ 已對角化但 $AD$ 不可對角化的反例。 5. 利用 $\det(AE)=\det(A)\det(E)$。 --- 選項分析 （1）正確 若採用常見的特徵多項式定義 $$ p(x)=\det(xI3-A), $$ 則其常數項為 $$ p(0)=\det(-A)=(-1)^3\det(A)=-\det(A). $$ 因為 $A$ 可逆，所以 $$ \det(A)
eq 0. $$ 因此 $$ p(0)
eq 0, $$ 特徵多項式的常數項不可能為 $0$。 即使採用另一種慣例 $p(x)=\det(A-xI3)$，其常數項仍為 $\det(A)
eq 0$，結論不受影響。 所以敘述（1）正確。 --- （2）正確 已知 $$ AB+BA=0, $$ 因此 $$ AB=-BA. $$ 反設 $B$ 可逆，則 $A$ 與 $B$ 都可逆。兩邊取行列式： $$ \det(AB)=\det(-BA). $$ 左邊為 $$ \det(AB)=\det(A)\det(B). $$ 右邊因為矩陣是 $3	imes 3$，所以 $$ \det(-BA)=(-1)^3\det(BA) =-\det(B)\det(A). $$ 因此 $$ \det(A)\det(B)=-\det(A)\det(B). $$ 整理得 $$ 2\det(A)\det(B)=0. $$ 但 $A$、$B$ 都可逆時，$\det(A)
eq 0$ 且 $\det(B)
eq 0$，矛盾。 所以 $B$ 不可逆，即 $B$ 必為奇異矩陣。 敘述（2）正確。 關鍵在於矩陣大小是 $3	imes 3$。因為 $3$ 是奇數，才有 $\det(-BA)=-\det(BA)$。 --- （3）正確 $A$ 可逆，因此左乘 $A$ 是一個可逆的線性變換。 矩陣 $C$ 的欄空間經過 $A$ 作用後變為 $AC$ 的欄空間： $$ \operatorname{Col}(AC)=A\bigl(\oper…

Question 31

If $\|\mathbf{u}\|=8$ and $\|\mathbf{v}\|=3$ , then what are the largest possible values of the inner product $\langle\mathbf{u}+\mathbf{v},\mathbf{v}\rangle$ ?

Accepted Answer

核心觀念 本題考查內積的線性、向量長度與柯西－施瓦茲不等式。 利用： $$ \langle \mathbf{u}+\mathbf{v},\mathbf{v}angle =\langle \mathbf{u},\mathbf{v}angle+\langle \mathbf{v},\mathbf{v}angle $$ 以及： $$ \langle \mathbf{v},\mathbf{v}angle=\|\mathbf{v}\|^2 $$ 柯西－施瓦茲不等式給出： $$ \langle \mathbf{u},\mathbf{v}angle \leq \|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\| $$ 當 $\mathbf{u}$ 與 $\mathbf{v}$ 同方向時，內積達到最大值。 解題方法 由內積的線性： $$ \begin{aligned} \langle \mathbf{u}+\mathbf{v},\mathbf{v}angle &=\langle \mathbf{u},\mathbf{v}angle+\langle \mathbf{v},\mathbf{v}angle\ &=\langle \mathbf{u},\mathbf{v}angle+\|\mathbf{v}\|^2 \end{aligned} $$ 已知： $$ \|\mathbf{u}\|=8,\qquad \|\mathbf{v}\|=3 $$ 根據柯西－施瓦茲不等式： $$ \langle \mathbf{u},\mathbf{v}angle \leq \|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\| =8	imes 3=24 $$ 因此：

Question 32

Consider the system of linear equations:

\begin{aligned} x+7y-6z&=6,\\ 2x+11y-8z&=7,\\ x+10y+Cz&=10. \end{aligned}

For what value of $C$ will the system be singular?

Accepted Answer

核心觀念 線性方程組可寫成矩陣形式： $$ A\mathbf{x}=\mathbf{b} $$ 其中係數矩陣為 $$ A= \begin{bmatrix} 1&7&-6\ 2&11&-8\ 1&10&C \end{bmatrix}. $$ 當係數矩陣的行列式為 $0$ 時，矩陣不可逆，稱為 singular matrix（奇異矩陣）。因此本題要求： $$ \det(A)=0 $$ --- 解題方法 利用列運算簡化行列式。進行： $$ R2\leftarrow R2-2R1,\qquad R3\leftarrow R3-R1 $$ 得到 $$ \begin{bmatrix} 1&7&-6\ 0&-3&4\ 0&3&C+6 \end{bmatrix}. $$ 這些列運算不會改變行列式值，因此： $$ \det(A) = \begin{vmatrix} 1&7&-6\ 0&-3&4\ 0&3&C+6 \end{vmatrix}. $$ 沿第一欄展開： $$ \det(A) = 1\cdot \begin{vmatrix} -3&4\ 3&C+6 \end{vmatrix} $$ $$ =(-3)(C+6)-4(3) $$ $$ =-3C-18-12 =-3C-30 =-3(C+10). $$ 系統奇異的條件為： $$ \det(A)=0 $$ 因此： $$ -3(C+10)=0 $$ $$ C+10=0 $$ $$ \boxed{C=-10}. $$ --- 選項分析 - (A) $-10$：正確

Question 33

Given the row-reduced echelon form $$ R=\begin{bmatrix} 1&0&0&-1\ 0&1&0&-1\ 0&0&1&1 \end{bmatrix} $$ of a matrix $A$. What is the closest vector to $$ b=\begin{bmatrix}0\3\0\1\end{bmatrix} $$ in the row space of $A$? (A) $\begin{bmatrix}1\1\2\0\end{bmatrix}$ (B) $\begin{bmatrix}0\-2\-1\1\end{bmatrix}$ (C) $\begin{bmatrix}-1\2\0\-1\end{bmatrix}$ (D) $\begin{bmatrix}-1\2\1\0\end{bmatrix}$ (E) $\begin{bmatrix}1\1\3\1\end{bmatrix}$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查： 1. 初等列運算不會改變矩陣的 row space。 2. 向量在子空間中的「最近向量」是其正交投影。 3. 若投影向量為 $\hat b$，則誤差向量 $b-\hat b$ 必須垂直於該子空間。 已知 $R$ 是矩陣 $A$ 的 row-reduced echelon form，因此 $$ \operatorname{Row}(A)=\operatorname{Row}(R). $$ 矩陣 $R$ 的非零列向量為 $$ r1=(1,0,0,-1),\quad r2=(0,1,0,-1),\quad r3=(0,0,1,1). $$ 所以 $A$ 的 row space 為 $$ \operatorname{Row}(A) =\operatorname{span}\{r1,r2,r3\}. $$ 任意 row space 中的向量可表示為 $$ x r1+y r2+z r3 = (x,y,z,-x-y+z). $$ 因此 row space 也可寫成 $$ \operatorname{Row}(A) = \left\{ (x,y,z,w)\in\mathbb R^4: w=-x-y+z ight\}. $$ --- 解題方法：利用正交投影條件 令最接近 $b$ 的 row space 向量為 $$ \hat b=xr1+yr2+zr3 =(x,y,z,-x-y+z). $$ 最近向量的誤差 $$ e=b-\hat b $$ 必須同時垂直於 $r1,r2,r3$。 因為 $$ b= \begin{bmatrix} 0\3\0\1 \end{bmatrix}, \qquad \hat b= \begin{bmatrix} x\y\z\-x-y+z \end{bmatrix}, $$ 所以 $$ e= \begin{bmatrix} -x\ 3-y\ -z\ 1+x+y-z \end{bmatrix}. $$ 分別令 $e$ 與三個基底向量內積為 $0$： 與 $r1$ 垂直： $$ e\cdot r1=(-x)-(1+x+y-z)=0, $$ 因此 $$ 2x+y-z=-1. $$ 與 $r2$ 垂直： $$ e\cdot r2=(3-y)-(1+x+y-z)=0, $$ 因此 $$ x+2y-z=2. $$ 與 $r3$ 垂直： $$ e\cdot r3=-z+(1+x+y-z)=0, $$ 因此 $$ x+y-2z=-1. $$ 解聯立方程式： $$ \begin{cases} 2x+y-z=-1,\ x+2y-z=2,\ x+y-2z=-1. \end{cases} $$ 前兩式相減得 $$ x-y=-3, $$ 即 $$ y=x+3. $$ 將其代入第一式： $$ 2x+(x+3)-z=-1 \quad\R…

Question 34

Let $$ A=\begin{bmatrix} 1&-4&4\ 0&1&-1\ 1&-2&1 \end{bmatrix}. $$ Which of the following statements is incorrect? (A) The rank of $A$ is $3$. (B) The inverse matrix is $$ A^{-1}= \begin{bmatrix} 1&4&0\ 1&3&-1\ 1&2&-1 \end{bmatrix}. $$ (C) If we define the characteristic polynomial of $A$ as $f(t)=\det(A-tIn)$, then $$ f(t)=-t^3+3t^2+3t-1. $$ (D) One of the eigenvalues is $-1$ and the corresponding eigenvector is $(-2,1,2)^T$. (E) The matrix cannot be diagonalized over the real field.

Accepted Answer

核心觀念 本題綜合考查： - 矩陣的秩與行列式 - $3	imes 3$ 矩陣的反矩陣 - 特徵多項式 - 特徵值與特徵向量 - 矩陣可對角化的判定 對 $3	imes 3$ 矩陣而言，若有 $3$ 個互異的特徵值，則必定可以在實數域上對角化。 --- 解題方法 逐一驗證各選項即可。由於題目要求找出「不正確」的敘述，因此只要確認每個選項的數學內容即可判斷。 --- 選項分析 (A) The rank of $A$ is $3$. 計算行列式： $$ \det(A) = \begin{vmatrix} 1&-4&4\ 0&1&-1\ 1&-2&1 \end{vmatrix}. $$ 沿第一列展開： $$ \det(A) = 1 \begin{vmatrix} 1&-1\ -2&1 \end{vmatrix} -(-4) \begin{vmatrix} 0&-1\ 1&1 \end{vmatrix} +4 \begin{vmatrix} 0&1\ 1&-2 \end{vmatrix}. $$ 因此 $$ \det(A) = 1(1-2)+4(1)+4(-1) =-1+4-4=-1. $$ 因為 $\det(A)
eq 0$，所以 $A$ 為可逆矩陣，具有滿秩： $$ \operatorname{rank}(A)=3. $$ 因此 (A) 正確。 --- (B) The inverse matrix is $$ A^{-1}= \begin{bmatrix} 1&4&0\ 1&3&-1\ 1&2&-1 \end{bmatrix}. $$ 令 $$ B= \begin{bmatrix} 1&4&0\ 1&3&-1\ 1&2&-1 \end{bmatrix}. $$ 直接計算 $AB$： $$ AB= \begin{bmatrix} 1&-4&4\ 0&1&-1\ 1&-2&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&4&0\ 1&3&-1\ 1&2&-1 \end{bmatrix}. $$ 各元素計算如下： $$ AB= \begin{bmatrix} 1-4+4&4-12+8&0+4-4\ 0+1-1&0+3-2&0-1+1\ 1-2+1&4-6+2&0+2-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&0&0\ 0&1&0\ 0&0&1 \end{bmatrix}. $$ 故 $B=A^{-1}$，選項所列反矩陣正確。 因此 (B) 正確。 --- (C) 若定義特徵多項式為 $f(t)=\det(A-tIn)$，則 $$ f(t)=-t^3+3t^2+3t-1. $$ 因為 $n=3$，所以 $$ A-tI3= \begin{bmatrix} 1-t&-4&4\ 0&1…

Question 35

An $n	imes n$ skew-symmetric matrix $A$ is defined as $A^T=-A$. Please find the dimension of this matrix. (A) $n$ (B) $n^2$ (C) $\frac{n(n+1)}{2}$ (D) $\frac{n(n-1)}{2}$ (E) $n+1$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查「斜對稱矩陣（skew-symmetric matrix）」的定義與自由元素個數。 若 $A$ 為 $n	imes n$ 矩陣，且滿足 $$ A^T=-A, $$ 則稱 $A$ 為斜對稱矩陣。題目所問的「dimension」是指所有 $n	imes n$ 斜對稱矩陣所形成之向量空間的維度，而非矩陣的列數與行數。 解題方法 設 $$ A=(a{ij}). $$ 由 $A^T=-A$ 可得 $$ a{ji}=-a{ij}. $$ 先考慮主對角線元素。當 $i=j$ 時， $$ a{ii}=-a{ii}, $$ 因此 $$ 2a{ii}=0. $$ 在一般實數或複數矩陣中，得到 $$ a{ii}=0. $$ 所以主對角線上的 $n$ 個元素全部固定為 $0$，不提供自由度。 再考慮非對角線元素。對每一對 $i<j$，只要決定 $a{ij}$，其對稱位置便由下式決定： $$ a{ji}=-a{ij}. $$ 因此，每一對上三角元素與下三角元素只提供 $1$ 個自由度。上三角區域中不含主對角線的元素數量為 $$ (n-1)+(n-2)+\cdots+1 =\frac{n(n-1)}{2}. $$ 故斜對稱矩陣向量空間的維度為 $$ \boxed{\frac{n(n-1)}{2}}. $$ 例如，$3	imes3$ 斜對稱矩陣可寫成 $$ A= \begin{bmatrix} 0 & a & b\ -a & 0 & c\ -b & -c & 0 \end{bmatrix}, $$ 其中只有 $a,b,c$ 三個自由參數，因此維度為 $$ \frac{3(3-1)}{2}=3. $$ 選項分析 - (A) $n$：錯誤

Question 36

A vector space is spanned by $\{1,\cos(t),\sin(t)\}$ for $-\pi\le t\le\pi$ . If a vector

$v=a\cdot1+b\cdot\sin(t)+c\cdot\cos(t)$

is the closest vector in this vector space to a continuous function $f(t)=t$ for $-\pi\le t\le\pi$ , what is this closest $v$ ? The inner product of two continuous functions $f$ and $g$ within $[a,b]$ is defined by

$\langle f,g\rangle=\int_a^b f\cdot g\,dt.$

You may need the following integral:

$\int t\cdot e^{it}\,dt=-i(t+i)e^{it}+C.$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查「內積空間中的最佳逼近」與「正交投影」。 在內積定義為 $$ \langle f,gangle=\int{-\pi}^{\pi}f(t)g(t)\,dt $$ 的函數空間中，若 $v$ 是 $f(t)=t$ 在 $$ \operatorname{span}\{1,\sin t,\cos t\} $$ 中的最佳逼近，則誤差 $f-v$ 必須與子空間中的每一個基底向量正交： $$ \langle f-v,1angle=0,\qquad \langle f-v,\sin tangle=0,\qquad \langle f-v,\cos tangle=0. $$ 由於 $1,\sin t,\cos t$ 在 $[-\pi,\pi]$ 上彼此正交，可直接分別計算投影係數。 --- 解題方法 令 $$ v=a+b\sin t+c\cos t. $$ 由正交投影公式，各係數分別為 $$ a=\frac{\langle t,1angle}{\langle 1,1angle}, \qquad b=\frac{\langle t,\sin tangle}{\langle \sin t,\sin tangle}, \qquad c=\frac{\langle t,\cos tangle}{\langle \cos t,\cos tangle}. $$ 1. 計算常數項係數 $a$ 因為 $t$ 是奇函數，而 $1$ 是偶函數，所以 $t\cdot 1=t$ 是奇函數： $$ \langle t,1angle = \int{-\pi}^{\pi}t\,dt=0. $$ 因此 $$ a=0. $$ 2. 計算正弦項係數 $b$ 計算分子： $$ \langle t,\sin tangle = \int{-\pi}^{\pi}t\sin t\,dt. $$ 因為 $t$ 與 $\sin t$ 都是奇函數，所以乘積 $t\sin t$ 是偶函數： $$ \int{-\pi}^{\pi}t\sin t\,dt = 2\int0^\pi t\sin t\,dt. $$ 利用分部積分： $$ \int t\sin t\,dt = -t\cos t+\sin t. $$ 所以 $$ \begin{aligned} \int{-\pi}^{\pi}t\sin t\,dt &=2\left[-t\cos t+\sin tight]0^\pi\ &=2\left[-\pi\cos\pi+\sin\piight]\ &=2\pi. \end{aligned} $$ 再計算分母：

Question 37

A quadratic equation is described as: $$x^2+8xy+7y^2=225.$$ Which of the following statements is incorrect? (A) The curve is centered at the origin. (B) This quadratic curve is an ellipse. (C) One of the principal axes is $\frac{1}{\sqrt{5}}(2x-y)$. (D) The other principal axis is $\frac{1}{\sqrt{5}}(x+2y)$. (E) The shortest distance from this quadratic curve to the origin is $5$.

Accepted Answer

核心觀念 本題考查二元二次曲線的分類、中心、主軸旋轉，以及曲線到原點的最短距離。 一般二次式 $$ Ax^2+Bxy+Cy^2=K $$ 可寫成矩陣形式： $$ \begin{bmatrix}x&y\end{bmatrix} \begin{bmatrix} A & B/2\ B/2 & C \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\y\end{bmatrix} =K. $$ 本題的二次型矩陣為 $$ M= \begin{bmatrix} 1&4\ 4&7 \end{bmatrix}. $$ 矩陣的特徵值決定二次曲線的類型： - 兩個特徵值同號：橢圓型； - 兩個特徵值異號：雙曲線型； - 有一個特徵值為 $0$：拋物線型。 --- 解題方法 先求矩陣 $M$ 的特徵值： $$ \det(M-\lambda I) = \begin{vmatrix} 1-\lambda&4\ 4&7-\lambda \end{vmatrix} $$ $$ =(1-\lambda)(7-\lambda)-16 =\lambda^2-8\lambda-9. $$ 因此 $$ \lambda^2-8\lambda-9 =(\lambda-9)(\lambda+1), $$ 故特徵值為 $$ \lambda1=9,\qquad \lambda2=-1. $$ 一正一負，代表二次型是不定的，因此曲線是雙曲線，而不是橢圓。 求對應的正交座標。對於 $\lambda=9$： $$ (M-9I) \begin{bmatrix}x\y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -8&4\ 4&-2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\y\end{bmatrix} =0. $$ 得到 $$ -8x+4y=0 \quad\Longrightarrow\quad y=2x. $$ 其單位方向向量為 $$ \frac{1}{\sqrt5}(1,2). $$ 因此對應的新座標為 $$ u=\frac{x+2y}{\sqrt5}. $$ 對於 $\lambda=-1$： $$ (M+I) \begin{bmatrix}x\y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2&4\ 4&8 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\y\end{bmatrix} =0, $$ 得到 $$ 2x+4y=0 \quad\Longrightarrow\quad x=-2y. $$ 其單位方向向量可取 $$ \frac{1}{\sqrt5}(2,-1). $$ 因此另一個新座標為 $$ v=\frac{2x-y}{\sqrt5}. $$ 在這組正交座標下，原方程式化為 $$ 9u^2-v^2=225…

Question 38

Which of the following statements is true? (A) Let $A$ be an arbitrary matrix of size $m	imes n$. If $mn$, then $\operatorname{rank}(A)<\operatorname{rank}(A^T)$. (B) Let $A$ be an arbitrary matrix of size $m	imes n$. If $mn$, then $\operatorname{rank}(A)\operatorname{rank}(A^T)$. (C) If $W1,W2$ are two subspaces of $V$, then the union $W1\cup W2$ is also a subspace of $V$. (D) Let $W$ be a subspace of a vector space $V$. Then, $\dim(W)\le\dim(V)$. (E) Let $A$ be a square matrix, $k$ be a constant. Then, $\det(kA)=k\det(A)$.

Accepted Answer

核心觀念 本題綜合考查以下線性代數基本性質： 1. 矩陣轉置不改變秩： $$\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(A^T)$$ 2. 子空間的聯集通常不是子空間。 3. 子空間的維度不大於母空間： $$\dim(W)\le \dim(V)$$ 4. 行列式乘上常數時，必須考慮矩陣的階數： $$\det(kA)=k^n\det(A)$$ 其中 $A$ 是 $n	imes n$ 矩陣。 --- 解題方法 逐一檢驗各選項是否符合上述定理。只要找出唯一正確的敘述，即可判定答案。 --- 選項分析 (A) 錯誤 對任意矩陣 $A$，矩陣的列空間維度等於行空間維度，而轉置矩陣會交換行與列，因此有 $$ \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(A^T). $$ 即使 $mn$，兩者的秩仍然相等，不會滿足 $$ \operatorname{rank}(A)<\operatorname{rank}(A^T). $$ 例如取 $$ A= \begin{bmatrix} 1&0\ 0&1\ 0&0 \end{bmatrix}, $$ 則 $A$ 是 $3	imes 2$ 矩陣，且 $$ \operatorname{rank}(A)=2. $$ 其轉置矩陣 $A^T$ 的秩也為 $2$。 因此 (A) 錯誤。 --- (B) 錯誤 理由與 (A) 相同。矩陣轉置不會改變秩，因此 $$ \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(A^T), $$ 不可能因為 $mn$ 而變成 $$ \operatorname{rank}(A)\operatorname{rank}(A^T). $$ 因此 (B) 錯誤。 --- (C) 錯誤 兩個子空間的聯集不一定是子空間。聯集要成為子空間，通常必須滿足 $$ W1\subseteq W2 \quad	ext{或}\quad W2\subseteq W1. $$ 反例：在 $\mathbb{R}^2$ 中取 $$ W1=\{(x,0):x\in\mathbb{R}\}, $$ $$ W2=\{(0,y):y\in\mathbb{R}\}. $$ 兩者分別是 $x$ 軸與 $y$ 軸，皆為 $\mathbb{R}^2$ 的子空間。 但 $$ (1,0)\in W1\cup W2,\qquad (0,1)\in W1\cup W2, $$ 而

Question 39

Consider the matrix $$ A=\begin{bmatrix} 3&2\ 2&6 \end{bmatrix}. $$ How many different matrices $B\in\mathbb{R}^{2	imes2}$ are there such that $B^2=A$? (A) $0$ (B) $1$ (C) $2$ (D) $4$ (E) $16$

Accepted Answer

核心觀念 本題考查矩陣平方根的求法，以及下列重要性質： 1. 若 $B^2=A$，則 $B$ 與 $A$ 必定可交換： $$BA=B(B^2)=B^3=(B^2)B=AB.$$ 2. 矩陣 $A$ 的特徵值與特徵向量可用來分解問題。 3. 對每個正特徵值 $\lambda$，其平方根有兩種實數選擇： $$\sqrt{\lambda}\quad	ext{或}\quad-\sqrt{\lambda}.$$ --- 解題方法 第一步：求矩陣 $A$ 的特徵值 $$ A-\lambda I= \begin{bmatrix} 3-\lambda&2\ 2&6-\lambda \end{bmatrix}. $$ 特徵方程為 $$ \det(A-\lambda I) =(3-\lambda)(6-\lambda)-4. $$ 整理得 $$ \lambda^2-9\lambda+14=0 $$ 因此 $$ \lambda^2-9\lambda+14 =(\lambda-7)(\lambda-2). $$ 所以 $A$ 的兩個特徵值為 $$ \lambda1=7,\qquad \lambda2=2. $$ 兩者皆為正數且互不相同。 --- 第二步：利用特徵空間分析 $B$ 由 $B^2=A$ 可知 $AB=BA$。因此 $B$ 會保留 $A$ 的特徵空間。 對應於 $\lambda=7$ 的特徵向量可取 $$ v7= \begin{bmatrix} 1\2 \end{bmatrix}, $$ 因為 $$ Av7=7v7. $$ 對應於 $\lambda=2$ 的特徵向量可取 $$ v2= \begin{bmatrix} -2\1 \end{bmatrix}, $$ 因為 $$ Av2=2v2. $$ 由於這兩個特徵空間都是一維，$B$ 在這兩個方向上只能分別作用為某個純量。設 $$ Bv7=b7v7,\qquad Bv2=b2v2. $$ 再利用 $B^2=A$： $$ B^2v7=b7^2v7=Av7=7v7, $$ 所以 $$ b7^2=7 \quad\Longrightarrow\quad b7=\pm\sqrt7. $$ 同理， $$ B^2v2=b2^2v2=Av2=2v2, $$ 所以 $$ b2^2=2 \quad\Longrightarrow\quad b2=\pm\sqrt2. $$ 因此，對應於特徵值 $7$ 有 $2$ 種選擇，對應於特徵值 $2$ 也有 $2$ 種選擇，總數為 $$ 2	imes2=4. $$ --- 第三步：寫出四個矩陣平方根

Question 40

Consider the Fibonacci series $a0=1$, $a1=2$, and $an=a{n-1}+a{n-2}$ for any $n\ge2$. Therefore, we have $\{an\}=\{1,2,3,5,8,\ldots\}$. The general expression for $an$ as a function of $n$ can be found via the following method; first, define $$ A=\begin{bmatrix} 0&1\ 1&1 \end{bmatrix}, $$ and define the state vector $$ vn=\begin{bmatrix}an\a{n+1}\end{bmatrix}. $$ Thus, we have the initial condition $$ v0=\begin{bmatrix}1\2\end{bmatrix}, $$ and the relation $v{n+1}=Avn$. The following general expression can be derived: $an=b1\lambda1^n+b2\lambda2^n$, where $\lambda1$ and $\lambda2$ are the eigenvalues of $A$. How many of the following statements are true? I. $an\in\mathbb{N}$ for all $n\ge0$. II. $\lambda1\lambda2=-1$. III. $\displaystyle\lim{n	o\infty}\frac{a{n+1}}{an}=\frac{1+\sqrt{5}…

Accepted Answer

核心觀念 本題考查： 1. 遞迴數列與數學歸納概念。 2. 矩陣的特徵值與特徵多項式。 3. Fibonacci 型數列相鄰項比值的極限。 4. 矩陣冪次與特徵值的關係。 已知 $$ A= \begin{bmatrix} 0&1\ 1&1 \end{bmatrix}, \qquad vn= \begin{bmatrix} an\ a{n+1} \end{bmatrix}, \qquad v{n+1}=Avn. $$ 直接計算可得 $$ Avn = \begin{bmatrix} 0&1\ 1&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} an\ a{n+1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a{n+1}\ an+a{n+1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a{n+1}\ a{n+2} \end{bmatrix}. $$ 因此矩陣表示確實符合題目給定的遞迴關係。 --- 解題方法 先求矩陣 $A$ 的特徵值。特徵方程為 $$ \det(A-\lambda I) = \det \begin{bmatrix} -\lambda&1\ 1&1-\lambda \end{bmatrix} =0. $$ 因此 $$ (-\lambda)(1-\lambda)-1=0, $$ 整理得 $$ \lambda^2-\lambda-1=0. $$ 由公式解得 $$ \lambda1=\frac{1+\sqrt5}{2}, \qquad \lambda2=\frac{1-\sqrt5}{2}. $$ 其中 $$ \lambda11, \qquad |\lambda2|<1. $$ 數列的一般式為 $$ an=b1\lambda1^n+b2\lambda2^n. $$ 由初始條件 $$ a0=1,\qquad a1=2, $$ 可得 $$ b1+b2=1, $$ 以及 $$ b1\lambda1+b2\lambda2=2. $$ 解得 $$ b1=\frac{1+\sqrt5}{2}, \qquad b2=\frac{1-\sqrt5}{2}. $$ 兩個係數皆不為 $0$，因此可用於分析相鄰項比值的極限。 --- 選項分析 I. $an\in\mathbb{N}$ for all $n\ge0$。 正確。 初始值 $a0=1$、$a1=2$ 都是自然數，且遞迴關係為 $$ an=a{n-1}+a{n-2}. $$ 若 $a{n-1}$ 與 $a{n-2}$ 都是自然數，則其和 $an$ 仍是自然數。因此由數學歸納法， $$ an\in\mathbb{N} $$ 對所有 $n\ge0$ 成立。 實際數列為 $$ 1,2,3,5,8,13,\ldots $$ 每一項皆為正整數。 ---…

國立清華大學 113 年 《資訊科學》

第 1 題3 分

第 2 題3 分

第 3 題3 分

第 4 題3 分

第 5 題3 分

第 6 題3 分

第 7 題3 分

第 8 題3 分

第 9 題3 分

第 10 題3 分

第 11 題3 分

第 12 題3 分

第 13 題3 分

核心觀念

解題方法

氣體 N1N_1N1​ 的熵變

氣體 N2N_2N2​ 的熵變

總熵變

選項分析

(A) 錯誤

(B) 正確

第 14 題3 分

第 15 題3 分

第 16 題3 分

第 17 題3 分

第 18 題3 分

第 19 題3 分

第 20 題3 分

第 21 題3 分

一、由觀察者 AAA 求加速度

二、由觀察者 BBB 分析

第 22 題3 分

一、速度向量的分布

二、速率的分布

(A) 錯誤

第 23 題3 分

第 24 題3 分

核心觀念

解題方法

選項分析

(A) The magnetic and electric fields are perpendicular to each other, and there is a phase difference of π/2\pi/2π/2 between them.

(B) The average power delivered by the EM wave increases with the frequency of the EM wave.

第 25 題3 分

第 26 題5 分

第 27 題5 分

第 28 題5 分

第 29 題5 分

第 30 題5 分

選項分析

（1）正確

（2）正確

（3）正確

第 31 題5 分

第 32 題5 分

核心觀念

解題方法

選項分析

第 33 題5 分

第 34 題5 分

(A) The rank of AAA is 333.

(B) The inverse matrix is

(C) 若定義特徵多項式為 f(t)=det⁡(A−tIn)f(t)=\det(A-tI_n)f(t)=det(A−tIn​)，則

第 35 題5 分

第 36 題5 分

1. 計算常數項係數 aaa

2. 計算正弦項係數 bbb

第 37 題5 分

第 38 題5 分

第 39 題5 分

核心觀念

解題方法

第一步：求矩陣 AAA 的特徵值

第二步：利用特徵空間分析 BBB

第三步：寫出四個矩陣平方根

第 40 題5 分

其他考古題

113 年國立清華大學的其他科目

國立清華大學《資訊科學》其他年度

國立清華大學 113 年《資訊科學》

氣體 $N_1$ 的熵變

氣體 $N_2$ 的熵變

一、由觀察者 $A$ 求加速度

二、由觀察者 $B$ 分析

(A) The magnetic and electric fields are perpendicular to each other, and there is a phase difference of $\pi/2$ between them.

(A) The rank of $A$ is $3$ .

(C) 若定義特徵多項式為 $f(t)=\det(A-tI_n)$ ，則

1. 計算常數項係數 $a$

2. 計算正弦項係數 $b$

第一步：求矩陣 $A$ 的特徵值

第二步：利用特徵空間分析 $B$